概率论与数理统计 4.2 随机变量的特征函数

1、1一些预备知识一些预备知识复随机变量复随机变量 的模为的模为=Z XiY 22| |=ZXY =Z XiY 称为称为Z Z的复共轭随机变量的复共轭随机变量. .=Z XiY 的数学期望定义为的数学期望定义为 . .()=()()E ZE XiE Y 有欧拉公式有欧拉公式cossin （对任意实数 成立）ixexixx cossiniXeXiX 对随机变量对随机变量X X，也有，也有 是一复随机变量。是一复随机变量。 22=()()Z ZXiYXiYXY （1）（2）（3）（4）一一. 特征函数的定义特征函数的定义 定义定义 设设X 为一随机变量，称为一随机变量，称( )() ()itXtE e

2、t 为为X X 的特征函数。的特征函数。4.2 随机变量的特征函数随机变量的特征函数 注注 X X 的特征函数的定义域是的特征函数的定义域是 ，特征函数也，特征函数也是研究随机变量的好工具是研究随机变量的好工具. .()， e, ( )() ( ), kitxkitXkitxptE ee p x dx离散场合连续场合根据定义，有根据定义，有 常用分布的特征函数常用分布的特征函数( (一）一）（1 1）单点分布）单点分布1, ( )若 则 ictP Xcte （2 2）0-10-1分布分布1p, 01pP XP X ( )() (1-)其中itXittE epeqqp 也可表示为也可表示为1(1

3、) (0,1)xxP Xxppx 其特征函数为其特征函数为（3 3）泊松分布）泊松分布,(0,1,2,)!kP Xkekk 其特征函数为其特征函数为0( )!kitkkteek 0( )!kitkkteek (1)ititeeeee 0()!itkkeek 即即（4 4）均匀分布）均匀分布( , ).U a b1 , ( ) 0, 其他axbp xba 其特征函数为其特征函数为( )( )itxtep x dx 1()ibtiatbitxaeeedxbait ba （4 4）标准正态分布）标准正态分布 其密度函数为其密度函数为(0,1)，N221( ) ()2xp xex 则特征函数为则特征函

4、数为( )( )itxtep x dx 22221=2xtitxeedxe （5 5）指数分布）指数分布 , , 其密度函数为其密度函数为exp( ) , 0( )0, 0 xexp xx 则特征函数为则特征函数为( )( )itxtep x dx 000=cos()sin()itxxxxeedxtx edxitx edx 22221+(1)tittit 二二. 特征函数的性质特征函数的性质 性质性质1 1：对于随机变量对于随机变量Y= Y= aX+baX+b，有有( )().ibtYXteat 事实上，根据定义事实上，根据定义()()=().ibti ta XibtXeE eeat ()(

5、)()()itYit aXbYtE eE e 性质性质2 2：如果两个随机变量如果两个随机变量X X与与Y Y相互独立，则相互独立，则( )( )( )X YXYttt 事实上，根据定义事实上，根据定义( (注意到注意到X X与与Y Y相互独立相互独立) )，有，有()( )()()it X YitXitXX YtE eE ee =()）itXitXE eE e =( )( )XYtt 性质性质3 3：如果如果 存在，则存在，则X X的特征函数的特征函数 存在存在l l 阶导阶导数，且对数，且对 ，有，有 ()lE X( ) t 1kl ()(0)()kkki E X 即即()(0)()=kk

6、kE Xi 事实上，因为事实上，因为 存在，则积分存在，则积分 ()lE X|( )lxp x dx 含参变量含参变量 t t 的广义积分的广义积分 可以对可以对 t t 求导求导l l 次次. . ( )itxep x dx 于是对于是对 ，有，有 1kl ()( )( )()kkkitxkkitXti x ep x dxi E X e 令上式中令上式中 ，则可得，则可得0t ()(0)()kkki E X 即即()(0)()=kkkE Xi 常用分布的特征函数常用分布的特征函数( (二）二）（1 1）二项分布）二项分布若若X X服从二项分布服从二项分布b(b(n,pn,p) )，则，则1n

7、iiXX 其中，其中，12,nXXX相互独立，且均服从相互独立，且均服从0-10-1分布分布. . 因为因为 的特征函数为的特征函数为 iX( ) (1-)其中iitXtpeqqp 所以由独立随机变量和的特征函数为每个特征函数之积的性质，有所以由独立随机变量和的特征函数为每个特征函数之积的性质，有( )() (1-)其中itnXtpeqqp （2 2）正态分布）正态分布2( ,)N 设设X X服从正态分布服从正态分布 ，则，则 2( ,)N (0,1)XYN 已知已知 的特征函数为的特征函数为(0,1)XYN 22( )tYte 则根据性质则根据性质1 1，可得，可得 的特征函数为的特征函数为

8、XY 2 22( )()ti ti tXYtete 三三. 特征函数可唯一确定分布函数，从而如果知道了特征函数可唯一确定分布函数，从而如果知道了随机变量随机变量X的特征函数，理论上讲也就知道了的特征函数，理论上讲也就知道了X的分布的分布. 定理定理：设设X X为连续型随机变量，其密度函数为为连续型随机变量，其密度函数为 , , 特征特征 ( )p x函数为函数为 , ,则则( ) t -1( )=( )2itxp xet dt 实际上，有实际上，有( )( )itxtep x dx -1( )=( )2itxp xet dt 即特征函数是密度函数的傅里叶变换，而密度函数是特征函即特征函数是密度

9、函数的傅里叶变换，而密度函数是特征函数的傅里叶逆变换。数的傅里叶逆变换。 一般来讲，用卷积公式求独立随机变量和的分布都比较复杂一般来讲，用卷积公式求独立随机变量和的分布都比较复杂，而引入了特征函数后，因为，而引入了特征函数后，因为“独立和独立和” ” 的特征函数是各特征函的特征函数是各特征函数的乘积，这样就可比较容易地求得数的乘积，这样就可比较容易地求得“独立和独立和”的特征函数，然的特征函数，然后再由后再由“唯一性定理唯一性定理”，就可以确定，就可以确定“独立和独立和”的分布了。的分布了。例如，设随机变量例如，设随机变量X X与与Y Y相互独立，且相互独立，且221122(,) ,(,)XNYN 则则X X与与Y Y的特征函数的特征函数分分别别为为2 2112( )titXte 2 2222( )titYte 从而可得从而可得Z=X+