第06讲 动点问题专题-备考2022年中考数学《二轮冲刺核心重点难点热点15讲》(全国通用)解析版

1、硬核：狙击2020中考数学重点/难点/热点一、行程问题公式路程=速度×时间，即二、数轴工具1. 数轴上的每一个点与实数之间的一一对应关系；2. 数轴（坐标轴）上任意两点间的距离表示；3. 数轴（坐标轴）知道一点及其这一点与另一点之间的距离，表示另一点. 1. 针对不同的情况，多画图，充分利用数形结合的与分类讨论的数学思想进行解题；2. 求出所有动点在“起点、拐点、终点”对应的时间；3. 可借助数轴表示出各对应点的时间，凭借各关键点的时间，确定分类讨论的标准；4. 画出每种情形下的图形，结合题意进行解题；5. 掌握动点所经过的路程与相关线段长度之间的区别与联系.6. 解题的关键是从运动

2、图与描述图中获取信息，根据图象确定x的运动时间与函数的关系，同时关注图象不同情况的讨论这类问题往往探究点在运动变化过程中的变化规律，如等量关系、图形的特殊位置、图形间的特殊关系等，且体现分类讨论和数形结合的思想【例题1】（2019大连）甲、乙两人沿同一条直路走步，如果两人分别从这条直路上的，两处同时出发，都以不变的速度相向而行，图1是甲离开处后行走的路程（单位：与行走时间（单位：的函数图象，图2是甲、乙两人之间的距离（单位：与甲行走时间（单位：的函数图象，则【解析】从图1，可见甲的速度为，从图2可以看出，当时，二人相遇，即：，解得：乙的速度，乙的速度快，从图2看出乙用了分钟走完全程，甲用了分钟

3、走完全程，故答案为【例题2】已知，矩形中，的垂直平分线分别交、与点、，垂足为（1）如图1，连接、求证四边形为菱形，并求的长；（2）如图2，动点、分别从、两点同时出发，沿和各边匀速运动一周，即点自停止，点自停止，在运动过程中，已知点的速度为每秒，点的速度为每秒，运动时间为秒，当、四点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值【解答】（1）证明：四边形是矩形，的垂直平分线，在和中，四边形是平行四边形，四边形是菱形，设，则，四边形是矩形，在中，由勾股定理得：，解得，即；（2）显然当点在上时，点在上，此时、四点不可能构成平行四边形；同理点在上时，点在或上或在，在时不构成平行四边形，也不能构成平行四边形因此只

4、有当点在上、点在上时，才能构成平行四边形，以、四点为顶点的四边形是平行四边形时，点的速度为每秒，点的速度为每秒，运动时间为秒，解得以、四点为顶点的四边形是平行四边形时，秒【例题3】将一矩形纸片放在平面直角坐标系中，动点从点出发以每秒1个单位长的速度沿向终点运动，运动秒时，动点从点出发以相等的速度沿向终点运动当其中一点到达终点时，另一点也停止运动设点的运动时间为（秒（1）用含的代数式表示，；是否存在，使得与平行？若存在，求出值；若不存在，请说明理由（2）求面积的最大值（3）如图，将沿翻折，点恰好落在边上的点处，且点的坐标，求的值【解析】（1），四边形是矩形，动点从点以每秒1个单位长的速度沿向终点

5、运动，运动秒时，动点从点出发以相等的速度沿向终点运动当点的运动时间为（秒时，则；存在，与平行，当时，即，；（2），运动到点时，运动到点时，当时，随的增大而增大，当时，的最大值为；（3），设，则，在中，【例题4】（2019春西湖区校级月考）如图，等边的边长为，动点从点出发，沿的方向以的速度运动，动点从点出发，沿方向以的速度运动（1）若动点、同时出发，经过几秒第一次垂直于？（2）若动点、同时出发，且其中一点到达终点时，另一点即停止运动，那么运动到第几秒钟时，点、以及的边上一点恰能构成一个平行四边形？求出时间并请指出此时点的具体位置【解析】（1）如图1，；（2）如图2，当点在上，点在上时，四边形是平

