拉压杆的应力与变形+辅导课(16)

1、A=10mm2A=100mm2FFFF 为了解决杆件的强度问题，只知道杆件的内为了解决杆件的强度问题，只知道杆件的内力是不够的。力是不够的。 因为根据经验我们知道：用同种材料制作两因为根据经验我们知道：用同种材料制作两根粗细不同的杆件并使这两根杆件承受相同的轴根粗细不同的杆件并使这两根杆件承受相同的轴向拉力，当拉力达到某一值时，细杆将首先被拉向拉力，当拉力达到某一值时，细杆将首先被拉断（发生了破坏）。断（发生了破坏）。 这一事实说明：杆件的强度不仅和杆件横截这一事实说明：杆件的强度不仅和杆件横截面上的面上的内力内力有关，而且有关，而且还与横截面的面积有关还与横截面的面积有关。 问题的引出问题的

2、引出 细杆将先被拉断是因为内力在细杆将先被拉断是因为内力在小截面小截面上分布上分布的密集程度（的密集程度（简称集度简称集度）大而造成的（）大而造成的（以一个班以一个班级在大小不同的教室内分布情况来说明级在大小不同的教室内分布情况来说明）。）。 因此，在求出内力的基础上，还应进一步研因此，在求出内力的基础上，还应进一步研究内力在横截面上的分布集度究内力在横截面上的分布集度 。 受力杆件截面上某一点处的内力集度称为该受力杆件截面上某一点处的内力集度称为该点的应力。点的应力。 F1F2Fp分解分解与截面垂直的分量与截面垂直的分量 -正应力正应力与截面相切的分量与截面相切的分量 -切应力切应力一、应力

3、的概念dAdFAFpA0limAFP 工程中应力的单位常用工程中应力的单位常用PaPa和和MPaMPa。 1 Pa = 1 N/m2 1 MPa = 1 N/mm21kPa=103Pa 1MPa=106Pa1GPa=109Pa=103MPa （1 1）应力是针对受力杆件的应力是针对受力杆件的某一截面某一截面上上某某一点一点而言的而言的，所以提及应力时必须明确指出杆件，所以提及应力时必须明确指出杆件上截面与点的位置。上截面与点的位置。说明说明： （2 2）内力与应力的关系：内力在某一点处内力与应力的关系：内力在某一点处的集度为该点的应力；整个截面上各点处的应力的集度为该点的应力；整个截面上各点处

4、的应力总和（各点应力与微面积乘积的总和）等于该截总和（各点应力与微面积乘积的总和）等于该截面上的内力。面上的内力。 （3 3）应力是应力是矢量矢量，不仅有大小还有方向。，不仅有大小还有方向。对于正应力对于正应力通常规定：通常规定：拉应力拉应力（箭头背离截面）（箭头背离截面）为正为正，压应力（箭头指向截面）为负，如图所示；，压应力（箭头指向截面）为负，如图所示； 对于切应力对于切应力通常规定：通常规定：顺时针顺时针（切应力对（切应力对研究部分内任一点取矩时，力矩的转向为顺时针）研究部分内任一点取矩时，力矩的转向为顺时针）为正为正，逆时针为负，如图所示。，逆时针为负，如图所示。二、变形和应变的概念

5、二、变形和应变的概念 位移位移：指构件指构件位置的改变位置的改变，即构件发生变形后，即构件发生变形后，构件中各质点及各截面在空间位置上的改变构件中各质点及各截面在空间位置上的改变。 变形变形：构件几何：构件几何形状与尺寸的变化形状与尺寸的变化注：变形大小注：变形大小注：变形程度注：变形程度用用位移位移度量度量用用应变应变来度量来度量1 1、位移、位移线位移线位移物体中一点相对于原来位置所物体中一点相对于原来位置所移动移动的直线距离的直线距离。角位移角位移物体中某一直线或某一平面相对于物体中某一直线或某一平面相对于原来位置原来位置转过的角度转过的角度。 位移位移不能表示不能表示物体的物体的变形程

