数学实验 差分方程与数值微分

1、大学数学实验大学数学实验Mathematical Experiments 实验实验2 2 差分方程和数值微分差分方程和数值微分差分方程差分方程 离散时段上描述变化过程的数学模型离散时段上描述变化过程的数学模型 一年期存款一年期存款年利率为年利率为r，存入，存入M， 记记第第k年本息为年本息为xkMxkxrxkk01, 2 , 1 , 0,)1 (n年后本息为年后本息为Mrxnn)1 ( 污水处理厂每天将污水浓度降低比例污水处理厂每天将污水浓度降低比例q, 记第记第k天天的污水浓度为的污水浓度为ck , 2 , 1 , 0,)1 (1kcqckk离散动态过程（系统），实际的变化可以是连续的离散动

2、态过程（系统），实际的变化可以是连续的 0)1 (cqcnn)1lg(2lgqn天后污水浓度降低一半天后污水浓度降低一半 1.一阶线性常系数差分方程一阶线性常系数差分方程2. 高阶线性常系数差分方程高阶线性常系数差分方程3. 线性常系数差分方程组线性常系数差分方程组4. 非线性差分方程非线性差分方程 数值微分简介数值微分简介 建立离散动态过程的数学模型建立离散动态过程的数学模型; ; 用用MATLAB计算数值解计算数值解; ; 作理论分析作理论分析(平衡点及其稳定性平衡点及其稳定性).差分方程差分方程例例1 濒危物种濒危物种(Florida 沙丘鹤沙丘鹤)的自然演变的自然演变 和人工孵化和人工

3、孵化 一阶线性常系数差分方程一阶线性常系数差分方程 在较好自然环境下，年平均增长率为在较好自然环境下，年平均增长率为1.94% 在中等自然环境下，年平均增长率为在中等自然环境下，年平均增长率为-3.24% 在较差自然环境下，年平均增长率为在较差自然环境下，年平均增长率为-3.82%如果在某自然保护区内开始有如果在某自然保护区内开始有100只鹤，建立只鹤，建立描述其数量变化规律的模型，并作数值计算描述其数量变化规律的模型，并作数值计算. 生态学生态学家估计家估计 如果每年人工孵化如果每年人工孵化5只鹤放入该保护区，只鹤放入该保护区，在中等自然环境下鹤的数量将如何变化在中等自然环境下鹤的数量将如何

4、变化?模型及其求解模型及其求解 例例1 濒危物种濒危物种(Florida 沙丘鹤沙丘鹤)的自然演变的自然演变 和人工孵化和人工孵化 记第记第k年沙丘鹤的数量为年沙丘鹤的数量为xk，自然环境下年平均增长率为自然环境下年平均增长率为r, 2 , 1 , 0,1,1kraaxxkk05101520406080100120140160r=0.0194r=-0.0324r=-0.0382设每年人工孵化的数量为设每年人工孵化的数量为b， , 2 , 1 , 0,1kbaxxkk05101520406080100120140r=-0.0324,b=5r=-0.0324,b=0结果分析结果分析 例例1 濒危物

5、种濒危物种(Florida 沙丘鹤沙丘鹤)的自然演变的自然演变 和人工孵化和人工孵化 时间充分长后时间充分长后(k)沙丘鹤数量的变化趋势沙丘鹤数量的变化趋势 , 2 , 1 , 0,0kxaxkka1(r0)时时xk, a1(r0)时时xk0自然环境下自然环境下 ,1,1raaxxkk在中等及较差的自然环境下沙丘鹤将濒于灭绝。在中等及较差的自然环境下沙丘鹤将濒于灭绝。 , 2 , 1 , 0,110kaabxaxkkk人工孵化条件下人工孵化条件下 baxxkk1a1(r0)时时xkx=b/(1-a) 050100150200100110120130140150160r=-0.0324,b=5x

