ch趸缴纯保费PPT课件

1、第四章 趸缴纯保费本章内容：死亡即付的寿险死亡年末给付的寿险死亡即付寿险与死亡年末付寿险的趸缴纯保费的关系递增型寿险和递减型寿险递推公式利用换算函数计算趸缴纯保费第1页/共69页人寿保险：保险给付以被保险人的生存或死亡为依据。 我们将实际市场上销售的与人寿险有关的保险抽象出人寿险精算模型。受益金额是否恒定定额受益保险 变额受益保险保单签约日和保障期期始日是否同时进行非延期保险延期保险 保障标的的不同死亡保险生存保险两全保险 保障期是否有限定期寿险 终身寿险保险给付的数额确定，但给付的时间不确定，研究方法：根据余命和取整余命随机变量第2页/共69页4.1 死亡即付的寿险tttzbv1.精算现值(

2、x)，余命T(x)，给付发生时刻t，保险金给付函数bt，折现函数vt未来保险金给付在签单时的现值：若在T时刻支付保险金，则为了平衡未来的保险支出，签单时应该收取的数额上式称为未来保险给付在签单时的精算现值，也称趸缴纯保费（基于预定利率和预定死亡率计算）TTTZb v()TE Z第3页/共69页2各种寿险形式的趸缴纯保费nn年期定期寿险n终身寿险n延期寿险n生存保险与两全保险n递增型寿险n递减型寿险第4页/共69页2.1 n年定期寿险（又称死亡保险）保险人只对被保险人在投保后的n年内发生的保险责任范围内的死亡给付保险金。模型形式：(x)，保险期限内死亡时立即给付保额1元基本函数关系1 , , ,

3、 00 , , T0 , TtttTTTTtnbvvttnvnZb vn给付函数与折现函数签单时保险给付现值随机变量第5页/共69页趸缴纯保费1: x nA1:0000()( )( )nntx nTtTTnntttxx ttxx tAE Zz ft dtv ft dtvpdtepdt( )E Z注：v=e-,其中为利力。第6页/共69页Z的方差方差公式记（相当于利力翻倍以后求n年期寿险的趸缴保费）方差可表示为 22220( )()()( )()ntTVar ZE ZEZeft dtEZ212:0( )ntTx nAeft dt2112:( )()x nx nVar ZAA第7页/共69页例设生

4、存函数 年利率 ，保额为1元，Z是保险给付现值随机变量，计算：( )1 , 0100,100 xs xx 0.1i 130:101 ;(2)( ).AVar Z（）1010100130:1000()11(1)( )( )100701.111( )1.1 0.0927070ln1.1TtttTs xtfts xxAv ft dtdt 解：1021122230:1030:100212( )() 1.10.09270 0.06380.0920.055tVar ZAAdt（ ）第8页/共69页终身寿险保险人对被保险人在投保后任何时刻发生的保险责任范围内的死亡均给付保险金。模型形式：（x），保额1元终身

5、寿险，死亡即付有关函数1 , 0 , , 0 , T0tttTTTbtvvtZb vv第9页/共69页趸缴纯保费 与方差xA0000( )( )( )txtTTtttxx ttxx tAE Zz ft dtv ft dtvpdtepdt2222022( )()()( )()()tTxxVar ZE ZEZeft dtEZAA( )Var Z第10页/共69页1 , 060(t)600 , Ttf 其它0.90.91(2)( )(3)P()0.9.xAVar ZZ（）的例设(x)投保终身寿险，保险金额为1元，保险金额在死亡时立即给付，签单时，(x)的剩余寿命的密度函数为：利力为(0)，在签单时保

6、险金给付现值随机变量为Z，试计算：第11页/共69页60600011(1)( )6060ttxTeAeft dtedt例解：602222012060212( )() ()6011()12060txxxVar ZAAedtAee（ ）0.90.90.90.9ln/ln6060660.90.9(3)P()P() =P( lnln)1()( )0.960ln6lnThvThhZvTvP Thft dtdtvve第12页/共69页例2.3 （选）假设有100个相互独立的年龄为x岁的被保险人都投保了保额为10元的终身寿险，随机变量T的概率密度是保险金于被保险人死亡时给付，保险金给付是从某项基金中按利力