6、行四边形，且，是等边三角形，点在上，且离点；如图3，当点在上，点在上时，四边形是平行四边形，且，是等边三角形，点在上，且离点；如图4，当点在上，点在上时，四边形是平行四边形，且，是等边三角形，点与点重合，不合题意舍去；综上所述：运动到第1秒或第3秒时，点、以及的边上一点恰能构成一个平行四边形，点在上，离点或点在上，离点【例题5】（2019苏州）已知矩形中，点为对角线上的一点，且如图，动点从点出发，在矩形边上沿着的方向匀速运动（不包含点设动点的运动时间为，的面积为，与的函数关系如图所示（1）直接写出动点的运动速度为，的长度为；（2）如图，动点重新从点出发，在矩形边上按原来的速度和方向匀速运动，同

7、时，另一个动点从点出发，在矩形边上沿着的方向匀速运动，设动点的运动速度为已知两动点，经过时间在线段上相遇（不包含点，动点，相遇后立即同时停止运动，记此时与的面积分别为，求动点运动速度的取值范围；试探究是否存在最大值，若存在，求出的最大值并确定运动时间值；若不存在，请说明理由【解析】（1）时，函数图象发生改变，时，运动到点处，动点的运动速度为：，时，时，运动到点处，故答案为：2，10；（2）两动点，在线段上相遇（不包含点，当在点相遇时，当在点相遇时，动点运动速度的取值范围为；过作于，交于，如图3所示：则，解得：，在边上可取，当时，的最大值为【例题6】如图， 已知直角梯形中，为的直径， 动点从点开

8、始沿边向点以的速度运动， 动点从点开始沿边向点以速度运动 、分别从点、同时出发， 当其中一点到达终点时， 另一点也随之停止运动， 设运动时间为，问：（1）为何值时，、两点之间的距离为？（2）分别为何值时， 直线与相切？相离？相交？【解析】 （1），如图 1 ：作于，由勾股定理， 得，解得或 8 ；（2） 当与相切时， 如图 2 ，由相切， 得，直线与相切，或；当，当时运动停止，相交或；相离【例题7】如图1，在abc中，a30°，点p从点a出发以2cm/s的速度沿折线acb运动，点q从点a出发以a(cm/s)的速度沿ab运动，p，q两点同时出发，当某一点运动到点b时，两点同时停止运动设

9、运动时间为x(s)，apq的面积为y(cm2)，y关于x的函数图象由c1，c2两段组成，如图2所示(1)求a的值；(2)求图2中图象c2段的函数表达式；(3)当点p运动到线段bc上某一段时apq的面积大于当点p在线段ac上任意一点时apq的面积，求x的取值范围 【例题8】已知，如图，在abcd中，ab3cm，bc5cm，acab，acd沿ac的方向匀速平移得到pnm，速度为1cm/s；同时，点q从点c出发，沿cb方向匀速移动，速度为1cm/s，当pnm停止平移时，点q也停止移动，如图，设移动时间为t（s）（0t4），连接pq，mq，mc，解答下列问题：（1）当t为何值时，pqmn？（2）设qm

10、c的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使sqmc：s四边形abqp1：4？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由（4）是否存在某一时刻t，使pqmq？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由【解析】（1）在rtabc中，ac4，由平移的性质得mnab，pqmn，pqab，t，（2）过点p作pebc于e，如图cpecba，pet，pebc，sqmcsqpc，ysqmcqcpet（t）tt2（0t4），（3）sqmc：s四边形abqp1：4，sqpc：s四边形abqp1：4，sqpc：sabc1：5，（tt2）：61：5，t2，（4）若pqmq，则pqmpe

11、q，mpqpqe，peqmqp，pq2mpeq，pe2+eq2mpeq，ce，eqcecqt，（）2+（）25×，t10（舍去），t2，t时，pqmq1（2019营口）如图，在矩形中，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点运动，同时点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点运动，当点到达点时，点，同时停止运动连接，设点运动的时间为，若是以为底的等腰三角形，则的值为 【解析】如图，过点作于，四边形是矩形，故答案为：2（2019乐山）如图1，在四边形中，直线当直线沿射线方向，从点开始向右平移时，直线与四边形的边分别相交于点、设直线向右平移的距离为，线段的长为，且与的函数关系如图2所示

12、，则四边形的周长是【解析】，直线，由图可得，由图象可得，又，是等边三角形，四边形的周长是：，故答案为：3（2019菏泽）如图，直线交轴于点，交轴于点，点是轴上一动点，以点为圆心，以1个单位长度为半径作，当与直线相切时，点的坐标是，或，【解析】直线交轴于点，交轴于点，令，得，令，得，设与直线相切于，连接，则，或，或，故答案为：，或，4（2019济宁）小王骑车从甲地到乙地，小李骑车从乙地到甲地，小王的速度小于小李的速度，两人同时出发，沿同一条公路匀速前进图中的折线表示两人之间的距离与小王的行驶时间之间的函数关系请你根据图象进行探究：（1）小王和小李的速度分别是多少？（2）求线段所表示的与之间的函数

