假设检验第1讲-0

1、第八章第八章 假设检验假设检验 假设检验是统计推断的一个主要部分假设检验是统计推断的一个主要部分.在科学研究在科学研究, 日常工作甚至生活中经常对某一日常工作甚至生活中经常对某一件事情提出疑问件事情提出疑问. 解决疑问的过程往往是先做一个和疑问解决疑问的过程往往是先做一个和疑问相关的假设相关的假设, 然后在这个假设下去寻找有关的然后在这个假设下去寻找有关的证据证据.如果得到的证据是和假设相矛盾的如果得到的证据是和假设相矛盾的, 就要就要否定这个假设否定这个假设.8.1 8.1 假设检验的概念假设检验的概念 当总体分布函数完全未知或只知其形式、当总体分布函数完全未知或只知其形式、但不知其参数的情

2、况，为推断总体的性质，提但不知其参数的情况，为推断总体的性质，提出某些关于总体的假设。出某些关于总体的假设。 为判断所作的假设是否正确为判断所作的假设是否正确, , 从总体中抽从总体中抽取样本取样本, , 根据样本的取值根据样本的取值, , 按一定的原则进按一定的原则进行检验行检验, , 然后然后, , 作出接受或拒绝所作假设的作出接受或拒绝所作假设的决定决定. .何为何为假设检验假设检验? ? 其理论背景为其理论背景为实际推断原理，即实际推断原理，即“小概率原小概率原理理”, ,其想法和前面的最大似然类似：其想法和前面的最大似然类似：如果实际如果实际观测到的数据在某假设下不太可能出现观测到的

3、数据在某假设下不太可能出现, 则认为则认为该假设错误。该假设错误。我们主要讨论的假设检验的内容有我们主要讨论的假设检验的内容有参数检验参数检验非参数检验非参数检验: 总体均值、均值差的检验总体均值、均值差的检验总体方差、方差比的检验总体方差、方差比的检验分布拟合检验分布拟合检验假设检验的理论依据假设检验的理论依据例例 1: 某产品的出厂检验规定某产品的出厂检验规定: 次品率次品率 p 不超过不超过4%才能出厂才能出厂. 现从一万件产品中任意抽查现从一万件产品中任意抽查12件件发现发现3件次品件次品, 问该批产品能否出厂？若抽查结问该批产品能否出厂？若抽查结果发现果发现1件次品件次品, 问能否出

4、厂？问能否出厂？33912(1)0.0097 0.01P C pp代入04. 0p解解: 先作一个假设。先作一个假设。0:0.04Hp 1:0.04Hp 在在H0成立时成立时我们称我们称H0是原假设或零假设是原假设或零假设.再作一个备择假设再作一个备择假设111112(1)0.306 0.3P C pp这不是这不是 小概率事件小概率事件, 没理由拒绝原假设没理由拒绝原假设。在不。在不准备继续抽样的情况下，作出接受原假设的决准备继续抽样的情况下，作出接受原假设的决定定, 即该批产品可以出厂即该批产品可以出厂.这是这是 小概率事件小概率事件, 一般在一次试验中是不会发一般在一次试验中是不会发生的生

5、的, 现一次试验竟然发生现一次试验竟然发生, 故可认为原假设不故可认为原假设不成立成立, 即该批产品次品率即该批产品次品率p0.04 , 则该批产品不则该批产品不能出厂能出厂.若抽查结果发现若抽查结果发现1件次品件次品, 则则在在H0成立时成立时例例2:2: 一条新建的南北交通干线全长一条新建的南北交通干线全长1010公里公里. .公路公路穿过一个隧道穿过一个隧道( (长度忽略不计长度忽略不计),),隧道南面隧道南面3.53.5公里公里, , 北面北面6.56.5公里公里. . 在刚刚通车的一个月中在刚刚通车的一个月中, , 隧道南隧道南发生了发生了3 3起交通事故起交通事故, , 而隧道北没

6、有发生交通事而隧道北没有发生交通事故故, ,能否认为隧道南的路面更容易发生交通事故能否认为隧道南的路面更容易发生交通事故? ?分析分析: : 用用p表示一起交通事故发生在隧道南的概表示一起交通事故发生在隧道南的概率率. .则则p=0.35表示隧道南北的路面发生交通事故表示隧道南北的路面发生交通事故的可能性相同的可能性相同. .p0.35表示隧道南的路面发生交表示隧道南的路面发生交通事故的概率比隧道北的路面发生交通事故的通事故的概率比隧道北的路面发生交通事故的概率大概率大. . -为了作出正确的判断为了作出正确的判断, , 先作一个假设先作一个假设 H0: p=0.35. 我们称我们称H0是原假