6、度变形程度，因此为了描述受力物体内，因此为了描述受力物体内各点处的变形程度，还须引入各点处的变形程度，还须引入应变应变的概念的概念。2 2、应变的概念应变的概念1 1、线应变线应变单位长度的变形量单位长度的变形量2 2、切应变切应变直角的改变量（直角的改变量（或称角应变或称角应变）考察杆件在受力后考察杆件在受力后表面上的变形情况表面上的变形情况，并由表及里，并由表及里地作出杆件地作出杆件内部变形内部变形情况的情况的几何假设几何假设。根据力与变形间的根据力与变形间的物理关系物理关系，得到，得到应力应力在截面上的在截面上的变化规律变化规律。通过通过静力学关系静力学关系，得到以内力表示的，得到以内力

7、表示的应力计算公式应力计算公式。 研究方法：研究方法：三、轴向拉压杆横截面上的应力 dAdFAFpA0lim求应力的关键：是需知道应力的分布规律FF 纵线纵线横线横线纵线与纵线与横线先垂直，后横线先垂直，后仍仍垂直垂直（表明无切应力表明无切应力）。纵线仍为直线，长度变长，且纵线仍为直线，长度变长，且伸长量相同伸长量相同；横线仍为直线，作横线仍为直线，作平行移动平行移动；(2)(2)作出假设作出假设横截面在变形前后均保持为一平面横截面在变形前后均保持为一平面平面假设平面假设杆件由无数条杆件由无数条纵向纤维组成纵向纤维组成。注：纤维注：纤维是天然或人工合成的是天然或人工合成的细丝状物质细丝状物质

8、(3)(3)理论分析理论分析（结论结论）FFFN=FFF根据静力平衡条件：根据静力平衡条件：即即1 1、横截面上各点只产生沿垂直于横截面方向、横截面上各点只产生沿垂直于横截面方向的变形的变形横截面上横截面上只有正应力只有正应力。2、两横截面之间的纵向纤维伸长都相等、两横截面之间的纵向纤维伸长都相等横截面上的横截面上的正应力均匀分布。正应力均匀分布。AFN 只适用于轴向只适用于轴向拉伸与压缩杆件，即杆端处力的合拉伸与压缩杆件，即杆端处力的合 力作用线与杆件的轴线重合。力作用线与杆件的轴线重合。 只适用于离只适用于离杆件受力区域稍远处的横截面。杆件受力区域稍远处的横截面。(4) (4) 实验验证实

9、验验证AFN 圣维南原理圣维南原理: :力作用于杆端的分布方式的不同，只影响力作用于杆端的分布方式的不同，只影响杆端局部范围的应力分布，影响区的轴向杆端局部范围的应力分布，影响区的轴向范围约离杆范围约离杆端端1212个杆的横向尺寸个杆的横向尺寸。bFFbFFbF=F/Amax=1.027FAb/2F=F/A max=FA1.387b/4F=F/A max=FA2.575FXF F斜截面上的正应力；斜截面上的正应力；斜截面上的切应斜截面上的切应力力 n cospcosAFN2cos sincos sinp 2sin21 pFFF四、拉四、拉( (压压) )杆杆斜截面斜截面上的上的应力应力 pAF

10、AFNNaA cosA横截面横截面-是指垂直杆轴线方向的截面；是指垂直杆轴线方向的截面；斜截面斜截面-是指任意方位的截面。是指任意方位的截面。 及及 均是角均是角的函数，的函数，（1 1）当）当=0=0max0 2a2max45（2）当）当 90（3）当）当0 即在平行与杆轴的即在平行与杆轴的纵向截面纵向截面上无任何应力上无任何应力0 a 轴向拉压杆件的最大正应力发生在轴向拉压杆件的最大正应力发生在横截面横截面上。上。轴向拉压杆件的最大切应力发生在与轴向拉压杆件的最大切应力发生在与杆轴线成杆轴线成45450 0斜截面斜截面上。上。 2cos 2sin21讨论讨论拉压拉压破坏破坏剪切切破坏破坏

