导数的11个专题(243页)

1、目目录录导数专题一、单调性问题导数专题一、单调性问题.2导数专题二、极值问题导数专题二、极值问题.38导数专题三、最值问题导数专题三、最值问题.53导数专题四、零点问题导数专题四、零点问题.77导数专题五、恒成立问题和存在性问题导数专题五、恒成立问题和存在性问题.118导数专题六、渐近线和间断点问题导数专题六、渐近线和间断点问题.170导数专题七、特殊值法判定超越函数的零点问题导数专题七、特殊值法判定超越函数的零点问题.190导数专题八、避免分类讨论的参变分离和变换主元导数专题八、避免分类讨论的参变分离和变换主元.201导数专题九、公切线解决导数中零点问题导数专题九、公切线解决导数中零点问题.

2、214导数专题十、极值点偏移问题导数专题十、极值点偏移问题.219导数专题十一、构造函数解决导数问题导数专题十一、构造函数解决导数问题.2271 / 243导数专题一、单调性问题导数专题一、单调性问题【知识结构】【知识结构】【知识点】【知识点】一、导函数代数意义：利用导函数的正负来判断原函数单调性；二、分类讨论求函数单调性：含参函数的单调性问题的求解，难点是如何对参数进行分类讨论，讨论的关键在于导函数的零点和定义域的位置关系.三、分类讨论的思路步骤：第一步、求函数的定义域、求导，并求导函数零点；第二步、以导函数的零点存在性进行讨论；当导函数存在多个零点的时，讨论他们的大小关系及与区间的位置关系

3、（分类讨论）；第三步、画出导函数的同号函数的草图，从而判断其导函数的符号（画导图、标正负、截定义域）；第四步、（列表）根据第五步的草图列出f x，fx随x变化的情况表，并写出函数的单调区间；第五步、综合上述讨论的情形，完整地写出函数的单调区间，写出极值点，极值与区间端点函数值比较得到函数的最值.四、分类讨论主要讨论参数的不同取值求出单调性，主要讨论点：1.最高次项系数是否为 0；2.导函数是否有极值点；3.两根的大小关系；4.根与定义域端点讨论等。五、求解函数单调性问题的思路：（1）已知函数在区间上单调递增或单调递减，转化为f (x) 0或f (x) 0恒成立；（2）已知区间上不单调，转化为导

4、函数在区间上存在变号零点，通常利用分离变量法求解参变量的范围；（3）已知函数在区间上存在单调递增或单调递减区间，转化为导函数在区间上大于零或小于零有解.六、原函数单调性转化为导函数给区间正负问题的处理方法（1）参变分离；（2）导函数的根与区间端点直接比较；2 / 243（3）导函数主要部分为一元二次时，转化为二次函数根的分布问题.这里讨论的以一元二次为主。七、求解函数单调性问题方法提炼：（1）将函数fx单调增（减）转化为导函数f x0恒成立；（2）f x gxhx，由gx 0（或gx 0）可将f x0恒成立转化为hx0（或hx0）恒成立；（3）由“分离参数法”或“分类讨论”，解得参数取值范围。

5、3 / 243【考点分类】【考点分类】考点一、分类讨论求解函数单调性；考点一、分类讨论求解函数单调性；【例 1-1】（2015-2016 朝阳一模理 18）已知函数f (x) x a ln x, a R（）求函数f (x)的单调区间；（）当x 1, 2时，都有f (x) 0成立，求a的取值范围；（）试问过点P(1，3)可作多少条直线与曲线y f (x)相切？并说明理由a xa（1）当a 0时，f (x) 0恒成立，函数f (x)在(0, )上单调递增；（2）当a 0时， 令f (x) 0，得x a?0 x a时，f (x) 0，函数f (x)为减函数；?x a时，f (x) 0，函数f (x)

6、为增函数综上所述，当a 0时，函数f (x)的单调递增区间为(0, )当a 0时，函数f (x)的单调递减区间为(0, a)，单调递增区间为(a，+)（）由（）可知，（1）当a 1时，即a 1时，函数f (x)在区间1, 2上为增函数，所以在区间1, 2上，f (x)min f (1) 1，显然函数f (x)在区间1, 2上恒大于零；（2）当1 a 2时，即2 a 1时，函数f (x)在1， a上为减函数，在a,2上为增函数，所以f (x)min f (a) a a ln(a)依题意有f (x)min a a ln(a) 0，解得a e，所以2 a 1（3）当a 2时，即a 2时，f (x)在

7、区间1, 2上为减函数，所以f (x)min f (2) 2+a ln 2依题意有f (x)min 2+a ln 2 0，解得a ln22，所以ln22 a 24 / 243综上所述，当a ln22时，函数f (x)在区间1, 2上恒大于零（）设切点为（x0, x0a ln x0)，则切线斜率k 1 a，x0切线方程为y (x alnx)(1a)(x x )000 x0因为切线过点P(1,3)，则3 (x alnx)(1a)(1 x )00 x00即a(ln x 11)200 x0111a(x 1)令g (x) a(ln x x1) a(xx2)x22 (x 0)，则g (x)（1）当a 0时