7、设或零假设是原假设或零假设. . 再作一个备择假设再作一个备择假设 H1: : p 0.35. .在本问题中在本问题中, ,如果判定如果判定H0不对不对, ,就应当承认就应当承认H1. .检验检验: 三起交通事故的发生是相互独立的三起交通事故的发生是相互独立的, 他们他们之间没有联系之间没有联系. 如果如果H0为真为真, 则每一起事故发生在隧道南的则每一起事故发生在隧道南的概率都是概率都是0.35, 于是这三起交通事故都发生在隧于是这三起交通事故都发生在隧道南的概率是道南的概率是 P= 0.353 0.043.这是一个很小的概率这是一个很小的概率, 一般不容易发生一般不容易发生. 所以我们否定

8、所以我们否定H0, 认为隧道南的路面发生交认为隧道南的路面发生交通事故的概率比隧道北大通事故的概率比隧道北大. 做出以上结论也有可能犯错误。做出以上结论也有可能犯错误。这是因为这是因为当隧道南北的路面发生交通事故的概率相同当隧道南北的路面发生交通事故的概率相同, 而而3起交通事故又都出现在隧道南时起交通事故又都出现在隧道南时, 我们才犯我们才犯错误。错误。这一概率正是这一概率正是P=0.043. 于是于是, 我们我们判断正确的概率是判断正确的概率是1-0.043=95.7% 假设检验中的基本概念和检验思想假设检验中的基本概念和检验思想(1) 根据问题的背景根据问题的背景, 提出原假设提出原假设

9、 H0: p=0.35, 及其备择假设及其备择假设 H1: p0.35.(2) 在在H0 成立的假设下成立的假设下, 计算观测数据出现的概计算观测数据出现的概率率P. 如果如果P很小很小(一般用一般用0.05衡量衡量), 就应当否定就应当否定H0, 承认承认 H1; 注：注：为了简便为了简便, 我们把以上的原假设和备择假我们把以上的原假设和备择假设记作设记作 H0: p=0.35 vs H1: p0.35. 其中的其中的vs是是versus的缩写的缩写. 如果如果P不是很小不是很小, 也不必急于承认也不必急于承认H0, 这是因为这是因为证据往往还不够充分证据往往还不够充分. 如果继续得到的观测

10、数据还不能使得如果继续得到的观测数据还不能使得P降低下降低下来来, 再承认再承认H0不迟不迟. 参数检验的一般提法参数检验的一般提法 一般来讲一般来讲, 设设X1, X2,Xn是来自总体是来自总体X的样的样本本, 是总体是总体X的未知参数的未知参数, 但是已知但是已知 0 1, 它们它们是互不相交的参数集合是互不相交的参数集合. 对于假设对于假设 H0: 0 vs H1: 1, 根据样本，构造一个根据样本，构造一个检验统计量检验统计量T 和和检验法则：检验法则： 若与若与T的取值有关的一个的取值有关的一个小概率事件小概率事件W发生，则发生，则否定否定H0，否则接受，否则接受H0，而且要求，而且

11、要求0(|)PW H 此时称此时称W为为拒绝域拒绝域， 为为检验水平检验水平。例例 3. 某厂生产的螺钉某厂生产的螺钉, ,按标准强度为按标准强度为6868克克/mm/mm2 2, , 而实际生产的螺钉强度而实际生产的螺钉强度 X 服从服从 N ( ,3.6 2 ). 若若 E ( X ) = = 68, , 则认为这批螺钉符合要求则认为这批螺钉符合要求, ,否否则认为不符合要求则认为不符合要求. .为此提出如下为此提出如下原假设原假设H0 : = 68 和和备择假设备择假设问原假设是否正确问原假设是否正确? ?68.5x H1 : 68 现从该厂生产的螺钉中抽取容量为现从该厂生产的螺钉中抽取