11、P P1 1=30kN=30kN，P P2 2 =10kN , AC =10kN , AC段的横截面面积段的横截面面积A AACAC=500mm2=500mm2，CDCD段的横段的横截面面积，截面面积，A ACDCD=200mm2=200mm2，弹性模量，弹性模量，E=200GPaE=200GPa。试求：试求： 例例1（1 1）各段杆横截面上的内力和应力；）各段杆横截面上的内力和应力；（2 2）杆件内最大正应力；）杆件内最大正应力；解：解：(1)(1)、计算支反力、计算支反力(2)(2)、计算各段杆件、计算各段杆件横截面上的轴力横截面上的轴力ABAB段：段： F FNAB NAB = =R R

12、A A= =20kN20kN BDBD段：段： F FNBD NBD = =F F2 2=10kN=10kN FX=0 P2-P1-RA=0RA=P2-P1=-20KN(3)(3)、画出轴力图，如图（、画出轴力图，如图（c c）所示。）所示。 (4)(4)、计算各段应力、计算各段应力ABAB段：段： BCBC段：段：CDCD段：段：(5)(5)、计算杆件内最大应力、计算杆件内最大应力3max10 1050200MPaF F 2cos 2sin21F F（1 1）当）当=0max45（2）当）当 2max90（3）当）当0 a 0 极值极值复习复习AFN （1 1）概念）概念纵向变形纵向变形（简

13、称（简称线变形线变形）（杆两端的相对）（杆两端的相对线位移线位移）L=LL=L1 1-L -L 横向变形横向变形d=dd=d1 1-d-dL L、d d反映了纵向和横向的反映了纵向和横向的总变形量总变形量，不能反映变形程度，不能反映变形程度横向线应变横向线应变纵向线应变纵向线应变（简称（简称线应变线应变）：）：、的符号相反的符号相反五、五、 拉压杆的变形拉压杆的变形. .虎虎克定律克定律LLdd拉伸拉伸00压缩压缩00绝对变形与相对变形绝对变形与相对变形( (法国科学家泊松法国科学家泊松) )横向变形系数或泊松比横向变形系数或泊松比注：横向变形不明显，一般不考虑注：横向变形不明显，一般不考虑当

14、应力不超过比例极限时（当应力不超过比例极限时（为常数为常数）反映了材料的弹性性能反映了材料的弹性性能（2 2）虎克定律虎克定律( (英国科学家胡克）英国科学家胡克）上式只适用于上式只适用于 1 1、在杆长为、在杆长为l l长度内长度内F FN N、E E、A A均为均为常值常值的情况下。的情况下。否则，则应分段计算否则，则应分段计算L L=L L1 1+L L2 2+ +L Ln nE E为拉压为拉压弹性模量弹性模量，反映了材料抗拉压的能力，反映了材料抗拉压的能力，单位单位PaPa。EAEA称为杆的称为杆的拉压刚度拉压刚度 , ,反映了杆反映了杆件件抵抗拉压的能力。抵抗拉压的能力。虎克定律的另

15、一表达式：虎克定律的另一表达式：表明：在比例极限内，应力与应变成正比表明：在比例极限内，应力与应变成正比EALFLN E实验表明：在材料的实验表明：在材料的线弹性范围线弹性范围内，内，L L与与外力外力F F和杆长和杆长L L成正比，与横截面面积成正比，与横截面面积A A成反比成反比。2 2、应力不超过、应力不超过比例极限比例极限iiiNiAElFl1.画轴力图求各段轴力画轴力图求各段轴力27kN62kNBACDA1A2lll2. 计算变形计算变形CDBCABllll 211EAlFEAlFEAlFCDBCAB )300102750010275001035(102001033332 0.037mmmm107 . 3102007410232 例例2 变截面直杆受力如图，已知变截面直杆受力如图，已知A1=500mm2, A2=300mm2,l=0.1m,E=200GPa,试计算杆件变形。试计算杆件变形。 解：解：FAB=-35kNFBC=27kNFCD=27kNFNx35kN27kN例例3 图示螺栓接头，螺栓内径图示螺栓接头，螺栓内径d1=10.1mm ,拧紧后测得长度为拧紧后测得长度为l=80mm内的伸长量内的伸长量l=0.4mm，E=200GPa,试求螺栓拧紧后试