存对数列单调完备性定理的修正数学通讯第7期

1、适合栏目：专论荟萃或教学参考、email：wwhb.618对数列单调完备性定理的修正贺斌(湖北省谷城县第三中学，441700)对于数列的单调性，文1有如下的完备性定理：“定理 设数列（其中为实数），则 （1）该数列是上的严格递增数列的充要条件是；（2）该数列是上的严格递减数列的充要条件是”由于文1在推证上述结论时，忽视了数列单调性与函数单调性的差异，从而导致上述结论错误现修正如下：定理 设数列（其中为实数），则 （1）该数列是上的严格递增数列的充要条件是；（2）该数列是上的严格递减数列的充要条件是证明我们仍采用文1的记号，即记,， ，则，并且为减函数（文1引理2）另记，则（1）为严格递增数列同

2、理可证结论（2）成立注 由本文定理知，当时，数列不单调,其区间长度为0.0905参考文献：1 陈孝凤，李建潮对数列的单调性的再思考j数学通讯（下半月），2012(3) （收稿日期：2012-04-23） 2012-05-04“待审中” 2012-06-22“已录用2012-07”对数列的单调完备性定理的修正（刊出稿）李剑峰 贺斌（安徽省肥东一中，231600） (湖北省谷城县第三中学，441700)文1给出数列与的单调性的新证，并结合2008年湖南理科压轴题作如下探究：研究数列（其中为实数）的单调性，得出如下的完备性定理：定理 设数列，则 （1）该数列是上的严格递增数列的充要条件是；（2）该数

3、列是上的严格递减数列的充要条件是其中结论（2）是正确的，结论（1）是错误的，原因在于（1）只注意到了数列与函数的单调性之间的联系，却没有注意到它们的区别，下面给出（1）的正确结论。=，记，并令，这样将研究数列递增性转化为研究该函数递减性问题，。令，即，设，则在上是减函数（文1已证）。下面证明：数列是上的严格递增数列的充要条件是。（i）必要性：若数列是上的严格递增数列，记，则有，即，（）；（ii）充分性：若，因此时有，故现在只需验证成立。事实上，由，只需验证对成立即可，因为，而在上递减，所以对成立。综上可知，数列是上的严格递增数列的充要条件是。文1 结论（1）中的，其中是在上的最小值，然而文1作

4、者忽视了函数与数列单调性的区别：函数自变量的连续与数列自变量的离散，函数在上是减函数与数列是上的严格递增数列并非等价。事实上，“函数在上是减函数数列是上的严格递增数列，但反之不真”。顺带指出，结论（2）是正确的，在上文中我们记，其中在上取值是均匀的，而对应的并非在上均匀取值，的取值越大，对应的在0附近的取值就越密集，因此可知结论（2）是正确的，严格证明留给有兴趣的读者完成。注 以上讨论还告诉我们，当时，数列不单调,其区间长度为0.0905参考文献：1 陈孝凤，李建潮对数列的单调性的再思考j数学通讯（下半月），2012(3) 教师刊湖北姓名为"贺斌"投稿文章处理情况列表120

5、6376对数列 非单调情形的研究待审中1204321对数列 单调完备性定理的修正已录用:2012-71204091涉及定角和角内定点的一个结论的修正二审不用1201112涉及定角和角内定点的两个结论的推广二审不用1112128一道陈省身杯数学赛题的推广二审不用1112124纠正一个情理之中的错误发现一个意料之外的结论二审不用1107257对有关三角形及四边形内角的正弦性质之简证二审不用1004193一类函数个数问题的解决已录用:2010-81004112对2009年高考浙江卷理科15题的思考一审不用0812179点顶距已知时矩形周长最大值问题的解决已录用:2009-60804271有关三次函数

6、图像与正方形关系的两个结论已录用:2008-8 教师刊安徽姓名为"李剑峰"投稿文章处理情况列表1203118二次型在不等式中的应用二审不用1202114一道2010瑞士奥数题的简证与推广一审不用1111109对一道imo数论问题再思考的补充与完善二审不用1110352一个寻求人工证明的不等式之解决一审不用1105036从视角最大到光时最短二审不用1105035争鸣问题201一审不用1104121一类多元代数式取值范围再探一审不用1103261对数学通报1624号问题的两个别证及再推广的一点补充二审不用1103245一道美国数学月刊题的简解二审不用1101262一个优美猜想的证明一审不用1101103一道不等式猜想的证明一审不用1101068一个不等式的联想一审不用1101057一道imo50预选题的推广一审不用1011290也谈一道联赛题一审不用1010086从探求一道试题到不等式的加强一审不用1010070任