12、容量为 36 36 的样本的样本, , 其样本均值为其样本均值为解：解：构造构造检验统计量检验统计量X又因为又因为 是是 的无偏估计。则它偏离的无偏估计。则它偏离68不不应该太远应该太远, 偏离较远是小概率事件。偏离较远是小概率事件。68(0,1)3.66XN 故故683.66X 取较大值也是小概率事件。取较大值也是小概率事件。若原假设若原假设H0 0正确正确, , 则则23.6(68 ,)36XN由于由于如如 = 0.05= 0.05。确定一个常数确定一个常数 c , 使得使得683.66XPc 则则96. 1025. 02zzc规定规定 为小概率事件的概率大小为小概率事件的概率大小, ,也

13、是显著水平。也是显著水平。通常取通常取 = 0.05, 0.01,= 0.05, 0.01,681.963.66X 由由于是检验的于是检验的拒绝域拒绝域为为 69.18 or 66.824 WXX 现根据样本观测值，现根据样本观测值，68.5x 69.1866.824XX 或或现现68.5x 未落入未落入拒绝域拒绝域, , 则接受原假设则接受原假设H0: = 68 解决假设检验的问题时解决假设检验的问题时, 无论作出否定还无论作出否定还是接受原假设是接受原假设H0的决定的决定, 都有可能犯错误都有可能犯错误. 我们我们称否定称否定H0时犯的错误为第一类错误时犯的错误为第一类错误, 接受接受H0

14、时时犯的错误为第二类错误犯的错误为第二类错误. 具体如下具体如下,(1) H0为真为真, 统计推断的结果统计推断的结果否定否定H0, 犯犯第一类第一类 错误错误, 犯该错误的概率不超过犯该错误的概率不超过 。(2) H0为假为假, 统计推断的结果统计推断的结果接受接受H0, 犯犯第二类第二类 错误错误，我们记犯该错误的概率为，我们记犯该错误的概率为 。假设检验的两类错误假设检验的两类错误H0 为真为真H0 为假为假真实情况真实情况所作判断所作判断接受接受 H0拒绝拒绝 H0正确正确正确正确第一类错误第一类错误 ( (弃真弃真) )第二类错误第二类错误 ( (取伪取伪) )犯第一类错误的概率通常

15、记为犯第一类错误的概率通常记为 犯第二类错误的概率通常记为犯第二类错误的概率通常记为 假设检验的两类错误假设检验的两类错误 如在如在例例1中中, 如果第一起交通事故发生后如果第一起交通事故发生后, 就就断定隧道南更容易发生交通事故断定隧道南更容易发生交通事故, 犯第一类错犯第一类错误的概率是误的概率是0.35. 当第二起交通事故发生后当第二起交通事故发生后, 断断定隧道南更容易发生交通事故定隧道南更容易发生交通事故, 犯第一类错误犯第一类错误的概率是的概率是0.352=0.1225. 如果第四起交通事故又如果第四起交通事故又发生在隧道南发生在隧道南, 否定否定p=0.35时犯第一类错误的概时犯

16、第一类错误的概率是率是0.354=0.015.P( (拒绝拒绝H0|H0为真为真) )在在例例3 中中0.05 (66.82469.18)P XX 在假设检验中，我们希望所用的检验方在假设检验中，我们希望所用的检验方法尽量少犯错误法尽量少犯错误, ,但不能完全排除犯错误的可但不能完全排除犯错误的可能性能性. .理想的检验方法应使犯两类错误的概率理想的检验方法应使犯两类错误的概率都很小都很小, ,但在样本的容量给定的情形下但在样本的容量给定的情形下, , 不可不可能使两者都很小能使两者都很小, ,降低一个降低一个, , 往往使另一个增往往使另一个增大大. . 假设检验的指导思想假设检验的指导思想

17、是是控制犯第一类错误控制犯第一类错误的概率不超过的概率不超过 , ,然后然后, ,若有必要若有必要, ,通过增大样通过增大样本容量的方法来减少本容量的方法来减少 . . 因为因为假设检验一般控制第一类错误在检验水假设检验一般控制第一类错误在检验水平平 以下，以下， 所以所以否定否定H0 时结论比较可靠时结论比较可靠。 如果如果承认承认H0，可能犯第二类错误，可能犯第二类错误，错误概率错误概率可能会比较大可能会比较大。在正确的统计推断前提下在正确的统计推断前提下, 犯错误的原因总犯错误的原因总是随机因素造成的。是随机因素造成的。 要有效减少犯错误的概率要有效减少犯错误的概率, 只好增加观测数只好