8、，在区间(0,1)上，g(x) 0，g(x)单调递增；在区间(1, )上，g(x) 0，g(x)单调递减，所以函数g(x)的最大值为g(1) 20故方程g (x) 0无解，即不存在x0满足式因此当a 0时，切线的条数为0（2）当a 0时, 在区间(0,1)上，g(x) 0，g(x)单调递减，在区间(1, )上，g(x) 0，g(x)单调递增，所以函数g(x)的最小值为g(1) 20222取x e1+ e，则g(x ) a(12e11) 2 ae1 0aaa11a故g(x)在(1, )上存在唯一零点2222取x e-1-1-e，所以1 e k 1时，符合题意综上所述：1 e k 116 / 24

9、3【练 1-7】（2015-2016 朝阳一模文 19）已知函数f (x) kkxxex(k R).（）若k 1,求曲线y f (x)在点0，f (0)处的切线方程；（）求函数f (x)的单调区间；（）设k 0，若函数f (x)在区间3, 2 2上存在极值点，求k的取值范围.【答案】()若k1，函数f (x)的定义域为x x 1，f(x)=ex(3x2).（1 x)2则曲线y f (x)在点0，f (0)处切线的斜率为f (0)=3.而f (0)=1，则曲线y f (x)在点0，f (0)处切线的方程为y 3x 1（）函数f(x)的定义域为x x k，f(x)=ex(2kk2x2).（k x)

10、2（1）当k 0时，由x k,且此时k2 2k k，可得 k2 2k k k2 2k.f (x) 0，解得x -k2 2k或x k2 2k，函数f (x)为减函数；f (x) 0，解得k2 2k x k2 2k，但x k，所以当 k2 2k x k，k x k2 2k时，函数f (x)也为增函数.所以函数f (x)的单调减区间为（-，- k2 2k )，（ k2 2k，+)，单调增区间为（- k2 2k，k )，（k,k2 2k ).（2）当k 0时，函数f (x)的单调减区间为（-,0)，（0,+).当k 2时，函数f (x)的单调减区间为（-,-2)，（-2，+).2 k 0时，由2k k

11、2 0，所以函数f (x)的单调减区间为（-,k)，（k,+).即当2 k 0时，函数f (x)的单调减区间为（-,k)，（k,+).（3）当k 2时，此时-k2 2k k.令f (x) 0，解得x -k2 2k或x k2 2k，但x k，所以当x k，k x - k2 2k，x k2 2k时，函数f (x)为减函数；17 / 243令f (x) 0，解得k2 2k x k2 2k，函数f (x)为增函数.所以函数f (x)的单调减区间为（-,k)，（k,-k2 2k )，（k2 2k , )，函数f (x)的单调增区间为（- k2 2k , k2 2k ).9分（）（1）当2 k 0时，由（

12、）问可知，函数f (x)在(3, 22)上为减函数，所以不存在极值点;（2）当k 2时，由（）可知，f (x)在（-k2 2k ,k2 2k )上为增函数，在（ k2 2k , )上为减函数.若函数f (x)在区间(3, 2 2)上存在极值点，则3 k2 2k 2 2，解得4 k 3或1 k 2,所以4 k 3.综上所述，当4 k 3时，函数f (x)在区间3, 2 2上存在极值点.【练1-8】（2015-2016东城期末理19）已知函数f(x) ex a( x ln x)x（）当a 1时，试求f (x)在(1, f (1)处的切线方程；（）当a 0时，试求f (x)的单调区间；（）若f (x

13、)在(0,1)内有极值，试求a的取值范围【答案】（）当a 1时，f/( x) ex( x1)1 1，f/(1)0，f(1)e1方程为y e 1x2x（）ex( x 1)1ex( x1)ax( x1)，f ( x) x2 a(1 x)x2(ex ax)( x 1)x2当a 0时，对于x (0, )，ex ax 0恒成立，所以f(x) 0 x 1；f(x) 00 x 10.所以 单调增区间为(1, )，单调减区间为(0,1)（）若f (x)在(0,1)内有极值，则f(x)在x (0,1)内有解令f( x) (ex ax)( x 1) 0ex ax 0a ex.x2x设g( x) exx (0,1)

14、,x所以g( x) ex( x 1),当x (0,1)时，g(x) 0恒成立，x所以g(x)单调递减.18 / 243又因为g(1) e，又当x 0时，g(x) ,g(x)在x (0,1)上的值域为(e, ),所以当a e时，f( x) (ex ax)( x 1) 0有解.x2xx a 0 x (0,1)，设H ( x) e ax，则H ( x) e所以H ( x)在x (0,1)单调递减.因为H (0) 1 0，H (1) e a 0,所以H ( x) ex ax在x (0,1)有唯一解x.0所以有：x(0, x0)x0(x0,1)H ( x)0f(x)0f (x)递减极小值递增所以 当a

15、e时，f (x)在(0,1)内有极值且唯一.a e时，当x (0,1)时，f(x) 0恒成立，f (x)单调递增，不成立综上，a的取值范围为(e, )【练 1-9】（2015-2016 大兴期末理 18）已知函数f (x) ax ax2 2 2a(a 0).（）当a 1时，求函数f (x)在点(2, f (2)处的切线方程；（）求函数f (x)的单调区间；（）若f (x)2 ln x在1, )上恒成立，求a的取值范围.11【答案】（1）当a 1时，f (x) x ，f (x) 1 xx235f (2) 2, f(2)4所以，函数f ( x)在点(2, f (2)处的切线方程为y 35(x 2)

