常用的连续型分布

1、本节知识要点：本节知识要点：1.掌握均匀分布、指数分布、正态分布的概率模型及其数字特征；掌握均匀分布、指数分布、正态分布的概率模型及其数字特征；2. 熟练掌握正态变量标准化，会查标准正态分布函数表熟练掌握正态变量标准化，会查标准正态分布函数表.一、均匀分布一、均匀分布.1.Def 其其它它01)(bxaabxf 则称则称X X服从服从 ab 上的上的均匀分布均匀分布，记作，记作如果如果r.v.r.v.X的密度函数为的密度函数为.,baUX的的分分布布函函数数则则XbaUX,2. bxbxaabaxaxxF10)(3.2baEX 12)(2abDX .1.Def 000)(xxexfx 若若r.

2、v.X的密度函数为的密度函数为 0， 的指数分布，记为的指数分布，记为服从参数为服从参数为则称则称 X)( EX的分布函数的分布函数则则XEX),(2. ; 0)(,0 xFx时时当当时时当当0 x)(xXpxF dtetx 0 xe 1 0001)(xxexFx 3. 1 EX21 DX应用应用4.指数指数分布分布常用作各种常用作各种“寿命寿命”分布的近似分布的近似. .布，布，无记忆性”的连续型分无记忆性”的连续型分指数分布是唯一具有“指数分布是唯一具有“有有则对于则对于即即, 0, 0, )( baEX |aXbaXP bXP abaee )(aXPbaXP ,aXPaXbaXP 000

3、1)(xxexFx be 寿命，则上式表明，寿命，则上式表明，X年，年，如果已知寿命长于，如果已知寿命长于 a无关，无关，年的概率与年龄年的概率与年龄则再活则再活ab”的”的指数分布是“永远年轻指数分布是“永远年轻.1000,1000, 1没没有有坏坏的的概概率率求求该该元元件件使使用用其其平平均均使使用用寿寿命命为为服服从从指指数数分分布布某某元元件件寿寿命命例例hhX解解1000 EX1)1000( 0 0 0 1)(1000 xxexFx1000 XP)1000(1F 1 e10001 XP.1000,1000, 1没没有有坏坏的的概概率率求求该该元元件件使使用用其其平平均均使使用用寿寿

4、命命为为服服从从指指数数分分布布某某元元件件寿寿命命例例hhX解解1000 EX1)1000( 0 0 0 1)(1000 xxexFx.,10003 2率率求求至至少少有有一一个个损损坏坏的的概概个个这这样样的的元元件件使使用用若若有有例例h解解，个元件至少有一个损坏个元件至少有一个损坏设设3 A )A(P，,)(331 ee (A)P所以所以.13 e是是独独立立的的，过过各各个个元元件件的的寿寿命命是是否否超超h10003 个个元元件件都都没没有有损损坏坏 A 高斯分布高斯分布.1000,500小小时时的的概概率率求求它它还还可可以以继继续续使使用用没没有有损损坏坏小小时时若若发发现现该

5、该元元件件使使用用了了解解 1500500P XX500|5001000 XXP1 e“无记忆性”“无记忆性”1000 XP 例例4 某电子元件的使用寿命某电子元件的使用寿命1100010( )100000 xexXf xx xexx,21)(222)( .1.Def若若r.v.X的密度函数为的密度函数为 的的和和服从参数为服从参数为则称则称为常数，且为常数，且，其中其中 X, 0 ,正态分布正态分布. ),(2 NX记作记作2. EX2 DX2. EX2 DX),(2 NX的特征：的特征：)( 3.x )(x “钟形曲线钟形曲线”对称对称关于关于 x01 2120处取得最大值处取得最大值在在