18、增加观测数据，或在可能的情况下提高数据的质量，这相当据，或在可能的情况下提高数据的质量，这相当于降低数据的样本方差于降低数据的样本方差.例例4 4 ：第一类错误与第二类错误的比较第一类错误与第二类错误的比较 一个有一个有20多年教龄的教师声称他上课从来不多年教龄的教师声称他上课从来不“点名点名”. 如何判定他讲的话是真实的如何判定他讲的话是真实的? 确立原假设确立原假设H0: 他没有点过名他没有点过名。 然后再调查然后再调查H0是否为真是否为真. 当调查了他教过的当调查了他教过的3个班个班, 都说他没有点过名都说他没有点过名, 这时如果承认这时如果承认H0, 犯错误的概率还是较大的犯错误的概率

19、还是较大的. 当调查了他教过的当调查了他教过的10个班个班, 都说他没有点过名都说他没有点过名, 这时承认这时承认H0 犯错误的概率会明显减少。犯错误的概率会明显减少。 如果调查了他教过的如果调查了他教过的30个班个班, 都说他没有点都说他没有点过名过名, 这时承认这时承认H0犯错误的概率就会很小了。犯错误的概率就会很小了。可惜调查可惜调查30个班是很难做到的！个班是很难做到的！ 反过来反过来, 在调查中只要有人证实这位老师点过在调查中只要有人证实这位老师点过名名, 就可以否定就可以否定H0了了(不论调查了几个班不论调查了几个班), 并且这并且这样做犯错误的概率很小样做犯错误的概率很小. 例例

20、4告诉我们告诉我们, 要否定原假设要否定原假设H0是比较简单的是比较简单的, 只要观测到了只要观测到了H0下小概率事件就可以。下小概率事件就可以。 要承认要承认H0就比较费力了就比较费力了: 必须有足够多的证必须有足够多的证据据(样本量样本量), 才能够以较大的概率保证才能够以较大的概率保证H0的真实的真实. 在这个例子中还有一个现象值得注意在这个例子中还有一个现象值得注意: 当调当调查查10个班发现都没有点过名就承认个班发现都没有点过名就承认H0时时, 即使判即使判断失误断失误, 造成的后果也不严重造成的后果也不严重. 因为数据已经说明因为数据已经说明这位老师不爱点名这位老师不爱点名.假设检

21、验步骤假设检验步骤( (三部曲三部曲) ) q 根据实际问题所关心的内容根据实际问题所关心的内容, ,建立建立H0与与H1。q 在在H0为真时为真时,选择合适的统计量选择合适的统计量T, 并并确定确定 拒绝域拒绝域。q 根据样本值计算根据样本值计算, ,并作出相应的判断并作出相应的判断. .8.2 8.2 正态均值的假设检验正态均值的假设检验A. A. 已知已知 时，时， 的的正态正态检验检验法法例例 5: 一台方差是一台方差是0.8克的自动包装机在流水线克的自动包装机在流水线上包装净重上包装净重500克的袋装白糖克的袋装白糖. 现随机抽取了现随机抽取了9袋白糖袋白糖, 测得净重如下测得净重如

22、下(单位单位:克克)： 499.12 499.48 499.25 499.53 500.82 499.11 498.52 500.01 498.87. 能否认为包装机在正常工作能否认为包装机在正常工作? 分析分析: 9袋白糖中有袋白糖中有7袋净重少于袋净重少于500克克, 似乎净重似乎净重0=500不对不对. 但是但是, 方差是方差是0.8克克, 也可能是由于包装机的随也可能是由于包装机的随机误差导致了以上的数据机误差导致了以上的数据.解：解： 将包装机包装的袋装白糖的净重视为总体将包装机包装的袋装白糖的净重视为总体X, 则则X N ( 2)， 其中其中 2 =0.8已知，已知， 未知未知.