6、=5/0.0324=154.32 一阶线性常系数差分方程的平衡点及其稳定性一阶线性常系数差分方程的平衡点及其稳定性差分方程的一般形式差分方程的一般形式 , 2 , 1 , 0,1kbaxxkk 差分方程的平衡点差分方程的平衡点 代数方程代数方程 x=ax+b 的根的根 x=b/(1-a) , 2 , 1 , 0),1/(kabcaxkk差分方程的解差分方程的解c= x0-b/(1-a)由初始值由初始值x0 和和a、b确定确定 若若k时时xkx, 平衡点平衡点x稳定稳定, 否则平衡点否则平衡点x不稳定不稳定 平衡点稳定的充要条件是平衡点稳定的充要条件是 a 1 , 2 , 1 , 0,110ka

7、abxaxkkk 高阶线性常系数差分方程高阶线性常系数差分方程 例例2 一年生植物的繁殖一年生植物的繁殖 一年生植物春季发芽，夏天开花，秋季产种。一年生植物春季发芽，夏天开花，秋季产种。没有腐烂、风干、被人为掠去的那些种子可以活过冬没有腐烂、风干、被人为掠去的那些种子可以活过冬天，其中的一部分能在第二年春季发芽，然后开花、天，其中的一部分能在第二年春季发芽，然后开花、产种，其中的另一部分虽未能发芽，但如又能活过一产种，其中的另一部分虽未能发芽，但如又能活过一个冬天，则其中一部分可在第三年春季发芽，然后开个冬天，则其中一部分可在第三年春季发芽，然后开花、产种，如此继续。花、产种，如此继续。 一年

8、生植物只能活一年，且近似地认为，种子最一年生植物只能活一年，且近似地认为，种子最多可以活过两个冬天多可以活过两个冬天。建立数学模型研究植物数量的变化规律，建立数学模型研究植物数量的变化规律，及它能够一直繁殖下去的条件及它能够一直繁殖下去的条件. 模型及其求解模型及其求解 例例2 一年生植物的繁殖一年生植物的繁殖 设一棵植物平均产种数为设一棵植物平均产种数为c, 种子能够活过冬天种子能够活过冬天的比例为的比例为b, 活过冬天的那些种子在来年春季发芽的活过冬天的那些种子在来年春季发芽的比例为比例为a1，未能发芽的那些种子又活过一个冬天的，未能发芽的那些种子又活过一个冬天的比例仍为比例仍为b, 在下

9、一年春季发芽的比例为在下一年春季发芽的比例为a2。xk第第k年的植物数量年的植物数量 设今年种下设今年种下(并成活并成活)的数量为的数量为x0 011bcxax 11kkbcxax记 p= -a1bc, q= -a2b(1-a1) bc , 3 , 2, 0, 02101kqxpxxpxxkkk, 3 , 2,)1 (212kbcxabak形如形如xk= k的解的解! xk- uxk-1=v(xk-1- uxk-2)02qp例例 c=10， a1=0.5，a2=0.25，b=0.18, 0.19, 0.20，x0=100 模型及其求解模型及其求解 例例2 一年生植物的繁殖一年生植物的繁殖 02

10、qp021kkkqxpxx特征方程特征方程 特征根特征根 2422, 1qpp, 2 , 1 , 0,2211kccxkkk差分方程差分方程 常数常数c1, c2由由x0, x1确定确定 差分方程的解差分方程的解 b23052, 1kkkxb)043. 0(36. 4)943. 0(64.95,18. 0kkkxb)0477. 0(35. 4)0477. 1 (65.95, 2 . 0 1, 2 1时时xk (k) 植物能够一直繁殖下去植物能够一直繁殖下去的条件为的条件为b0.191 例例3 蛛网模型的推广蛛网模型的推广)(00 xxyykk)(001yyxxkk)2(0102yyyxxkkk

11、生产者的管理水平和素质提高生产者的管理水平和素质提高蛛网模型蛛网模型产量由前两时段平均价格决定产量由前两时段平均价格决定 , 2 , 1,)1 (22012kxxxxkkk02248)(22, 1平衡点平衡点 x=x0 xk x0（k）的条件是的条件是 1, 2 0)例例5 按年龄分组的种群增长按年龄分组的种群增长 模型及其求解模型及其求解 例例5 按年龄分组的种群增长按年龄分组的种群增长 )() 1(kLxkx)0()(xLkxkTnkxkxkxkx)(),(),()(21按年龄组的分布向量按年龄组的分布向量000000121121nnnsssbbbbLLeslie矩阵矩阵(L矩阵矩阵)模型