16、42即：5x 4 y 4 0()函数的定义域为：x | x 0f(x) a a 2ax2 (2 a)(a 0)x2x2当0 a 2时，f(x) 0恒成立，所以，f ( x)在(, 0)和(0, )上单调递增当a 2时，令f(x) 0，即：ax22a0，x1 a 2, x2a2aaf(x) 0,x x2或 x x1;f(x) 0,x1 x 0或 0 x x2,19 / 243所以，f ( x)单调递增区间为(, a2)和(a 2, )，单调减区间为aa).(a 2, 0)和(0,a 2aa（）因为f (x) 2 ln x在1, )上恒成立，有ax a 222a2 ln x0(a0)x在1, )上

17、恒成立。所以，令g (x) ax a 2 2 2a 2 ln x，xg(x)aa22ax22xa2(x1)ax(a2).2xx2x2g(x) 0,则 x1 1, x2 a a2若aa2 1，即a 1时，g(x) 0，函数g (x)在1, )上单调递增，又g(1) 0所以，f (x) 2 ln x在1, )上恒成立；a a2 1，即a 1时，当x (0,1), (a a2, )时，g(x) 0, g(x)单调递增；当x (1, aa2)时，g(x) 0，g (x)单调递减所以，g (x)在1, )上的最小值为g (aa2)，因为g (1) 0,所以g(aa2) 0不合题意.aa2 1,即a 1时

18、，当x (0, aa2), (1, )时，g(x) 0, g(x)单调递增，当x (a a2,1)时，g(x) 0, g(x)单调递减，所以，g (x)在1, )上的最小值为g (1)又因为g(1) 0，所以f (x) 2 ln x恒成立综上知， a 的取值范围是 1, ) .20 / 243考点二、已知函数单调求参数范围；考点二、已知函数单调求参数范围；【例 2-1】（2015-2016 石景山期末文 20）已知函数(x) 13x3m21x2, g(x) 13 mx,mR.（）若f (x)在x 1处取得极小值,求m的值；（）若f (x)在区间2,为增函数,求m的取值范围；（）在（）的条件下,

19、函数h(x) f (x) g(x)有三个零点,求m的取值范围【答案】（）f (x) x2 (m 1)xf (x)在x 1处取得极大值,得f (1) 1 (m 1) 0,所以m 0(经检验适合题意)（）f (x) x2 (m 1)x,因为f (x)在区间(2, )为增函数,所以x2(m 1)x x(x m 1) 0在区间(2, )恒成立,所以x(x m 1) 0恒成立,即m x 1恒成立,由于x 2,得m 1.所以m的取值范围是m 1.（）h(x) f (x) g(x) 13x3m21x2 mx 13,h(x) x2(m 1)x m (x 1)(x m) 0,得x m或x 1m 1时,h(x)

20、(x 1)2 0,h(x)在R上是增函数,显然不合题意.m 1时,f (x), f (x)随x的变化情况如下表:x(, m)m(m,1)1(1, )h(x)+00+极大值13121极小值m1h (x)6m2m3221 / 24313121mm 0623要使f (x) g(x)有三个零点,故需,m1022即(m 1)(m2m2)0, 解得m 1 3m 1所以m的取值范围是m 1 3.【例2-2】（2015-2016朝阳期中文19）已知函数f (x)a ln xx2(a1)x，a R2（）若函数f ( x )在区间(1,3)上单调递减，求 的取值范围；（）当a 1时，证明f (x) 1.2【答案】

21、（I）函数的定义域为 (0, ) .因为ax2(a1)xa(x1)(xa )f (x) x (a 1) .xxx又因为函数f ( x )在(1,3)单调减，所以不等式(x 1)(x a) 0在(1,3)上成立.g (x) (x 1)(x a)，则g(3) 0，即9 3(a 1) a 0即可，解得a 3.所以 的取值范围是3, ) .（）当a 1时，f (x) ln x x2，2(x) 1x x21( x 1)( x 1).xxxf (x) 0 x 1x 1.令，得或（舍）xf (x), f (x)当变化时，变化情况如下表：x(0,1)1(1, )0+f ( x)f (x)极小值22 / 243

22、所以x 1时,函数f (x)的最小值为f (1) 1.2f (x) 12成立.所以【练2-1】（2015-2016海淀期中文18）已知函数f ( x) 1x3 x2 ax 1.3（）若曲线y f ( x)在点(0,1)处切线的斜率为3，求函数f ( x)的单调区间；（）若函数f ( x)在区间2, a 上单调递增，求a的取值范围.【答案】（）因为f (0) 1，所以曲线y f ( x)经过点(0,1)，f (x) x2 2x a，所以f (0) a 3，所以f ( x) x2 2x 3.当x变化时，f (x)，f (x)的变化情况如下表x(, 3)3(3,1)1(1，+)f ( x)00f (