23、90(0,1)9XZN 在在H0下下, 用用Xj表示第表示第 j 袋白糖的净重袋白糖的净重, 则则X1,X2,X9是来自总体是来自总体X的的n=9个样本个样本. 提出假设提出假设 H0: = 0 vs H1: 0. 若要求若要求(|)P Zc 对于标准正态分布，对于标准正态分布，c应为其上应为其上/2分位数分位数z/2，于是于是拒绝域拒绝域为为90/2| |9xWZz 本例中，如果取本例中，如果取 =0.05, 则则 根据抽样数据，得根据抽样数据，得|z| = 1.97时时, 不该发生的小不该发生的小概率事件发生了概率事件发生了, 于是否定原假设于是否定原假设H0. 900.025| |1.9

24、69xWZz 在例在例5中，中，称称为检验的显著性水平为检验的显著性水平, 简称为简称为显显著性水平著性水平, 检验水平检验水平, 或水平或水平(level); Z称为称为检验检验统计量统计量; |Z| z/2称为检验的称为检验的拒绝域拒绝域或否定域或否定域; -由于这种检验方法是基于正态分布的方法由于这种检验方法是基于正态分布的方法, 所以又称为所以又称为正态检验法或正态检验法或Z检验法检验法.- 拒绝域是一个事件拒绝域是一个事件, 它的发生与否由它的发生与否由|Z|, 从从而由观测样本而由观测样本X1,X2,.,Xn决定决定.- 如果事件如果事件|Z| z /2发生了发生了, 就称就称检验

25、是显检验是显著的著的. 这时否定这时否定H0, 犯第一类错误的概率不超过犯第一类错误的概率不超过。 在例在例5中中, 如果取检验水平如果取检验水平 =0.04, 则临界则临界值值z /2 =2.054 . 这时这时|z|=1.97 68例例3 3中的备择假设是双侧的中的备择假设是双侧的. . 某厂某厂生产的螺钉强度生产的螺钉强度 X 服从服从 N ( ,3.6 2 ).如果根据以往的生产情况如果根据以往的生产情况, ,按标准强度按标准强度 0 0=68.=68.现现采用了新工艺采用了新工艺, ,关心的是新工艺能否提高螺钉强关心的是新工艺能否提高螺钉强度度, , 越大越好越大越好. .此时此时,

26、 , 可作如下的假设检验可作如下的假设检验: :当当原假设原假设H0 : = 0 = 68 为真时为真时, ,0X 取较大值的概率较小取较大值的概率较小当当备择假设备择假设H1: 68 为真时为真时, ,0X 取较大值的概率较大取较大值的概率较大给定显著性水平给定显著性水平 , , 根据根据0XPCn 可确定可确定拒绝域拒绝域0(,)Xzn 称这种检验为称这种检验为单边检验单边检验. .原假设原假设 H0: 68备择假设备择假设 H1: 682(,),()XNE Xn 另外另外, ,可设可设若原假设若原假设H0正确正确, , 要求要求XPCn 但现不知但现不知 的真值，只知的真值，只知 0 0

27、 = 68= 68。由于由于0/XXCCnn 且且 (0,1)/XNn 0()()/XXPCPCnn 所以，只要取所以，只要取C = z ，可得，可得()/XPzn 于是于是0()/XPzn 为为小概率事件。小概率事件。故取拒绝域为故取拒绝域为0(,)Xzn 此时，犯第一类错误的概率此时，犯第一类错误的概率 。 0 0 0 0 02zZ zZzZ Z 检验法检验法 ( 2 2 已知已知) )原假设原假设 H0备择假设备择假设 H1检验统计量及其检验统计量及其H0为真时的分布为真时的分布拒绝域拒绝域) 1 , 0(0NnXZ 在例在例5中中, 从实际数据计算得到从实际数据计算得到 |z|=1.9

28、7. 如果拒绝域取成如果拒绝域取成 |Z| 1.97, 则刚刚能够拒则刚刚能够拒 绝绝H0. 这时犯第一类错误的概率是这时犯第一类错误的概率是 P=P(|Z|1.97)=0.0488. 我们称我们称P=0.0488是检验的是检验的P值值(P-value). B. B. P 值检验法值检验法 检验的检验的P P值值(P-value) 是指在是指在H0成立的假设下成立的假设下根据已知根据已知观测观测， H0被拒绝时最小的显著性水平被拒绝时最小的显著性水平。 P值越小值越小, 数据提供的否定数据提供的否定H0的证据越充分的证据越充分.如果检验的显著性水平如果检验的显著性水平是事先给定的是事先给定的,

29、 当当P值值小于等于小于等于, 就要否定就要否定H0. 引入引入P值，可以使假设检验的结果更有意义。值，可以使假设检验的结果更有意义。 P值是在值是在H0成立的假设下观测到的样本倾向成立的假设下观测到的样本倾向于于 H1的概率。的概率。 在例在例5中中,检验法的检验法的P值是值是P=P(|Z| |z|) =2(-|z|).C.C.未知未知时，均值时，均值 的的t 检验检验法法例例 6: 在例在例5中如果中如果9个袋装白糖的样品是从超级个袋装白糖的样品是从超级市场仓库中随机抽样得到的市场仓库中随机抽样得到的, 能否认为这批能否认为这批500克袋装白糖的平均重量是克袋装白糖的平均重量是500克克?