7、计息支付。试计算这项基金在最初时的数额至少为多少时，才能保证从这样基金中足以支付每个 被保险人的死亡给付的概率达到95%。( ),0.04,0tTftet0.06第13页/共69页解：用Zj表示第j个被保险人的死亡给付在签单时的现值（j=1,2, ,100），则随机变量Z1,Z2, ,Z100相互独立。对每个被保险人有记 ，则Z是表示这100个被保险人的死亡给付在签单时的现值随机变量。对保额为1元的终身寿险，死亡即付的趸缴纯保费为故有10,0,1,2,100TjZvTj1001jjZZ0txtxx tAv pdt2221010410100252jxjxEZAEZA第14页/共69页22()()

8、25169jjjVar ZEZEZ所以有1001001110010011()1004400( )()()1009900jjjjjjjjEZEZEZVar ZVarZVar Z设该基金初始时刻数额至少为h才能满足要求，则由中心极限定理 400400()()0.953030ZhP ZhP4001.64540030 1.645449.3530hh。第15页/共69页延期寿险n 延期m年终身寿险保险人对被保险人在投保满m年后发生的保险责任范围内的死亡时给付保险金。假定：(x) ,保额1元，延期m年的终身寿险，死亡即付0 , , , 01 , 0 , T , TtttTTTtmbvvttmmZb vvm

9、给付函数与折现函数签单时保险给付现值随机变量第16页/共69页趸缴纯保费xmA001:( )( )( )tmxTmmttTTxx mAv ft dtv ft dtv ft dtAA第17页/共69页n延期m年的n年定期寿险被保险人在投保后的前m年内的死亡没有保险给付，从第m+1年开始为期n年的定期两全保险假定：(x) ,保额1元，死亡即付1:mx nA1:0011:( )( )( )m ntmx nTmm nmttTTx m nx mAv ft dtv ft dtv ft dtAA第18页/共69页例假设(x)投保延期10年的终身寿险，保额1元，保险金在死亡时立即给付。已知利力0.040.06

10、( ),0 xs xex，0.510(1) (2)Var(Z) (3)xA中位数试求：0.040.060.040.111010100.161020.120.041010221010()(1)( )0.04( )0.040.040.40.1470.04(2)0.040.050470.16( )()0.029tTtttxtttxxxs xtftes xAeedtedteeAeedtVar ZAA 解：第19页/共69页100.0400.40.50.50.50.50.50.50.50.04(3) (0)(10)0.0410.329680.5()(0)(0)0.5(0)0.50.329680.1703

11、2ln(0)()()ln,0.060.17032()0.04tTtP ZP TedteP ZP ZPZPZPZP vP ThP Thedt 由故记则20.0430.51.50.5()0.170320.0703hhe故第20页/共69页2.4 生存保险与两全保险nn年期生存保险被保险人投保后生存至n年期满时，保险人在第n年末支付保险金的保险。假定：(x) ，保额1元，n年期生存保险基本函数1 , , , 00 , 0 , , nttTTntnbvvttnTnZb vvTn第21页/共69页趸缴纯保费1: xnA1:( )nxnxnAE Zvp222112:( )()()nnnxnxxxnnVar

12、 ZvpvpAA现值随机变量的方差：第22页/共69页nn年期两全保险被保险人投保后如果在n年期内发生保险责任范围内的死亡，保险人立即给付保险金；如果被保险人生存至n年期满，保险人在第n年末支付保险金。它等价于n年生存保险与n年定期寿险的组合。假定：(x)岁的人，保额1元，n年期两全保险函数关系 , 1 , 0, , , , TtttnTTTnvtnbtvvtnvTnZb vvn第23页/共69页趸缴纯保费: x nA1112:( )( )( )xxnxnnEZEZEZAAA:0ntnx ntxx tnxAEZv pdtvp12ZZZ两全 死亡保险 生存保险第24页/共69页例（例续）设Z是3

13、0岁人的保险给付现值随机变量，计算( )1 , 01001000.1xS xxi 30:101 (2)( )AVar Z（）第25页/共69页例答案12130:1030:101101030:1030101130:30:1030:101022222120103030:10230:100.0920.063860(1)1.10.3305700.4225 , (2) , T0.06380.12740.1912( )()TnAAAvpAAAvTnZvnEZAvpVar ZEZA由例2.1已知：20.0127第26页/共69页1111:mx nx mxx m nmx m nAAAAA注：延期寿险趸缴纯保费