12、及其求解模型及其求解 1, 2 , 1),() 1(1nikxskxiii)() 1(11kxbkxiniiniikxkxkx1)(/ )()(归一化归一化:例例5 按年龄分组的种群增长按年龄分组的种群增长 模型及其求解模型及其求解 设一种群分成设一种群分成 n=5个年龄组个年龄组, 繁殖率繁殖率 b1b5= 0, 0.2, 1.8, 0.8, 0.2, 存活率存活率s1s4= 0.5, 0.8, 0.8, 0.1, 各年各年龄组现有数量均为龄组现有数量均为100 05101520253000.20.40.60.80510152025300100200300400500 x1(k)x5(k)

13、的图形的图形（自上而下（自上而下)的图形的图形（自上而下（自上而下)()(51kxkx)0()(xLkxk结果分析结果分析 例例5 按年龄分组的种群增长按年龄分组的种群增长 nkk, 3 , 2,1 L矩阵存在正单特征根矩阵存在正单特征根 1， 若若L矩阵存在矩阵存在bi, bi+10, 则则 nkk, 3 ,2,1Tnnssssssx11121212111*, 1特征向量特征向量*1)(limcxkxkk, c是由是由bi, si, x(0)决定的常数决定的常数 且且时间充分长后时间充分长后 x(k), 的稳定性的稳定性)(kx)0()(xLkxkLeslie矩阵的性质矩阵的性质 结果分析结

14、果分析 例例5 按年龄分组的种群增长按年龄分组的种群增长 时间充分长后时间充分长后 x(k), 的稳定性的稳定性)(kx按年龄组的分布向量按年龄组的分布向量趋向稳定分布趋向稳定分布 (与与x(0)无关无关) *1)(limcxkxkk)() 1()2kxkx各年龄组种群数量按同一各年龄组种群数量按同一倍数倍数 (固有增长率固有增长率) 增减增减 )() 1(kLxkx与基本模型与基本模型比较比较3） =1时时*)() 1(cxkxkx 各年龄组各年龄组种种群群数量不变数量不变*xxkx)() 1(归一化的特征向量归一化的特征向量 ) *x 1个个体在整个存活个个体在整个存活期内的繁殖数量为期内

15、的繁殖数量为11121121nnsssbsbb3） =1时时*xLx Tnssssssx121211*, 1000000121121nnnsssbbbbL结果分析结果分析 例例5 按年龄分组的种群增长按年龄分组的种群增长 Tnssssx, 1 1211*,)(,1,) 4*cxkxk大时存活率存活率 si是同一时段的是同一时段的 xi+1与与 xi之比之比（与（与si 的定义的定义 比较）比较） )()1(1kxskxiii1,2, 1),()(1nikxskxiii 非线性差分方程非线性差分方程 例例6 离散形式的阻滞增长模型离散形式的阻滞增长模型(Logistic模型模型) )1()(Nx

16、rxtxt, xN (与与r大小无关大小无关)离散形式离散形式xk 某种群第某种群第k代的数量代的数量(k=0,1,2,)指数指数增长增长模型模型连续形式连续形式阻滞阻滞增长增长模型模型rxtx)( kkkrxxx1kkkkxNxrxx)1 (1对于不同的对于不同的r，研究，研究k 时时xk的趋势的趋势线性方程线性方程非线性方程非线性方程01020304000.20.40.60.811.2r=0.301020304000.20.40.60.811.21.4r=1.801020304000.20.40.60.811.21.4r=2.5设设N=1，取，取r=0.3, 1.8, 2.5, 初值初值x

17、0=0.1， 例例6 离散形式的阻滞增长模型离散形式的阻滞增长模型(Logistic模型模型) kkkkxNxrxx)1 (1xk 某种群第某种群第k代的数量代的数量xk单调地趋向单调地趋向N xk振荡地趋向振荡地趋向N xk不收敛不收敛 结果分析结果分析 例例6 离散形式的阻滞增长模型离散形式的阻滞增长模型, 2 , 1 , 0,)1 (1kxNxrxxkkkkkkkkxNxrxx)1 (1xNxrxx)1 ( 差分方程的平衡点差分方程的平衡点 x=N, x=0 的根的根: 若若xk x (k) , 则则平衡点平衡点x稳定稳定; 否则，否则，x不稳定不稳定. 平衡点平衡点 x=0 不稳定不稳