30、 211()1nnjjSXXn 标准差标准差 未知未知, 可用样本标准差可用样本标准差S代替代替 .解解: 对对 0=500克克, 仍作假设仍作假设 H0: = 0 vs H1: 0.在在H0下下, 从从 7.3节的定理节的定理3.6知道知道检验统计量检验统计量0 (1)nXTt nSn 说明在说明在H0下下, T在在0附近取值是正常的附近取值是正常的, 如果如果|T|取取值较大就应当拒绝值较大就应当拒绝H0. 根据分位数根据分位数t /2(n-1)的性质的性质, 有有 P(|T| t /2(n-1)= .于是于是H0的显著性水平为的显著性水平为 的的拒绝域拒绝域是是 |T| t /2(n-1

31、) 取取 =0.05, 查表得到查表得到t0.05/2(8)=2.306. 经过经过计算得到计算得到 S=0.676, |T|= 2.609 2.306, 所以应当所以应当否定否定H0, 认为认为500. 作出以上判断也有可能犯错误作出以上判断也有可能犯错误, 但是犯错误但是犯错误的概率不超过的概率不超过 0.05.由于这种检验方法是基于由于这种检验方法是基于t t分布的方法分布的方法, , 所以又称为所以又称为t t检验法检验法. .|)|(2|)|(|11aTPaTPPnn设统计量的计算结果为设统计量的计算结果为a, ,则检验法的则检验法的值值为为其中，其中，).1(1ntTnD.D.未知

32、未知时，均值时，均值 的的单边单边检验检验法法例例7：在例在例6中中, 抽查的抽查的9袋白糖的平均重量袋白糖的平均重量为为499.412克克可以引起我们的怀疑可以引起我们的怀疑. 这批袋装白糖这批袋装白糖的平均重量是否不足呢的平均重量是否不足呢? 解：解：为了解决这个问题为了解决这个问题, 我们提出假设我们提出假设 H0: 500 vs H1: 500 如果否定了如果否定了H0, 就认定这批袋装白糖的份量不足就认定这批袋装白糖的份量不足. 由于由于在在H0下下, 不知道不知道 的具体值的具体值, 所以所以T的分的分布是未知的布是未知的.nXTSn 0500 (1)nnXXTTt nSSnn 但

33、是这时有但是这时有H0: 500 vs H1: 500因为因为 P(T -t (n-1) P( T0 -t (n-1)= , 所以可以构造所以可以构造拒绝域拒绝域为为 T -t (n-1)当当T -t (n-1), 应当否定应当否定H0 在本例中在本例中, 查表得到查表得到-t0.05(8)=-1.86, T=-2.609-1.86, 所以应当否定所以应当否定H0. 认定这批袋装白糖的分认定这批袋装白糖的分量不足。这时，量不足。这时， 犯错误的概率不超过犯错误的概率不超过0.05. 由于这种检验方法是基于由于这种检验方法是基于t分布的方法分布的方法, 所以所以又称为又称为t 检验法检验法.本例

34、中本例中, 以为检验的拒绝域时以为检验的拒绝域时, 刚刚可以拒绝刚刚可以拒绝H0 。所以检验的。所以检验的值值是是 P=P()= 0.0156 500 拒绝域为：拒绝域为： ，经过计算可知，经过计算可知, T=2.609，故，故不拒绝不拒绝H0 ，即检验是即检验是不显著不显著的。的。分析例分析例5和和7的问题背景就会看出的问题背景就会看出, 在例在例5中应当作双边检验中应当作双边检验因为多装和少装白糖都是不符合生产标准的因为多装和少装白糖都是不符合生产标准的.500:500:10HvsH在例在例7中只需要作单边检验中只需要作单边检验500:500:10HvsH因为超市只需要知道袋装白糖不缺斤少