13、解析式，并写出自变量的取值范围【解析】（1）由图可得，小王的速度为：，小李的速度为：，答：小王和小李的速度分别是、；（2）小李从乙地到甲地用的时间为：，当小李到达甲地时，两人之间的距离为：，点的坐标为，设线段所表示的与之间的函数解析式为，得，即线段所表示的与之间的函数解析式是5（2019青岛）已知：如图，在四边形中，垂直平分 点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；当一个点停止运动，另一个点也停止运动过点作，交于点，过点作，分别交，于点，连接，设运动时间为，解答下列问题：（1）当为何值时，点在的平分线上？（2）设四边形的面积为，求与的函数关系式；（3）在运

14、动过程中，是否存在某一时刻，使四边形的面积最大？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；（4）连接，在运动过程中，是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由【解析】（1）在中，垂直平分线段，易知：，当点在的平分线上时，当为4秒时，点在的平分线上（2）如图，连接，（3）存在，时，四边形的面积最大，最大值为（4）存在如图，连接，整理得：，解得或10（舍弃）当秒时，6（2019天门）如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别为，动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿边向终点运动；动点从点同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿边向终点运动设运动的时间为秒，（1）直接写出关于的函数

15、解析式及的取值范围：；（2）当时，求的值；（3）连接交于点，若双曲线经过点，问的值是否变化？若不变化，请求出的值；若变化，请说明理由【解析】（1）过点作于点，如图1所示当运动时间为秒时时，点的坐标为，点的坐标为，故答案为：（2）当时，整理，得：，解得：，（3）经过点的双曲线的值不变连接，交于点，过点作于点，如图2所示，在中，点的坐标为，经过点的双曲线的值为 7如图，矩形的顶点的坐标为，定点的坐标为，其中，分别为方程的两根，且，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿轴的正方向匀速运动，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴的负方向匀速运动，两点同时运动，相遇时停止，在运动过程中，以为斜边在

16、轴上方作等腰直角三角形，设运动时间为秒（1）8，（2）当取何值时，与矩形面积比为？（3）当取何值时，的边经过点？（4）设和矩形重叠部分的面积为，求关于的函数关系式【解析】（1）解方程得，方程的两根，故答案为：8，3；（2）由（1）知点，则，由得，根据题意知，解得，则；，且为等腰直角三角形，斜边上的高为，则，解得或（舍去），故时，与矩形面积比为；（3）的边经过点时，构成等腰直角三角形，即，即当秒时，的边经过点故答案为：1；（4）当时，如答图1所示设交于点，过点作于点，则，；当时，如答图2所示设交于点，交、于点、过点作于点，则，则，；当时，如答图3所示设与交于点，则，综上所述，关于的函数关系式为：

17、8（2019句容市模拟）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与坐标轴交于，三点，其中点的坐标为，点的坐标为，连接，动点从点出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向点作匀速运动；同时，动点从点出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向点作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为秒连接（1）填空：，；（2）在点，运动过程中，可能是直角三角形吗？请说明理由；（3）点在抛物线上，且的面积与的面积相等，求出点的坐标【解析】（1）设抛物线的解析式为将代入得：，（2）在点、运动过程中，不可能是直角三角形理由如下：连结在点、运动过程中，、始终为锐角，当是直角三角形时，则将代入抛物线的

18、解析式得：，在中，依据勾股定理得：在中，依据勾股定理可知：在中依据勾股定理可知：，在中，即解得：，由题意可知：不合题意，即不可能是直角三角形 是与的公共边点到的距离等于点到的距离即点到的距离等于所以的纵坐标为4或把代入得，解得， 把代入得，解得，或，或，9如图，在平面直角坐标系中，点a，b的坐标分别为（3，0），（0，6）动点p从点o出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点c从b出发，沿射线bo方向以每秒2个单位的速度运动，以cp，co为邻边构造平行四边形pcod，在线段op延长线上取点e，使peao，设点p运动的时间为t秒（1）直接写出当点c运动到线段ob的中点时，求t的值及点e的坐标（2）当点c在线段ob上运动时，四边形adec的面积为s求证：四边形adec为平行四边形写出s与t的函数关系式，并求出t的取值范围（3）是否存在某一时刻，使oc是pc