14、的关系式11:mxxx mxx mmAAAAA11:xnxnxnAAA两全保险关系式第27页/共69页4.2 死亡年末给付的寿险死亡年末给付的含义：死亡年末给付是指如果被保险人在保障期内发生保险责任范围内的死亡 ，保险公司将在死亡所在年年末进行保险给付。T K SK 第28页/共69页K(x)=k (x)岁投保的人取整余命bk+1 保险金在死亡年末给付函数vk+1 贴现函数。Z 保险赔付金在签单时的现时值。EZ 趸缴纯保费。111KKKZbv基本符号第29页/共69页2.1 n年定期寿险基本函数关系1111111,0,1,.,11,0,1,.,10,0,1,.,10,kkkKKKKvvknkn

15、bknvKnZbvKn第30页/共69页趸缴纯保费1: x nA11111|: |00( )nnkkkxkxx kx nkkAE Zvqvpq现值随机变量的方差1222(1)202112: |: |( )()()()()nkkxx kkx nx nVar ZE ZEZvpqEZAA10) 1(21|:2nkkxxkknxqpvA其中，第31页/共69页例2.5 (55)男性，投保5年期定期寿险，保额1000元，保险金在死亡的保单年度末给付，按中国人寿业经验生命表(1990-1993)(男)和利率6%计算趸缴纯保费。解：所求的趸缴纯保费为411555555:5041550552345100010

16、00100017593827790149806106561000898738 1 6%(1 6%)(1 6%)(1 6%)(1 6%)42.09()kkkkkkkAvpqdvl元第32页/共69页1:1xxxcAvq注：自然纯保费自然纯保费均衡纯保费趸缴纯保费第33页/共69页死亡年末给付寿险趸缴纯保费终身寿险延期m年的n年定期寿险延期m年的终身寿险n年期两全保险延期m年的n年期两全保险11:xx nx nnAAA11:kxkxxkxmx mkmAvpqAA111:xxmmmx nx nnmx m nAAAAA11111:mnkkxxkmx nx mnx mkmAvpqAA 10kxkxx k

17、kAvpq第34页/共69页4.3 两种寿险趸缴纯保费的关系UDD下AA以终身寿险为例:(01)xx txtUDDpqt 100111100001111110000kttxtxx ttxx tkkk skskxsx kx k skxsx kx k skkUDDkskskxx kkxx kkkxAv pdtv pdtvppdsvpvpdsvpvqdsvp qvdsiA 第35页/共69页结论：111:1:xxx nx nx nx nx niAAiAAiAAA第36页/共69页例2.6 （35）投保25年期两全保险，保额为200，000元，在死亡或满期时立即支付。用中国寿险业经验生命表（混合表）及

18、年利率6%，在UDD假设下，计算其趸缴纯保费。解：依题意，所求趸缴纯保费为35:25200000A0.06,ln(1 0.06)0.0582689i111256035:2535:2535:2535:25352535:25(1.06)0.068776710.0380546(1.06)0.05826899723960.2494864200000200000 0.249486449897.28()liiAAAAlA元第37页/共69页n递增型寿险 以终身寿险为例，递增形式： 一年递增一次 一年递增m次 一年递增无穷次（连续递增）n递减型寿险以n年定期寿险为例4.4 递增型寿险与递减型寿险第38页/共

19、69页死亡时立即给付的递增型终身寿险现值随机变量趸缴纯保费1TZTv010()( )1(1)txtxx tkttxx tkkIAE Ztvpdtkvpdt1. 保额逐年递增，年增一元，年变动一次情形1,tttbtvv第39页/共69页现值随机变量趸缴纯保费()01()( )mtxtxx tmtIAE Zvpdtm11,tTttTmtmTbvvZvmm2. 保额逐年递增，年增一元，年变动m次情形第40页/共69页现值随机变量趸缴纯保费,tTttbt vvZTv0()( )txtxx tIAE Ztvpdt3. 保额逐年递增，年增一元，连续递增情形注：1()11:(),()mx nx nx nIA

20、IAIA第41页/共69页死亡年度末给付的递增型终身寿险情形：若在第k+1个保单年度死亡，则在该年末给付k+1元。11111,(1)kKkkbkvvZKv趸缴纯保费：10()(1)kxkxx kkIAEZkvpq111:0()(1)nkkxx kx nkIAkvpq注：n年期第42页/共69页例2.8 设2 ,100,0100,() .txxt lxxIA计算解：202tsdsttvee1( )100 x tTxlftlx 22222210010000100210000(100)11()()100100211()|2(100)2(100)112(100)xxttxxttxxtIAtedtedx