23、 x)极大值极小值所以函数f (x)的单调递增区间为(, 3)，(1, +)，单调递减区间为(3,1).（）因为函数f ( x)在区间2, a上单调递增，所以f ( x) 0对x 2, a成立，只要f (x) x2 2x a在2, a上的最小值大于等于 0 即可.因为函数f (x) x2 2x a 0的对称轴为x 1，当2 a 1时，f ( x)在2, a上的最小值为f (a)，f (a)=a2 3a 0，得a 0或a 3，所以此种情形不成立当1 a时，f ( x)在2, a上的最小值为f (1)，f (1) 1 2 a 0得a 1，所以a 1，23 / 243综上，实数 a 的取值范围是a

24、1.【练 2-2】（2015-2016 丰台一模文 19）已知函数f (x) m2x2 x ln x（1）求曲线C：y f (x)在x 1处的切线l的方程；（2）若函数f (x)在定义域内是单调函数，求m的取值范围；（3）当m 1时，（1）中的直线l与曲线C：y f (x)有且只有一个公共点，求m的取值范围。11,m1f (x) mx 11f (1) m 2【答案】（）由已知得，切点坐标为，2xm所以切线方程为m 2x y 10 2（2）由已知得，函数的定义域为0, (x) mx 11x，又因为函数在定义域中是单调函数，所以有f (x) 0恒成立或者(x) 0恒成立、当恒成立时，即mx11恒成

25、立，1f (x) 0 0 xm x 1恒成立，即m大于x 1的最大值x2x2g(x) x 1，x 0, ，有g(x) x 2 02x3所以g(x)在定义域中单调递减，无最大值，所以不存在m满足条件。2、当f (x) 0恒成立时，即mx 1 1x 0恒成立，m x1恒成立，即m小于x 1的最小值x2x2由上种情况可知，g(x)单调递减，但恒有g(x) 0，因此m的取值范围为, 024 / 243（3）当m 1时，（1）中的直线l与曲线C：y f (x)有且只有一个公共点(m 2)x m21m2x2 x ln x只有一个根，h(x) m2x2 (1 m)x ln x (1 m2)，x 0, ，有h

26、(x)只有一个零点h(x) mx (1 m) 1(mx1)(x1)，xx1、当m 0时，h(x) 11xxx1，h(x)在0,1单调递减，在(1, )单调递增，在h(1)取得最小值 2，大于 0因此h(x)恒大于 0，所以m 0舍去2、当m 1, 0时，解得x11，x2 11，+mx0,11 1111, , mmm-0+0-f (x)f (x)减极小值增极大值减易知h(1) 2 m 0，而当x 时，h(x) 0，所以h(x)在(1), 只存在一个零点。3、当m (0,)时，解得x11，x2 1, 0mx(0,1)1(1, )-0+f (x)f (x)减极小值增当x 0时，h(x) 0，所以若h

27、(x)只有一个零点，必须有h(1) 02 m 0，m 2综上所述，m的取值范围为m 2和(1, 0)【练 2-3】（2015-2016 朝阳期末理 18）已知函数 f (x) ax ln x ,其中a R（）若f (x)在区间1, 2上为增函数，求a的取值范围；（）当a e时，（）证明：f (x) 2 0；（）试判断方程f (x) lnxx32是否有实数解，并说明理由25 / 243【答案】函数f (x)定义域x (0,)，f (x) a 1x（）因为f (x)在区间1, 2上为增函数，所以f (x) 0在x 1, 2上恒成立，f (x) a 1x 0，a 1x在 x 1, 2 上恒成立，则a

28、 12.（）当a e时， f (x) e x ln x ,f (x) ex 1x（）令f (x) 0，得x 1ef (x) 0,得x (0,1e)，所以函数f (x)在(0,1e)单调递增f (x) 0,得x (1e, )，所以函数f (x)在(1e, )单调递减所以，f (x) f (1) e 1 ln1 2maxeee（）由（）知，f (x)max 2， 所以| f (x) | 2g(x) ln x3, x (0, ).所以g (x) 1lnx2x2g (x) 0，得 x e g (x) 0,得x (0,e)，所以函数g ( x)在(0, e)单调递增，g (x) 0,得x (e, )，所

29、以函数g ( x)在(e, )单调递减；所以，g(x) g(e) ln e313 2， 即g(x) 2maxe2e2所以，方程| f (x) |lnxx32没有实数解【练 2-4】（2015-2016 海淀期中理 18）已知函数fx13x3 x2 ax 1，曲线y fx在点0,1处的切线为l（）若直线l的斜率为3，求函数fx的单调区间；26 / 243（）若函数fx是区间2, a上的单调函数，求a的取值范围【答案】（）f x x2 2 x ax R因为直线l的斜率为3所以f 0 a 3所以f x x2 2 x 3所以f xx 3x 1令f x 0解得x1 3x21所以当x , 3和x 1, 时

30、，f x 0 x 3,1时，f x 0所以fx的单调增区间为, 3和1, ，单调减区间为3,1（）要使fx在2, a上单调只需f x 0或f x 0在2, a恒成立a 2a 2（1）f x 00在2, a恒成立等价于 f 2，即a 023a0f a 0a解得2a0（2）f x 0在2, a恒成立，2 a 1时，f a 0，即a2 3a 0，解得a 3（舍）或a 0（舍）a 1时，f 1 0，即1 2 a 0，解得a 1综上所述2, 01, 27 / 243考点三、已知函数不单调求参数范围；考点三、已知函数不单调求参数范围；【例 3-1】已知函数f (x) 1x3 ax2 (a21)x b (a