18、定; 平衡点平衡点 x=N 的的稳定性与稳定性与 r 有关有关.研究非线性差分方程平衡点稳定的条件研究非线性差分方程平衡点稳定的条件 , 2 , 1 , 0),(1kyfykk非线性差分方程平衡点稳定的条件非线性差分方程平衡点稳定的条件 平衡点平衡点代数方程代数方程 y=f(y) 的根的根 y* 非线性差分方程非线性差分方程:, 2 , 1 , 0,)(*1kyyyyfykkf 在在y*点作点作Taylor展开，保留线性项展开，保留线性项 近似线性方程近似线性方程: 1)(* yfy* 对对近似线性方程是近似线性方程是稳定稳定平衡点平衡点, 对非线性方程也是稳定平衡点对非线性方程也是稳定平衡点

19、.1)(* yfy* 对对近似线性方程是不近似线性方程是不稳定稳定平衡点平衡点, 对非线性方程也是不稳定平衡点对非线性方程也是不稳定平衡点1,) 1(rbxNrrykk例例6 离散形式的阻滞增长模型离散形式的阻滞增长模型kkkkxNxrxx)1 (1变量和变量和参数代换参数代换 )1 (1kkkybyy平衡点平衡点 x=N, x=0 平衡点平衡点 y=1-1/b, y=0 )1 ()(ybyyf)21 ()(ybyfbbf2)/ 11 (1)0(bfy=0不稳定不稳定 平衡点平衡点 y*=1-1/b稳定的条件稳定的条件: )2(31rb若若b3 (即即r2), 平衡点平衡点 y*不稳定不稳定

20、1)(* yf 例例7 寄主寄主寄生模型寄生模型 寄主靠自然资源为生，假定其数量用离散形式的寄主靠自然资源为生，假定其数量用离散形式的阻滞增长模型描述阻滞增长模型描述; 寄生物的存在会减少其增长，寄生物数量越多，寄生物的存在会减少其增长，寄生物数量越多，寄主的增长率减少得越多，假设寄主的减少率与寄主的增长率减少得越多，假设寄主的减少率与寄生物数量成正比寄生物数量成正比 ; 寄生物完全靠寄主为生，假定其寄生物完全靠寄主为生，假定其相邻两代数量之相邻两代数量之比比与寄主数量成正比与寄主数量成正比. 建立寄主建立寄主寄生模型研究二者数量变化的规寄生模型研究二者数量变化的规律，讨论时间充分长以后的趋势

21、律，讨论时间充分长以后的趋势. 例例7 寄主寄主寄生模型寄生模型模型及其求解模型及其求解 xk第第k代寄主的种群数量代寄主的种群数量 (最大容量最大容量N，固有增长率，固有增长率r);yk 第第k代代寄生物的种群数量（寄生物的种群数量（k=0, 1, 2, ）. kkkkxNxrxx)1 (1kkkybxy1a寄生物由寄主处攫取营养，阻滞寄主增长的能力寄生物由寄主处攫取营养，阻滞寄主增长的能力 b寄主供养寄生物，使寄生物增长寄主供养寄生物，使寄生物增长(或减少或减少)的能力的能力 非线性差分方程组非线性差分方程组kkyax 例例7 寄主寄主寄生模型寄生模型模型及其求解模型及其求解 kkkkkkyaxxNxrxx)1 (1kkkybxy1设设N=100，r=1.5 寄生物在最好的条件下每代的数量可以翻一番，寄生物在最好的条件下每代的数量可以翻一番，即即xk=N时时yk+1=2yk，bN=2，b=2/N=0.02; 设设a=0.025。 020406080100020406080100 xkyk 50 30 例例7 寄主寄主寄生模型寄生模型模型及其求解模型及其求解