21、xedtexxex 第43页/共69页例2.9 设40100,0100,0.05,() .xlxxiIA计算解：10011400()(1)xkkxx kkIAkvpq 40401404014040404040(1)60(601)16060kkkkkkkllllpqlllkk 而59140400(1)kkkkkvpq第44页/共69页40591400()1()(1)60kkIAIAkv代入中得601()60Ia6060601600.055.5545av第45页/共69页n递减定期寿险1 死亡即付递减寿险：以n年定期寿险为例，考虑(x)投保，若在第一个保单年度内死亡，立即给付n元；若在第二个保单年

22、度内死亡，立即给付n-1元；依次类推，若(x)在第n个保单年度内死亡，立即给付1元。 ,0,( ),0,tttTnttnbvvtnnTvTnZTn第46页/共69页 1:00()( )( )ntTx nnttxx tDAE Zntvft dtntvpdt趸缴纯保费：1:()x nDA第47页/共69页2 死亡年末付递减寿险：仍以n年定期寿险为例，(x)投保，若在第一个保单年度内死亡，则在该年末给付n元；若在第二个保单年度内死亡，则在第二年年末给付n-1元；依次类推，若(x)在第n个保单年度内死亡，则在该年末给付1元。1111,0,1,10,(),0,1,10,KKKKnKKnbvvnK vKn

23、Z其他其他第48页/共69页111|:0110()()()nkkxx nknkkxx kkDAnk vqnk vp q死亡年末付递减型n年定期寿险的趸缴纯保费：1:()x nDA第49页/共69页例2.10 现年30岁的人购买了一份递减的5年定期寿险保单，保险金于死亡年末给付。保单规定：投保人于第一个保单年度内死亡，则给付50000元，逐年递减，于第五个保单年度内死亡，则给付10000元。设年利率6%，用中国人寿保险业经验生命表（1990-1993）（混合表）计算其趸缴纯保费。解：130:5(),DA所求保费为10000而411|3030:502345301|302|303|304|30234

24、53031323334303030303010000()10000(5)100005432100005432kkkDAk vqvqv qv qv qv qdddddvvvvvlllll第50页/共69页130:523453031323334303030303010000()100005432DAdddddvvvvvlllll303031323334976611,755,789,834,887,950,0.9433962,ldddddv由得130:510000()108.39()DA元第51页/共69页n两类趸缴纯保费的换算关系死亡即付与死亡年末付变额寿险的趸缴纯保费（UDD下）11:1130:

25、530:5()()()()()()xxx nx niIAIAiIAIAiDADA第52页/共69页例2.11 在例中，若保险金在死亡时立即给付，则求趸缴纯保费。1130:530:5130:510000()10000()0.0610000()111.61()0.0582689iDADADA元解：第53页/共69页4.5 递推公式1。离散型终身寿险的递推公式11|01kkxkxxkxkkAvqvqvq11:xxxxFAvqvpA保险解释：死亡给付与生存给付的组合1|10kxxkxkvqvpvq1xxxvqvpA第54页/共69页11(1)xxxxxi l AdlA对公式1两边同乘(1)xi l保险

26、解释：11(1)(1)xxxxxxi l Al AdA变形有,F2:第55页/共69页对F2两边同乘11(1)xxxxAvAvqAxvl即有：11(1)x kx kx kx kAvAvqA 1111(1)kkkx kx kx kx kv AvAvqA 从而有：110(1)kxx kx kkAvqA 保险解释：1年定期寿险趸缴纯保费的和。第56页/共69页11(1)xxxxxAAiAqA11(1)(1),xxxxxxxi l Al AdAl对F2两边同除以11()(1)xxxxxiAAAqA保险解释：第57页/共69页2.连续型终身寿险模型的微分方程式xA考虑 ，(|) ()(|) ()TTxA

27、E vTh P ThE vTh P Th其中，(),()hxhxP ThqP Thp第58页/共69页T的条件密度为( ), 0( |)0,txx thxhxpf tthqqf t Thothers (|)T Th从而，0(|)(|)|(0)hTttxx thxThT hhx hpE vThvdtqE vThv E vThv A第59页/共69页0hthtxx txhxx hhxhxpAvdtqvApq从而，故有，又因为：0001lim1limhhxxhhttxx txhvphvpdth011hhtx hxhxtxx tx hAAvpvpdtAhhh 第60页/共69页故可得结论：()xxxxdAAdx (1)xxxxdAAAdx或第61页/共69页4.6 利用换算函数计算趸缴纯保费0000(1)(1)xx kx kxx kx kkkkkRMkCSNkD定义如下换算函数：注：推导00(1)(1)xx kxx kk