31、, b R).当a 0时，若f (x)在3区间(1,1)上不单调，求a的取值范围.【答案】解法一：f( x) x2 2ax (a21) x (a 1)x (a 1)f (x) 0，解得x1 a 1, x2 a 1，x1 x2x( , a 1)a 1(a 1 , a 1)a 1(a 1 , )g ( x)0000f ( x)f (x)极大值极小值因为f (x)在区间(1,1)上不单调，所以f (x)区间(1,1)上存在极值点，所以1 x11，或1 x211 a 1 1，或1 a 11所以0 a 2或 2 a 0a (2,0) (0,2).解法二:f( x) x2 2ax (a21) x (a 1

32、)x (a 1)因为函数f (x)在区间(1,1)不单调，所以函数f (x)在(1,1)上存在零点.f (x) 0，解得x1 a 1, x2 a 1，区间长为2，在区间(1,1)上不可能有2个零点.所以f (1) f (1) 0即：a2(a 2)(a 2) 0a2 0，(a 2)(a 2) 0， 2 a 228 / 243又a 0，a (2,0) (0,2).【例 3-2】已知函数gx a ln x x2 axa 0，若y gx在区间0, 2上不单调，a的取值范围【答案】29 / 243考点四、已知函数存在单调区间求参数范围；考点四、已知函数存在单调区间求参数范围；【例 4-1】设函数f (x

33、) ln x (x a)2，a R.若函数f (x)在12, 2上存在单调递增区间，试求实数a的取值范围.【答案】解法一：f (x) 1 2(x a) 2x22 ax1xxg (x) 2x2 2ax 1，依题意，在区间12, 2上存在子区间使得不等式g (x) 0成立.注意到抛物线g (x) 2x2 2ax 1开口向上，所以只要g(2) 0，或g (12) 0即可g(2) 0，即8 4a 1 0，得a 94，g (12) 0，即12 a 1 0，得a 32，所以a 94，所以实数a的取值范围是(,94).解法二：1 2(x a) 2 x22 ax 1，f (x) xx依题意得，在区间1, 2上

34、存在子区间使不等式2x2 2ax 1 0成立.2又因为x 0，所以2a (2x 1).x1，所以2a小于函数g ( x)在区间1设g (x) 2x , 2的最大值.x2又因为g(x) 2 1，x230 / 243由g(x) 2 1 0解得x 2；x221.由g(x) 2 0解得0 x 2x22所以函数g ( x)在区间(22, 2)上递增，在区间(12,22)上递减.所以函数g ( x)在x 12，或x 2处取得最大值.g(2) 92，g (12) 3，所以2a 92，a 94所以实数a的取值范围是(,94).【例 4-2】（2010-2011 朝阳二模理 18）设函数f (x) = ln x

35、 +(x - a)2，a R.（）若a =0，求函数f (x)在1, e上的最小值；f(x)1, 2（）若函数在2上存在单调递增区间，试求实数a的取值范围；【答案】31 / 24332 / 243【练 4-1】已知函数f (x) mx33 x2 x，m R函数f (x)在(2, )上存在单调递增区间，求m的取值范围【答案f (x) mx2 2x 11当m 0时，f (x) 2x 1f (x) 2x 1 0，解得x 12x(,11(1, )2)220f (x)f (x)极小值33 / 243则f (x)在(2, )上单调递增区间，满足题意.2当m 0时 4 4m2.1当 0，即m 1时， (x)

36、 0，f (x)在R上单调递减(舍）2.2当 0，即m 1，且m 0时f (x) mx2 2x 1 0，解得：x11 mm1，x11 mm12.2.1当m 0时，x1 x2x( , x1) x1(x1, x2)x2( x2, )00f ( x)f (x)极大值极小值则f (x)在(2, )上单调递增区间，满足题意2.2.2当1 m 0时，x x21x( , x1) x2(x2, x1)x1( x2, )00f ( x)f (x)极小值极大值要使f (x)在(2, )上存在单调递增区间，34 / 243x1 2，即1 mm 1 2，解得34 m 0所以34 m 03,综上所述得：m的取值范围为：

37、解法二：f (x) mx2 2x 1f (x)在(2, )上存在单调递增区间等价于在(2, )存在区间使 (x) mx2 2x 1 0成立，即存在m使m 1 2x成立x2设h(x) 1 2x1212 11x2x2x x当x 2时，0 x 12，34 h(x) 0则m 343,所以，m的取值范围为：35 / 243考点五、两个函数在具有相同的单调性求参数范围；考点五、两个函数在具有相同的单调性求参数范围；【例 5-1】（2012-2013 西城一模文 18）已知函数f (x) ex ax，g (x) ax ln x，其中a 0（）求f (x)的极值；（）若存在区间M，使f (x)和g (x)在区

