概率论与数理统计 1.5 事件的独立性与重复独立试验

1、定义定义 设设A，B是两个事件，如果成立等式是两个事件，如果成立等式()( ) ( )P ABP A P B 则称事件则称事件A与事件与事件B相互独立。相互独立。1.5 事件的独立性与重复独立试验事件的独立性与重复独立试验一、一、 事件的独立性事件的独立性()( ) ( )(|)( )( )0)( )( )P ABP A P BP B AP B P AP AP A ()( ) (|)( ) ( ).P ABP A P B AP A P B 即事件即事件A与事件与事件B相互独立相互独立可得如下结论：可得如下结论：( )0当时，事件 与 相互独立的充要条件是: P A AB (|)( )P B A

2、P B 事实上事实上,当当A与与B独立时独立时,有有(/)( ),P B AP B 反之，若则定理定理 若事件若事件A与与B相互独立，则事件相互独立，则事件,与与 及 与A B ABA B都是相互独立的。都是相互独立的。证证 因因A，B相互独立，故相互独立，故()( ) ( ).P ABP A P B 从而从而()( )()1（）（ ） （ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）P ABP BAP BP ABP BP A P BP A P BP A P B AB即事件与相互独立。其他两组同理可证得。其他两组同理可证得。例例1 小王和小李彼此独立地向同一目标射击，他们的命中小王和小李彼此独立地向同一目

3、标射击，他们的命中率分别为率分别为0.9和和0.8。求目标被击中的概率。求目标被击中的概率。方法方法1P AP BP AB( )( )() 方法方法2解解 设设A=小王击中目标小王击中目标，B=小李击中目标小李击中目标， C=目标被击中目标被击中( )1()1( ) ( ) 1(10.9) (10.8)0.98P CP ABP A P B P CP AB( )() P AP BP A P B( )( )( ) ( )0.90.80.9 0.80.98注注 1 如果成立等式如果成立等式()()()()()()()()()P ABP A P BP ACP A P CP BCP B P C 则称三事

4、件则称三事件A、B、C两两独立。两两独立。定义定义 设设A、B、C是三事件，如果成立等式是三事件，如果成立等式()( ) ( )()( ) ( )()( ) ( )()( ) ( ) ( )P ABP A P BP ACP A P CP BCP B P CP ABCP A P B P C 则称三事件则称三事件A、B、C相互独立。相互独立。 注注2 若三事件相互独立则三者一定是两两独立的，但三事件若三事件相互独立则三者一定是两两独立的，但三事件两两独立并不能保证三者相互独立，即由两两独立并不能保证三者相互独立，即由 ()( ) ( )()( ) ( )()( ) ( )P ABP A P BP

5、ACP A P CP BCP B P C 并不能导出并不能导出()( ) ( ) ( )P ABCP A P B P C 注注3 若三事件若三事件A,B,C相互独立则可得相互独立则可得AB与与C, BC与与A等也是等也是 相互独立的相互独立的. 即有即有 P(AB)C=P(AB)P(C)等等. 例例2 设袋中有张形状相同的卡片，在这张卡片上依次设袋中有张形状相同的卡片，在这张卡片上依次标有下列各组数字：，。标有下列各组数字：，。从袋中随机抽取一张卡片，用表示事件从袋中随机抽取一张卡片，用表示事件“取到的卡片的取到的卡片的第第i位数字为位数字为“（i=1,2,3).iAP AP AP A1231

6、11(), (), ()222 123,A A A求证求证 三事件两两独立，但并不相互独立。三事件两两独立，但并不相互独立。P A AP A AP A AP A A A121323123111(), (), (), ()0444 证明证明121213132323()() (), ()() ()()() ()P A AP A P AP A AP A P A P A AP A P A 则但是但是P A P A P AP A A A123123() () ()() 可见可见, A,B,C三事件两两独立，但并不相互独立三事件两两独立，但并不相互独立.(1)kn 个事件, 定义定义 12,.nA AA设

7、是是n个事件，如果对其中任意个事件，如果对其中任意 k12,.,kiiiA AA成立等式成立等式kkiiiiiiP A AAP A P AP A1212(.)() (). () 则称这则称这n个事件相互独立。个事件相互独立。上式代表了下面式子：上式代表了下面式子：121212312312122323()() ().()() () ().(.)() (). ().21共有个共有个.共有个总共有个式子nniiiiniiiiiinniiiiiinnnnnnP A AP A P ACP A A AP A P A P ACP A AAP A P AP ACCCCn 事件独立性的应用事件独立性的应用1 1