6、 x 若固定若固定 ，改变，改变 ，则对应，则对应f( (x) )的形状不变，只是位置变化；的形状不变，只是位置变化；)(x 03)(x 若固定若固定 ， 越小，曲线的顶峰越高，越小，曲线的顶峰越高，曲线越陡峭，形状变了；曲线越陡峭，形状变了；041)(50 dxx 正态分布的分布函数：正态分布的分布函数： 4.dttxx )()( 5.可用正态变量描述的实例极多：可用正态变量描述的实例极多：各种测量的误差；各种测量的误差； 人体的生理特征；人体的生理特征；工厂产品的尺寸；工厂产品的尺寸； 农作物的收获量；农作物的收获量；海洋波浪的高度；海洋波浪的高度； 金属线抗拉强度；金属线抗拉强度；热噪声

7、电流强度；热噪声电流强度； 学生的考试成绩；学生的考试成绩；),(. 62 NX),(2 NXbaX 则则),(22 abaN 标准正态分布标准正态分布7.一种重要的正态分布一种重要的正态分布称为称为正态分布正态分布时时，当当)1 , 0(,10N ,标准正态分布标准正态分布,21)(202xex ,)(0 xXPx )2( 附表附表标准正态分布表标准正态分布表 是偶函数；是偶函数；)(200 x 标准正态分布标准正态分布7.一种重要的正态分布一种重要的正态分布-3-2-11230.10.20.30.4)(0 x -aa)(1)(3000aa . 1, 0),1 , 0(10 DXEXNX则则

8、计算概率：计算概率：XN(0,1) 2( )( );P aXbba 00 1;P Xaa 0XN(0,1),)(0aXPa )(1)(00aa 例例1 设设r.v. X N(0,1),求求:)21,96. 1,96. 1,96. 1,96. 1 XPXPXPXPXP解解 96. 1XP)96. 1(0 （直接查正态分布表）（直接查正态分布表）975. 0 96. 1XP)96. 1(0 )96. 1(10 025. 0 （正态分布表无负值（正态分布表无负值,先变形）先变形） 96. 1 XP96. 196. 1 XP)96. 1()96. 1(00 )96. 1(01)96. 1(20 95.

9、 0 )96. 1(10 96. 1 XP05. 0 )1()2(2100 XP1360. 08413. 09773. 0 96. 11 XP何何计计算算？一一般般正正态态分分布布的的概概率率如如的关系的关系与与(0,1),( 8.2NN )1 , 0(),(120NXNX ，则，则若若的的标标准准化化称称为为对对X)(),(220aFaXPNX ，则则若若 a0 bXaPbXaP bXaP bXaP ab00 aXP)(1aF a01正正态态分分布布表表-3-2-11230.10.20.30.4)(0 x 0 010 21 )(1)() 2(00aa aa03)(-)(aFbF .210,1

10、3,1310),2 ,10(. 22 XPXPXPNXvr求求例例解解 aaFaXP0)( 1310XP)10()13(FF 210130 210100)0()5 . 1(00 4332. 05 . 09332. 0 13XP131 XP)13(1F )5 . 1(10 0668. 0 210 XP128 XP)8()12(FF 210120 21080)1()1(00 1)1(20 6826. 018413. 02 例例3 设设r.v. XN（), 已知已知 PX ，求，求 、 、.解解 6 . 1XP)6 . 1( F 6 . 10036. 0 6 . 10964. 0 6 . 110)9

11、 . 5(9 . 5FXP 9 . 50758. 0 查表得查表得 7 . 09 . 58 . 16 . 1 3.8,3010 XPXP 38 . 3010)27. 1(10 898. 0 )27. 1(0 )27. 1(1(10 例例4 某元件的寿命某元件的寿命X近似服从正态分布近似服从正态分布N( 2 ) 已知其已知其寿命在寿命在250小时以上的概率和寿命不超过小时以上的概率和寿命不超过350小时的概率均小时的概率均为为92 36% 为使其寿命在为使其寿命在 x和和 x之间的概率不小于之间的概率不小于0 9 x至少为多大？至少为多大？解解 由由PX 250 PX 350 2350250 得得300 350XP)350(F 3003500 5009236. 0)50(3003503003500XPXP 查表得43. 150, 于是 35 故 XN(300 352) 又 43. 150, 于是 35 故 XN(300 352) 又 , 于是