38、间M上具有相同的单调性，求a的取值范围f (x)Rf (x) e a2【答案】（）的定义域为， 且x分 当a 0时，f (x) ex，故f (x)在R上单调递增从而f (x)没有极大值，也没有极小值4 分a0f (x) 0 xln(a) 当时，令，得(x)和f (x)的情况如下：x(, ln(a)ln(a)(ln(a), )f0(x)f (x)故f (x)的单调减区间为(, ln(a)；单调增区间为(ln(a), )从而f (x)的极小值为f (ln(a) a a ln(a)；没有极大值6 分g(x)(0, )g (x) a xx8（）解：的定义域为，且1ax 1分 当a 0时，f (x)在R

39、上单调递增，g(x)在(0, )上单调递减，不合题意9 分a0g (x)0g(x)(0, ) 当时，在上单调递减1 a 0时，ln(a) 0，此时f (x)在(ln(a), )上单调递增，由于g(x)在(0, )上单调递减，不合题意11 分a 1时，ln(a) 0，此时f (x)在(, ln(a)上单调递减，由于f (x)在(0, )上单调递减，符合题意36 / 243综上，a的取值范围是(, 1)13 分【例 5-2】已知函数f (x) ax ln x，g (x) eax 3x，其中a R若存在区间M，使(x)和g ( x)在区间M上具有相同的单调性，求a的取值范围【答案】f (x)的定义域

40、为0,，f (x) ax1x当a 0，f (x)在0,单调递减，当a01 1时，f (x)在0,单调递减，,单调递增,a ag ( x)的定义域为R，且g(x) aeax 3当a00，从而g ( x)在R上单调递增时，显然g (x) 此时f (x)在(1a, )上单调递增，符合题意a 0时，g ( x)在R上单调递增，f (x)在(0, )上单调递减，不合题意a 0时，令g(x) 0，得x01aln(a3)g ( x)和g(x)的情况如下表：x(, x0)x0(x0, )0g (x)g (x)3 a 0时，x0 0，此时g ( x)在(x0, )上单调递增，由于f (x)在(0, )上单调递减

41、，不合题意a 3时，x0 0，此时g ( x)在(, x0)上单调递减，由于f (x)在(0, )上单调递减，符合题意综上，a的取值范围是(, 3) (0, )37 / 243导数专题二、极值问题导数专题二、极值问题【知识结构】【知识结构】【知识点】【知识点】一、函数的极值定义函数f (x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有点都有f (x) f (x0),则称f (x0)是函数的一个极大值，记作y极大值=f (x0)；如果对x0附近的所有点都有f (x) f (x0),则称f (x0)是函数的一个极小值，记作y极小值=f (x0).极大值与极小值统称为极值，称x0为极值点极大值与极小值统

42、称为极值极大值点与极小值点统称为极值点极值点出现在函数的驻点（导数为 0 的点）或不可导点处（导函数不存在，也可以取得极值，此时驻点不存在）。可导函数fx的极值点必定是它的驻点。但是反过来，函数的驻点却不一定是极值点，例如y x3,点0, 0是它的驻点，却不是它的极值点。极值点上fx的导数为零或不存在，且函数的单调性必然变化。极值问题主要建立在分类讨论的基础上，二、求函数的极值点和极值注意事项：1.求极值或极值点，必须点明是极大还是极小。若没有另一个，要说明没有。2.要知道如何判断是否存在极值或者极值点。3.如果已知极值或者极值点，求参数的时候，最后结果需要检验。4.极值点是导函数的根，如果有

43、两个根，要在合适的时候想到伟达定理。三、求函数极值的三个基本步骤第一步、求导数f (x)；第二步、求方程f (x) 0的所有实数根；第三步、考察在每个根x0附近，从左到右，导函数f (x)的符号如何变化如果f (x)的符号由正变负，则f (x0)是极大值；如果由负变正，则f (x0)是极小值如果在f (x) 0的根38 / 243x x0的左右侧，f (x)的符号不变，则f (x0)不是极值39 / 243【考点分类】【考点分类】考点一、分类讨论求函数极值（点）；考点一、分类讨论求函数极值（点）；【例1-1】（2015-2016海淀一模文19）已知函数f(x)1 x.ex()求曲线y f (x

44、)在点(0, f (0)处的切线方程；()求函数f (x)的零点和极值；()若对任意x , x a, )，都有f (x ) f (x ) 1成立，求实数a的最小值.e21212【答案】f (x)ex ex(1 x)x 2(ex)2ex（）设切线斜率为k，所以kf0 2，f (0)11，所以曲线y fx在点(0,1)e0处的切线方程为y 1 2x，即2x y 1 0。（）令f (x) 0，解得x 1。当x 1时，f (x) 0；x 1时，f (x) 0，所以函数f(x)零点有且只有一个，为 1.令f (x) 0，即xex2 0解得x 2。当x 2时，f (x) 0；当x 2时，f (x) 0，所

45、以函数f (x)在x 2处取得极小值f (2) e12，无极大值。（）由（II）知，当x 1时，f (x) 0；x 1时，f (x) 0，且f (x)在(, 2)上单调递减，在(2, )上单调递增，所以f (x)在x 2处取得最小值f (2) e12。且f (1) 0。x1, x2a, )，f (x1) f (x2) f (2) f (x)max e12 f (x)max e12，所以只需(x)max 0。所以a 1。所以a的最小值为 1。【例 1-2】（2010-2011 朝阳二模理 18）设函数f (x) = ln x +(x - a)2，a R.（）若a =0，求函数f (x)在1, e

