同角三角函数基本关系式

1、一：温故知新一：温故知新M 问题问题2. 图图1中的三角函数线是：中的三角函数线是：正弦线正弦线；余弦线余弦线；正切线正切线.yxxy)0( x)0 , 1 (ATcos；tansin；问题问题3. 问题问题1中三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的，你能从圆的中三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的，你能从圆的几何性质出发，讨论一下同一个角的不同三角函数之间的关系吗？几何性质出发，讨论一下同一个角的不同三角函数之间的关系吗？问题问题1. 如图如图1，设，设 是一个任意角，是一个任意角， 它的它的终边终边 与单位圆交于与单位圆交于 ，那么由三，那么由三角函数的定义可知：角函数的定义可知：),(yx

2、POxyP图1MPOMAT1（x,y）二、探究新知：二、探究新知：问题问题 当角当角 的终边在坐标轴上时的终边在坐标轴上时,关系式是否还成立？关系式是否还成立？1、探究同角正弦、余弦之间的关系、探究同角正弦、余弦之间的关系OxyPM图2 当角当角 的终边在的终边在 轴上时轴上时,x110cossin22101cossin22y当角当角 的终边在的终边在 轴上时轴上时,问题问题当角当角 的终边不在坐标轴上时正弦、余弦的终边不在坐标轴上时正弦、余弦之间的关系是什么？（如图）之间的关系是什么？（如图）222OPOMMP122 xy1cossin2212cos2sin ( ），都有结论：对于任意角R

3、1 即可以写成，点坐标可以表示为用，由勾股定理得，且三者构成直角三角形，半径，余弦线的正弦线角POPOPOMMP平方关系平方关系sin,cos2.观察任意角观察任意角 的三角函数的定义的三角函数的定义,siny,cosx)0( ,tanxxytancossin商的关系商的关系有什么样的关系呢？、tancossin思考：思考：cossintan, 1cossin22 这两个公式的前提是这两个公式的前提是“同角同角”， 因此因此 注：注：商的关系不是对任意角都成立商的关系不是对任意角都成立 ，是在等式两，是在等式两边都有意义的情况下，等式才成立边都有意义的情况下，等式才成立),2( Zkk2222

4、sinsinsinsinsin写成写成的平方，不能将的平方，不能将的简写，读作的简写，读作是是三、例题互动三、例题互动类型一：类型一： 应用同角三角函数的基本关系解决三角函数的求值问题应用同角三角函数的基本关系解决三角函数的求值问题解：解：53)54(1sin1cos22 得得由由1cossin22 所所以以是是第第二二象象限限角角因因为为, 0cos, 53cos 34)35()54(cossintan 的的余余弦弦值值和和正正切切值值。是是第第二二象象限限角角，求求角角且且、已已知知例例 ,54sin1 的值，求、已知变式tan,cos54sin1解解：当当 是第一象限角时是第一象限角时，

5、 0cos53259cos343554cossintan当当 是第二象限角时，是第二象限角时，0cos53259cos34)35(54cossintan自我反思：自我反思：在象限决定所得结果的符号由角所得得解：由34cossintan53sin1cos54sin2得由1cossin220sin53sin1cos2是第一或第二象限角角的值，求、已知变式cos,sin3tan2为为第第二二或或第第四四象象限限角角 0tan3cossin1cossin2243sin41cos22解得：2141cos,2343sin2141cos,2343sin为第四象限角时当为第二象限角时当1cossin22tan

6、cossin方程方程(组组)思想思想解：解： cossintan 讨论交流：讨论交流：各自的特点公式tancossin , 1cossin22移项变形：移项变形：2222cos1sinsin1cos常用于正弦、余弦函数常用于正弦、余弦函数的相互转化，相互求解。的相互转化，相互求解。注：注：在开方时，由角在开方时，由角 所在的象限来确定开方后的符号。所在的象限来确定开方后的符号。即即在一、二象限时，当在三、四象限时，当22cos1cos1sin是一、四象限时当是二、三象限时，当,sin1sin122cos的特点、公式tancossin2变形：变形：tansincos由正弦正切，求余弦由正弦正切，

7、求余弦tancossin由余弦正切，求正弦由余弦正切，求正弦tancossin由正弦余弦，求正切由正弦余弦，求正切注：注：所得三角函数值的符号是由另外两个三角所得三角函数值的符号是由另外两个三角函数值的符号确定的。函数值的符号确定的。的的值值。求求、已已知知例例 tan,270180,55cossin300 1cossin55cossin22 恒恒等等式式，得得到到方方程程组组解解：依依题题意意和和基基本本三三角角55cos552cos 02cos5cos5 ,sin2 或或由由方方程程解解得得得得消消去去55cos , , 0cos27018000 所所以以，因因为为. 2cossintan

8、 , 552sin , 于于是是代代入入原原方方程程组组得得1tancossin 4化简、例 类型二：类型二：应用同角三角函数的基本关系化简三角函数式应用同角三角函数的基本关系化简三角函数式解题思想：解题思想： 统一消元的思想统一消元的思想,常用化简方法常用化简方法“切化切化弦弦”。 1cossincossin解：原式coscossincossin cos tancos) 1 (跟踪练习：跟踪练习：化简下列各式：化简下列各式：22cos)tan1)(2(sin) 1 ( 答案：1)2(答案：例题例题6xxxxcossin1sin1cos求证证法一：证法一：证法二：证法二：0cos, 0sin1

9、cossin1)sin1)(sin1 (22xxxxxx且因为所以xxxxcossin1sin1cos发散思维发散思维 提问：本题还有其提问：本题还有其他证明方法吗？他证明方法吗？ 交流总结证明一个三角恒等式的方法注意选择最优解 类型三类型三 应用同角三角函数的基本关系证明三角恒等式应用同角三角函数的基本关系证明三角恒等式 cossin1cosx-1cosxxx因为xxxxcos)sin1 (coscos 22xxxxcos)sin1 ()sin1 (cos220所以，原式成立所以，原式成立可知，由0sin10cosxx左边右边xxcossin1所以原式成立所以原式成立证法三：证法三：)sin

10、1)(sin1 ()sin1 (cosxxxxxxx2sin1)sin1 (cosxxx2cos)sin1 (cos三角函数恒等式证明的一般方法三角函数恒等式证明的一般方法（2）证明原等式的等价关系：）证明原等式的等价关系： 利用作差法证明等式两利用作差法证明等式两边之差为零。边之差为零。注：注：要注意两边都有意义的条件下才恒等要注意两边都有意义的条件下才恒等（1）从一边开始证明它等于另一边）从一边开始证明它等于另一边（由繁到简）（由繁到简）（3）证明左、右两边等于同一式子）证明左、右两边等于同一式子四、归纳总结：四、归纳总结：（2 2）三种基本题型三种基本题型: : 三角函数值的计算问题：利用平方关系时，往往要开方，三角函数值的计算问题：利用平方关系时，往往要开方， 因此要先根据角的所在象限确定符号，即将角所在象限因此要先根据角的所在象限确定符号，即将角所在象限 进行分类讨论。进行分类讨论。 化