2019高考数学考点突破——导数及其应用与定积分：导数与函数的极值、最值学案

1、导数与函数的极值、最值【考点梳理】1 函数的极值与导数的关系(1) 函数的极小值与极小值点若函数f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小，f(a) =0，而且在点x=a附近的左侧f(X)v0，右侧f(x) 0，则点a叫做函数的极小值点，f(a) 叫做函数的极小值.(2) 函数的极大值与极大值点若函数f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大，f(b) =0,而且在点x=b附近的左侧f(x) 0,右侧f(x)v0,则点b叫做函数的极大值点，f(b) 叫做函数的极大值.2 函数的最值与导数的关系(1) 函数f(x)在a,b上有最值的条件

2、如果在区间a,b上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最 小值.(2) 求y=f(x)在a,b上的最大(小)值的步骤1求函数y=f(x)在(a,b)内的极值;2将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a) ,f(b)比较，其中最大的一个是最大值, 最小的一个是最小值.【考点突破】考点一、利用导数研究函数的极值问题【例 1】已知函数f(x) = Inxax(a R).1(1) 当a= 2 时，求f(x)的极值；(2) 讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数 .1 1解析(1)当a= 2 时,f(x) = Inx ?x,112 x函数的定义域为(0，+m)且f(X)

3、=x2= 27,令f(x) = 0，得x= 2,于是当x变化时，f (x),f(x)的变化情况如表x(0,2)2(2, D2f (x)+0一f(x)单调递增ln 2 1单调递减故f(x)在定义域上的极大值为f(x)极大值=f(2) = In 2 1，无极小值.由知，函数的定义域为(0 ,+),11 axf(x)=x a(x0).z.z.当a0 在(0,+)上恒成立，即函数在(0,+)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点;1故函数在x=-处有极大值.a综上可知，当awo时，函数f(x)无极值点，1 当a0 时，函数y=f(x)有一个极大值点，且为x=-.a3x a2【例 2】(1)若函数f(x

4、) = 2x+x+ 1 在区间 32_322已知函数f(x) =x+ax+bxa 7a在x= 1 处取得极大值 10,则石的值为()A. | B. 22 2C. 2 或3D. 2 或答案D (2) A3x a2解析(1)因为f(x)=只 +x+ 1 , 所以f(x) =x2ax+ 1.则实数a的取值范围是( )(10)A2,亍W 口C 3， 4B.2,10当a0 时，当xf (x)0，得 1x4，令t(x)0，得 x0;当一 2vxv1 时，f(x)v0;当 1vxv2 时，f(x)v0；当x2 时，f(x) 0.由此可以得到函数f(x)在x= 2 处取得极大值， 在x= 2 处取得极小值.【

5、类题通法】利用导数研究函数极值的一般流程欢定丈域求导It)求機值用敌隹解方程厂(*)=0知方程广(r)=0根的情况1r-验棍左右广(S)的捋号得关于奏社的方程不舞式极值姜数價(范掰【对点训练】1 .求函数f(x) =xalnx(a R)的极值.a xa解析由f (x) = 1 一=-,x 0 知：x x(1) 当aW0时，f(x) 0,函数f(x)为(0,+)上的增函数，函数f(x)无极值；(2) 当a 0 时，由f(x) = 0，解得x= a.又当x (0 ,a)时，f(x)v0 ；当x (a,+)时，f(x) 0,从而函数f(x)在x=a处取得极小值，且极小值为f(a) =aalna,无极

6、大值.综上，当a 0 时，函数f(x)在x=a处取得极小值aalna,无极大值.2.已知函数f(x) =x3+ax2+ (a+ 6)x+1 有极大值和极小值，贝 U 实数a的取值范围是()A.(1,2)B. (s,3)U(6,+)C. (3,6)D. (s, 1)U(2, +s)答案B2解析/f(x) = 3x+ 2ax+ (a+ 6),由已知可得f(x) = 0 有两个不相等的实根，2 2二 = 4a 4x3(a+ 6) 0，即a 3a 18 0,-a6 或av 3.3.已知a为函数f(x) =x 12x的极小值点，贝 Ua=()6A. 4B. 2C. 4D. 27答案D解析由题意得f(x)

7、 = 3x2 12,令f(x) = 0 得x= 2,.当x2 时，f(x)0;当一 2x2 时，f(x)0,.f(x)在(a,2)上为增函数，在(一 2,2)上为减函 数，在(2,+a)上为增函数.f(x)在x= 2 处取得极小值，a= 2.4函数y=f(x)导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是()A.( 1, 3)为函数y=f(x)的递增区间B.(3 , 5)为函数y=f(x)的递减区间C.函数y=f(x)在x= 0 处取得极大值D.函数y=f(x)在x= 5 处取得极小值答案C解析由函数y=f(x)的导函数f(x)的图象知，当x 1 及 3x5 时，f (x)0,f(x)单调递减；当1