8、、加法公式的简化、加法公式的简化 若事件若事件A A1 1，A A2 2，A An n相互独立相互独立, , 则则 2 2、在可靠性理论上的应用、在可靠性理论上的应用 )().(1).121nnAPAPAAAP 例例3 3 元件组合的两种最基本的方法是串联和并联。设有元件组合的两种最基本的方法是串联和并联。设有n个个元件，每个元件的可靠性均为元件，每个元件的可靠性均为r(0r1),r(0r1),且各元件能否正常工且各元件能否正常工作是相互独立的，试求串联系统和并联系统的可靠性作是相互独立的，试求串联系统和并联系统的可靠性。并记串联系统正常工作，并联系统正常工作。并记串联系统正常工作，并联系统正

9、常工作。（）串联系统）串联系统1212.由 及 ， ， 相互独立得nnAA AAAAA iA()(1,2,. )iP Ar in 解解记记 第第i个元件正常工作，则个元件正常工作，则nnnP AP AAAP AP AP Ar rrr1212. （ ） （） （ ）（ ） （ ）（）并联系统（）并联系统nBAAA12. nnBAAAAAA1212. 又因又因12,.,nA AA相互独立相互独立，因此因此nnnnP BP AAAP A P AP AP AP AP Ar121212( )(.)() (). ()1()1().1()(1) 从而从而A1A2An12,.,nA AA也相互独立也相互独立可

10、知可知nP BP Br( )1( )1(1)由上讨论可知：由上讨论可知： 串联系统的可靠性为，它随着串联系统的可靠性为，它随着n的增大而减小，即的增大而减小，即构成系统的元件个数越多，则该系统就越不可靠；构成系统的元件个数越多，则该系统就越不可靠；nr并联系统的可靠性为并联系统的可靠性为1 (1)nr,它随着它随着n的增大而变大的增大而变大,即构成系统元件个数越多即构成系统元件个数越多,该系统就越可靠该系统就越可靠.二、二、 重复独立试验（伯努利试验概型）重复独立试验（伯努利试验概型） 将试验重复进行将试验重复进行n次，若各次试验的结果互不影响，即次，若各次试验的结果互不影响，即每次试验结果出

11、现的概率都不依赖于其它各次试验的结果，每次试验结果出现的概率都不依赖于其它各次试验的结果，则称这则称这n次试验为次试验为n次重复独立试验。次重复独立试验。及AA并设并设P Ap p Aqpqp, ( )(01,1) （ ）则称这种试验为则称这种试验为n重贝努利试验，简称贝努利试验重贝努利试验，简称贝努利试验. .它是它是“在相在相同条件下进行重复试验同条件下进行重复试验”的一种数学模型，称为贝努利概型。的一种数学模型，称为贝努利概型。如果在如果在n次重复独立试验中，每次试验只有两个结果：次重复独立试验中，每次试验只有两个结果：kkn knnnnkP kC p qkn P k1( ),0,1,2

12、,.(*)( )1 定理定理 设事件设事件A在一次试验中发生的概率为在一次试验中发生的概率为P(A)=p,则在则在n重贝努重贝努力试验中力试验中,事件事件A恰发生恰发生k次的概率为次的概率为注意注意:其中其中q=1-p. 证证事件事件在在指定的指定的k次试验中发生，而在其余的次试验中发生，而在其余的n-k次试次试验中不发生（例如在前验中不发生（例如在前k次试验中发生而后次试验中发生而后n-k次试验中不发生）次试验中不发生）的概率为的概率为.（ 个）（个）kn kp pp kq qq n kp q 在在n次试验中，事件次试验中，事件发生发生k次共有种情况，且它们对应的次共有种情况，且它们对应的事

13、件是两两互不相容的，故在事件是两两互不相容的，故在n次试验中次试验中发生发生k次的概率为次的概率为knC( ),0,1,2.kkn knn P kC p qk 例例4 假设一厂家生产的每台仪器，以概率假设一厂家生产的每台仪器，以概率0.7可直接可直接出厂；以概率出厂；以概率0.3需进一步调试，经调试后以概率需进一步调试，经调试后以概率0.8可以可以出厂。现该厂新生产了出厂。现该厂新生产了 (2)n n 台仪器（假设各台仪器的台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立）。求生产过程相互独立）。求（1）全部能出厂的概率；）全部能出厂的概率；（2）其中恰好有两台不能出厂的概率；）其中恰好有两台不能出厂的概率；（3）其中至少有两台不能出厂的概率。）其中至少有两台不能出厂的概率