46、上的最小值；f(x)1, 2（）若函数在2上存在单调递增区间，试求实数a的取值范围；40 / 243（）求函数f (x)的极值点.【答案】41 / 24342 / 243考点二、已知函数极值（点）情况求参数范围；考点二、已知函数极值（点）情况求参数范围；【例 2-1】（2015-2016 朝阳一模文 19）已知函数f (x) kkxxex(k R).（）若k 1,求曲线y f (x)在点0，f (0)处的切线方程；（）求函数f (x)的单调区间；（）设k 0，若函数f (x)在区间3, 2 2上存在极值点，求k的取值范围.【答案】()若k1，函数f (x)的定义域为x x 1，f(x)=ex(

47、3x2).（1 x)2则曲线y f (x)在点0，f (0)处切线的斜率为f (0)=3.而f (0)=1，则曲线y f (x)在点0，f (0)处切线的方程为y 3x 1（）函数f(x)的定义域为x x k，f(x)=ex(2kk2x2).（k x)2（1）当k 0时，由x k,且此时k2 2k k，可得 k2 2k k k2 2k.f (x) 0，解得x -k2 2k或x k2 2k，函数f (x)为减函数；f (x) 0，解得k2 2k x k2 2k，但x k，所以当 k2 2k x k，k x k2 2k时，函数f (x)也为增函数.所以函数f (x)的单调减区间为（-，- k2 2

48、k )，（ k2 2k，+)，单调增区间为（- k2 2k，k )，（k,k2 2k ).（2）当k 0时，函数f (x)的单调减区间为（-,0)，（0,+).k 2时，函数f (x)的单调减区间为（-,-2)，（-2，+).2 k 0时，由2k k2 0，所以函数f (x)的单调减区间为（-,k)，（k,+).即当2 k 0时，函数f (x)的单调减区间为（-,k)，（k,+).（3）当k 2时，此时-k2 2k k.令f (x) 0，解得x -k2 2k或x k2 2k，但x k，所以当x k，43 / 243 x - k2 2k，x k2 2k时，函数f (x)为减函数；令f (x) 0

49、，解得k2 2k x k2 2k，函数f (x)为增函数.所以函数f (x)的单调减区间为（-,k)，（k,-k2 2k )，（k2 2k , )，函数f (x)的单调增区间为（- k2 2k , k2 2k ).9分（）（1）当2 k 0时，由（）问可知，函数f (x)在(3, 22)上为减函数，所以不存在极值点;（2）当k 2时，由（）可知，f (x)在（-k2 2k ,k2 2k )上为增函数，在（ k2 2k , )上为减函数.若函数f (x)在区间(3, 2 2)上存在极值点，则3 k2 2k 2 2，解得4 k 3或1 k 2,所以4 k 3.综上所述，当4 k 3时，函数f (x

50、)在区间3, 2 2上存在极值点.【例2-2】（2015-2016东城期末理19）已知函数f(x)ex a( x ln x)x（）当a 1时，试求f (x)在(1, f (1)处的切线方程；（）当a 0时，试求f (x)的单调区间；（）若f (x)在(0,1)内有极值，试求a的取值范围【答案】（）当a 1时，f/( x) ex( x1)1 1，f/(1)0，f (1)e1方程为y e 1x2x（）ex( x 1)1ex( x1)ax( x1)，f ( x) x2 a(1 x)x2(ex ax)( x 1)x2当a 0时，对于x (0, )，ex ax 0恒成立，所以f(x) 0 x 1；f(x

51、) 00 x 10.所以 单调增区间为(1, )，单调减区间为(0,1)（）若f (x)在(0,1)内有极值，则f(x)在x (0,1)内有解令f( x) (ex ax)( x 1) 0ex ax 0a ex.x2x设g( x) exx (0,1),x44 / 243所以g( x) ex( x 1),当x(0,1)时，g(x)0恒成立，x所以g(x)单调递减.又因为g(1) e，又当x 0时，g(x) ,g(x)在x (0,1)上的值域为(e, ),所以当a e时，f( x) (ex ax)( x 1) 0有解.x2xx a 0 x (0,1)，设H ( x) e ax，则H ( x) e所以

52、H ( x)在x (0,1)单调递减.因为H (0) 1 0，H (1) e a 0,所以H ( x) ex ax在x (0,1)有唯一解x.0所以有：x(0, x0)x0(x0,1)H ( x)0f(x)0f (x)递减极小值递增所以 当a e时，f (x)在(0,1)内有极值且唯一.a e时，当x (0,1)时，f(x) 0恒成立，f (x)单调递增，不成立综上，a的取值范围为(e, )【练 2-1】（2015-2016 房山二模理 18）已知函数fxaex2xa 0（）当a 1时，求函数fx的单调区间；（）设gx fx2x ln x，若gx在区间0, 2上有两个极值点，求实数a的取值范围

