两招定切线解题特方便

1、两招定切线解题特方便直线与圆有一种特殊的位置关系，那就是一一相切，如何判定一条直线是圆的切线， 有两种常见判定方法：到圆心的距 离等于圆的半径的直线是圆的切线； 经过半径的外端点并且垂 直于这条半径的直线是圆的切线 .一、无公共点，作“垂线”，证“等于半径”例1如图1，在厶ABC中，AB=AC 0是BC的中点，以点 0 为圆心的00与AC相切于点D.求证：00与AB相切.【思路突破】根据切线的性质可知00 的半径ODLAC根据 “圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线”， 只需证明点 0到AB的距离等于0D即可.证明：如图1，连接AO 0D过点0作OELAB于点E. / AC 是00的切线，

2、切于 D，ODL AC. AB=AC 0是BC的中点， A0平分/ BAC.又 ODL AC CEL AB OD=OE OO 与 AB相切.【点评】由于题目未明确指出 AB与00是否有公共点，只需过圆心作直线 AB的垂线段，证明垂线段的长等于半径即可.例2如图2,在以0为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心0, 且与小圆相交于点 A、与大圆相交于点B.小圆的切线AC与大圆 相交于点D,且CO平分/ ACB.（1）试判断BC所在直线与小圆的位置关系；（2）试判断 线段AC AD BC之间的数量关系.【思路突破】（1）根据题意无法判定线段 BC所在直线与小 圆是否有公共点，因而可以选择判定方法.为此可

3、过点 O作BC 所在直线的垂线段 OE只需证明OE=O（00的半径）即可.（2）由（1）可知CA=CE只需说明BE=AD便可以猜想到AC+AD=BC.解：（1） BC所在直线与小圆相切.理由如下：过圆心 O作OELBC垂足为E,vAC是小圆的切线，AB经过圆心O,OAL AC又 v CO平分/ ACB OEL BC OE=O, BC所在直线与小圆相切.（ 2） AC+AD=BC.理由如下：连接OD.vAC切小圆O于点A, BC切小圆O于点E,. CE=CA.v在 Rt OAD与 Rt OEB中，OA=OEOD=OB / OADMOEB Rt OAD Rt OEB EB=AD 二 BC=AC+A

4、D.【点评】证明线段之间的和差关系，通常是在长线段上截取一段等于短线段，再证剩余的线段等于另一条线段即可 . 二、连“半径”证“垂直”例3如图3,在厶ABC中，以AB为直径的00交AC于点M, 弦 MN BC交 AB于点 E, ME=1 AM=2 AE=3，求？C: BC是OO 的切线.【思路突破】BC经过半径OB的外端，因此只需证明 OBL BC 即可.证明： ME=1 AM=2 AE=3, AME是直角三角形.又 T MN/ BC / ABCh AEM=90 .二BC是00的切线.【点评】当已知三角形的三边的长度时，可以根据“两短边 的平方和等于最长边的平方”，来说明此三角形为直角三角形，

5、 进而确定线段互相垂直的关系 .例4如图4, 00的直径为AB点C在圆周上(异于A, B), ADLCD.(1) 若 BC=3 AB=5 求 AC 的值；(2) 若AC是/DAB的平分线，求证：直线CD是00的切线. 【思路突破】( 1)直径所对的圆周角为直角，利用勾股定理求得AC=4 ( 2)连接OC证OCL CD即可.解：(1)略.(2)证明：连接 OC，v OA=OC / OACM OCA又 AC是/ DAB的角平分线，:丄 DACh BAC :丄 DACh OCAOC/ AD 又 v ADL DC 二 OCLCD DC是OO的切线.【点评】要证直线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接

6、圆心与这点(即为半径)，再证垂直即可 .例 5 如图 5，已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的 格点 A、B、 C.(1) 用直尺画出该圆弧所在圆的圆心 M的位置；(2) 若A点的坐标为(0, 4), D点的坐标为(7，0), 求证：直线CD是OM的切线.【思路突破】(1)连接AB BC,根据网格画出它们的垂直 平分线，其交点就是圆心 M的位置.(2)欲证直线CD是OM的 切线，只需证/ MCD=9°即可.解：( 1)如图 6.(2)证明：由 A( 0, 4),可得小正方形的边长为 1,从而 得C (6, 2).如图6,设过C点与x轴垂直的直线与x轴的交点 为E,连接MC作直线CD. CE=2, ME=4, ED=1, MD=5,在 Rt CEM中, h CEM=9° , MC2=ME2+CE2=42+22=20.在 Rt CED中，/ CED=90 , CD2=ED2+CE2=12+22=5 MD2=MC2+C,2/ MCD=9°，又因为 MC为半径，二直线