8、x5 时，f (x)0,f(x)单调递增.所以f(x)的单调减区间为(一a, 1) , (3 , 5);单调增区间为(一 1, 3) , (5 ,+).f(x)在x= 1, 5处取得极小值，在x= 3 处取得极大值，因此 C 不正确.考点二、禾 U 用导数解决函数的最值问题【例 4】已知函数f(x) = (xk)ex.(1)求f(x)的单调区间；求f(x)在区间0 , 1上的最小值.解析(1)由f(x) = (xk)e，得f(x) = (xk+ 1)e ,令f(x) = 0,得x=k 1.f(x)与f(x)的变化情况如下：x(a ,k1)k1(k1, +a)f (X)一0+f(x)单调递减k1

9、e单调递增所以，f(x)的单调递减区间是(一a,k 1)；单调递增区间是(k 1 ,+a).8当kK0,即卩kwi时，函数f(x)在0 , 1上单调递增， 所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(0) =k, 当 0vk 1v1,即卩 1 1,即卩k2时，函数f(x)在0 , 1上单调递减，所以f(x)在区间0 , 1上的最小值为f(1) = (1 k)e.综上可知，当kW1时，f(x)min= k；r,k1当 1 k2时，f(x)min=(1k)e.【类题通法】1. 求函数f(x)在a,b上的最大值和最小值的步骤：第一步，求函数在(a,b)内的极值；第二步，求函数在区间端点处的函数值f(a)

10、,f(b)；第三步，将函数f(x)的各极值与f(a),f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个 为最小值.2. 求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.【对点训练】x一 1已知函数f(x) = lnx.x(1)求f(x)的单调区间;求函数f(x)在 e e 上的最大值和最小值(其中 e 是自然对数的底数). 占 1x= 1 -一 lnx,f(x)的定义域为(0,+s).x f，(x) = 2x由f(x)0，得 0 x1，由f(x)1,1f(x) = 1 - Inx在(0,1

11、)上单调递增，在(1,+8)上单调递减.x解析(1)f(x)=号-ln9(2)由(1)得f(x)在, 1 上单调递增，在1 , e上单调递减,& J f (x)在1e 上的最大值为f(1) = 1 - 1 In 1 = 0.$ f(x)在1e 上的最大值为 0,最小值为 2 e.考点三、利用导数研究不等式的有关问题【例 5】已知函数f(x) = ln(1 +x) ,g(x) =kx(k R).(1)证明：当x0 时，f(x)x;证明：当kO,使得对任意的x (0 ,xo)恒有f(x)g(x).解析(1) 令F(x) =f(x) x= ln(1 +x) x,x 0 ,+),则有F(x)=

12、当x(0,+s)时，F(x)0 时，F(x)0 时，f(x)x.(2)令Gx) =f(x) g(x) = ln(1 +x) kx,x 0 ,+),当k0，故Gx)在0,+s)上单调递增，G(x)G(0)=0,故任意正实数X。均满足题意.1 k1当 0k0,k k取X0=k 1，对任意x (0 ,X。)，有G(x)0 ,从而Gx)在0 ,X。)上单调递增,所以Gx)G0) = 0，即f(x)g(x).综上，当k0,使得对任意x (0 ,X0)恒有f(x)g(x).【类题通法】e，且fz f (e)-1则有G (x)=不kx+1 kx+11f(e) = 1-In eef(x)在,e 上的最小值为1

13、01 证明不等式的常用方法一一构造法证明f(x)g(x),x (a,b)，可以构造函数F(x)=f(x)-g(x)，如果F(x)0，则F(x)在(a,b)上是减函数，同时若F(a)0,由减函数的定义可知，x (a,b)时，有F(x)0，即证明了f(x)g(x),x (a,b)，可以构造函数F(x)=f(x)-g(x)，如果F(x)0，则F(x)在(a,b)上是增函数，同时若F(a)0,由增函数的定义可知，x (a,b)时，有F(x)0 ,即证明了f(x)g(x) 2 不等式成立(恒成立)问题中的常用结论(1)f(x) a恒成立?f(x)mina,f(x) a成立?f(x)maxa.(2)f(x

14、) b恒成立？f(X)maxWb,f(x) b成立?f(x)ming(x)恒成立：=F(x)min0 (F(x) =f(x) -g(x).(4) ？XiM?X2N,f(Xl)g(X2)?f(Xi)ming(X2)ma；2？XiM?X2N,f(Xi)g(X2)?f(Xi)ming(X2)min；3？XiM?X2N,f(Xi)g(X2)?f(Xi)maxg(X2)min；4？XiM?X2N,f(Xi)g(X2) ?f(Xi)maXg(X2)max.【对点训练】已知函数f(x) = ex- i-X-ax2.(1) 当a= 0 时，求证：f(x) 0；(2) 当x0时，若不等式f(x)0恒成立，求实数a的取值范围.解析当a= 0 时，f(x) = ex-1 -x,f(x) = ex- i.当x(a ,0)时，f(x)0.故f(x)在(-a, 0)上单调递减，在(0 ,+a)上单调递增，f(X)min=f(0) = 0 , f(x) 0.(2)f(x) = ex-1 - 2ax,令h(x) = ex- i - 2ax,则h (x) = ex- 2a.i当 2a0在0 ,+a)上恒成立，h(x)单调递增，11h(x) h