53、。【答案】（）当a 1时，fxexx2定义域为,00, fxx2ex 2xexexxx 2x4x4f x 0，得x 2x, 00, 222, fx045 / 243fx递增递减极小值递增（）gx fx2 ln x aex2 ln x，x 0, 2xx2xx2aexxgxx3因为x 0, 2所以令gx 0，只需aex x 0hx aex x，若gx在区间0, 2上有两个极值点，则hx aex x在区间0, 2上有两个零点h x aex1要使hxaex x在区间0, 2上有两个零点，h x 0的唯一根必须在区间0, 2所以令hx0，得x ln1，且a0a 10 ln 2a a 1 0h01ln11

54、hln aealn 0aah2 ae2 2 0解得：2 a 1e2e【练 2-2】已知函数f (x) 1x31m 3x2 (m 6)x，x R（m为常数）.若函数32 f (x)在区间1,上有两个极值点，求实数m的取值范围.【答案】f (x) x2m 3x (m 6)46 / 243 m 32 6m 6 0m 3 1，解得m 3由题意可知2 f (1) 0所以，实数m的取值范围为3,.【练 2-3】已知函数f (x) 13x3 ax2 4x b，其中a, b R且a 0.若函数f (x)在区间1,1上有且仅有一个极值点，求实数a的取值范围.【答案】f ( x)在(1,1)上有且仅有一个极值点，

55、f ( x) x2 2ax 4在 (1,1) 上有且仅有一个异号零点，由二次函数图象性质可得f (1) f (1) 0，即(5 2a)(5 2a) 0，解得a 25或a 25，综上， a 的取值范围是(, 52)(52, ).【练 2-4】已知函数f ( x) 13x3 ax2 4x b，其中a,b R且a 0.（）求证：函数f ( x)在点(0, f (0)处的切线与f ( x)总有两个不同的公共点；（）若函数f ( x)在区间(1,1)上有且仅有一个极值点，求实数a的取值范围.【答案】（）由已知可得f(x)x22ax4.f (0) 4，又f (0) bf ( x)在x 0处的切线方程为y

56、4x b.13x3 ax2 4x b 4x b，整理得(x 3a)x2 0. x 0或x 3a，a 0 3a 0， f ( x)与切线有两个不同的公共点.-7分（）f ( x)在(1,1)上有且仅有一个极值点，f ( x) x2 2ax 4在 (1,1) 上有且仅有一个异号零点，由二次函数图象性质可得f (1) f (1) 0，(5 2a)(5 2a) 0，解得a 25或a 25，47 / 243综上， a 的取值范围是(, 52)(52, ).【练 2-5】（2013-2014 海淀二模文 18）已知函数f (x) 13x3 ax2 4x b，其中a, b R且a 0.（）求证：函数f (x

57、)在点(0, f (0)处的切线与f (x)总有两个不同的公共点；（）若函数f (x)在区间(1,1)上有且仅有一个极值点，求实数a的取值范围.【答案】（）由已知可得f ( x) x2 2ax 4.-1 分-f(0)4，2 分又f (0) b f ( x)在x 0处的切线方程为y 4x b.-4 分令1x3 ax2 4x b 4x b，整理得(x 3a)x2 0.3x 0或x 3a，-5 分a03a0，-6 分 f ( x)与切线有两个不同的公共点.-7 分（）f ( x)在(1,1)上有且仅有一个极值点， f ( x) x2 2ax 4在 (1,1) 上有且仅有一个异号零点，-9 分由二次函

58、数图象性质可得f (1) f(1) 0，-10 分即(5 2a)(5 2a) 0，解得a 5或a 5，-1222分55综上， a 的取值范围是(, ) (,).-13 分22【练 2-6】（2009-2010 年北京高考文 18）设定函数fxax3 bx2 cx da 0，且3方程f x 9 x 0的两个根分别为 1，4。（）当a 3且曲线y f ( x)过原点时，求f ( x )的解析式；（）若f ( x )在( , )无极值点，求a的取值范围。【答案】由a32得2f (x) 3x bx cx d 2bx cf (x) ax因为f (x) 9x ax2 2bx c 9x 0a 2b c 9

59、0的两个根分别为 1,4，所以16a 8b c 36 048 / 243（*）2b c 6 0（）当a 3时，又由（*）式得8b c 12 0解得b 3, c 12又因为曲线y f (x)过原点，所以d 0f (x) x3 3x212x（ ）由于 a0, 所以 “f (x) a3x3 bx2 cx d在（ - ， + ）内无极值点 ” 等价于“f (x) ax2 2bx c 0在（-，+）内恒成立”。由（*）式得2b 9 5a, c 4a。 (2b)2 4ac 9(a 1)(a 9)解a 0得a 1,9 0 9(a 1)(a 9)即a的取值范围1,949 / 243考点三、已知函数极值求参数值

60、；考点三、已知函数极值求参数值；【例 3-1】已知函数f ( x) ekx( x2 x k1) (k 0).（）求f ( x)的单调区间；（）是否存在实数k，使得函数f ( x)的极大值等于3e2？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.【答案】（）f ( x)的定义域为R.(x) kekx(x2 x 1k) ekx(2x 1) ekxkx2 (2 k)x 2，f (x) ekx(kx 2)(x 1) (k 0).令f ( x) 0，解得：x 1或x k2.k 2时，f (x) 2e2 x(x 1)2 0，故f ( x)的单调递增区间是(- , + ).2 k 0时，f ( x)，f ( x