35、两就够了因为超市只需要知道袋装白糖不缺斤少两就够了.例例8. 糕点厂经理为判断牛奶供应商所供应的鲜牛糕点厂经理为判断牛奶供应商所供应的鲜牛奶是否被兑水奶是否被兑水, 对它供应的牛奶进行了随机抽样对它供应的牛奶进行了随机抽样检查检查. 测得测得12个鲜牛奶样品的冰点如下个鲜牛奶样品的冰点如下, -0.5426, -0.5467, -0.5360, -0.5281 -0.5444, -0.5468, -0.5420, -0.5347 -0.5468, -0.5496, -0.5410, -0.5405. 已知天然牛奶的冰点是已知天然牛奶的冰点是-0.545摄氏度摄氏度. 问牛奶是否被兑水问牛奶是否

36、被兑水.分析：分析：设设 n=12用用 表示第表示第 i 个样品的冰点个样品的冰点, 则则 是来自正态总体是来自正态总体 的样本的样本, 参参 数数 未知。未知。如果牛奶没有被兑水如果牛奶没有被兑水, 那么那么nXXX, 21,iX),(2N2,.545. 0根据测量的数据可以计算出样本均值根据测量的数据可以计算出样本均值 0.5416, 样本方差样本方差 S = 0.0061. 由于水的冰点是摄氏度由于水的冰点是摄氏度, 所以兑水牛奶的所以兑水牛奶的冰点将会提高。现在冰点将会提高。现在 0.545,于是有理由怀于是有理由怀疑牛奶被兑水疑牛奶被兑水. nXnX解：解：根据测量的数据可以计算出样

37、本均值根据测量的数据可以计算出样本均值 0.5416, 样本方差样本方差 S = 0.0061。设。设=0.545，作假设作假设 检验统计量检验统计量nX0（兑水）（没兑水）0100:HvsHSXnTn0查查t分布表得分布表得 t0.05(11) = 1.796。所以可以构造所以可以构造拒绝域拒绝域为为 T t (n-1)经计算经计算T1.9308 1.796, 检验是显著的检验是显著的, 所所以否定，认为牛奶被兑水。以否定，认为牛奶被兑水。判断牛奶被兑水判断牛奶被兑水, 犯错误的概率不超过检验犯错误的概率不超过检验水平水平 。0H05. 0本例中检验的本例中检验的值值是是.04. 0)930

38、8. 1(11TPP 由于这种检验方法是基于由于这种检验方法是基于t分布的方法分布的方法, 所以所以又称为又称为t 检验法检验法.)(1aTPPn设统计量的计算结果为设统计量的计算结果为 , ,则则检验法的检验法的值值为为其中，其中，).1(1ntTnsxnan0 0 0 0 02tT 0tT tT) 1(0ntnSXTT 检验法检验法 ( 2 2 未知未知) )原假设原假设 H0备择假设备择假设 H1检验统计量及其检验统计量及其H0为真时的分布为真时的分布拒绝域拒绝域例例9: 某厂生产小型马达某厂生产小型马达, 其说明书上写着其说明书上写着: 这这种小型马达在正常负载下平均消耗电流不会超种小

39、型马达在正常负载下平均消耗电流不会超过过0.8 安培安培. 现随机抽取现随机抽取16台马达试验台马达试验, 求得平均消耗电求得平均消耗电流为流为0.92安培安培, 消耗电流的标准差为消耗电流的标准差为0.32安培安培. 假设马达所消耗的电流服从正态分布假设马达所消耗的电流服从正态分布, 取取显著性水平为显著性水平为 = 0.05, 问根据这个样本问根据这个样本, 能否能否否定厂方的断言否定厂方的断言?分析分析：由于：由于08 . 092. 0X可知样本支持可知样本支持0考虑将考虑将0作备择假设，以便拒绝零假设作备择假设，以便拒绝零假设0解一：解一： 根据题意待检假设可设为根据题意待检假设可设为 H0 : 0.8 vs H1 : 0.8 未知未知, 故故选选检验统计量检验统计量:(15)/16XTTS 拒绝域拒绝域为为0.81.5 1.753/xsn 故接受原假设故接受原假设, 即即不能否定不能否定厂方断言厂方断言.(15)/16XTTS H0 : 0.8 vs H1 : 0.8, 查表得查表得 t0.05(15) = 1.753, 计算得计算得0.8(1)/Xt nSn 讨论讨论1： 如果从如果从p值来看，值来看， 即使拒绝零假设，即使拒绝零假设，否认厂方断言，犯错误的概率否认厂方断言，犯错误的概率也不超过也不超过0.0772。.0772. 0) 5 . 1(15TPP讨论