两角和与差的余弦公式的五种推导方法

1、两角和与差的余弦公式的五种推导方法之对比创作：欧阳计时间：2021.02. 11两角和与差的余弦公式是三角函数恒等变换的基础，其 他三角函数公式都是在此公式基础上变形得到的，因此两 角和与差的余弦公式的推导作为本章要推导的第一个公 式，往往得到了广大教师的关注对于不同版本的教材采用 的方法往往不同，认真体会各种不同的两角和与差的余弦 公式的推导方法，对于提高学生的分析问题、提出问题、 研究问题、解决问题的能力有很大的作用下面将两角和与 差的余弦公式的五种常见推导方法归纳如下： 方法一：应用三角函数线推导差角公式的方法设角a的终边与单位圆的交点为Pl, Z POP1 = P，贝UZ POx =

2、ap.过点P作PM丄x轴，垂足为M,那么即为aP角的余弦线，这里要用表示a, P的正弦、余弦的线段来表示OM. 过点P作PA丄OP1,垂足为A,过点A作AB丄x轴，垂足 为B,再过点P作PC丄AB,垂足为C,那么cosP = OA, sinP = AP,并且Z PAC = Z P10x=a,于是 OM = OB + BM = OB + CP = OAcosa+APsina=cos|3cosa+sinPsina.综上所述,cos (a- 0)= cos acos 0+ sin sin Q说明：应用三角函数线推导差角公式这一方法简单明了， 构思巧妙，容易理解但这种推导方法对于如何能够得到解 题思路

3、，存在一定的困难此种证明方法的另一个问题是公 式是在0均为锐角的情况下进行的证明，因此还要考虑 工0的角度从锐角向任意角的推广问题.方法二：应用三角形全等、两点间的距离公式推导差角公式的方法设 Pl(xl, yl), P2(x2, y2),则有|P1P2 | =/氐坷十(乃一乃在直角坐标系内做单位圆，并做出任意角a, a+|3和 一久 它们的终边分别交单位圆于P2、P3和P4点，单位圆 与 x 轴交于 P1,则 Pl(l,0)> P2(cosa, sina)> P3(cos(a+P), sin(a+P)> 好C°s(-0),sm(-Q).今0呂=乙PQPq皿+ 0,

4、且闵I二|0闯二|0剧=KI二1,.早迟. |目鸟|二闻昇.J(cos(钗+0)一 +(siti(钗+ 0)一0二 J(cos a- cos(-0) 4-sin tr-sin.(-0) 2一 2cos(&+ 0)= 2 -2 cos orcos 0- 2sin or sin (-Q), cos (&+ 0)= cos acos 0- sin sin Q , cos (a- = cos Of cos +sin arsin 0说明：该推导方法巧妙的将三角形全等和两点间的距离结 合在一起，利用单位圆上与角20有关的四个点 牡(1,0),好(cos 必,sin ©)，昌(co

5、s(氏 + 0), sin (d + 则)，P、(cos (-0),sin(-0)住 立起等式关系，通过将等式的化简、变形就可以得到符合 要求的和角与差角的三角公式在此种推导方法中，推导思 路的产生是一个难点，另外对于丘三点在一条直线和 庄三点在一条直线上时这一特殊情况，还需要加以解 释、说明.方法三：应用余弦定理、两点间的距离公式推导差角公式 的方法设列cos&, sin a) ,j2(cos /?,sin. 0) |j|j |PQ|2 = (cos&一 cos-I-(sin c2r-sm =2一 2(cos锐cos 4-sin ©sin. 0)在厶OPQ中，|旳亠

6、|0刃+|。娜-2|0刊,二 |商=1 + 1_2洱(&_0), cos (a- 0)= cos acos 0+ sin 处in Q说明：此题的解题思路和构想都是容易实现的因为要求 两角和与差的三角函数，所以构造出和角和差角是必须实 现的构造岀的和角或差角的余弦函数又需要和这两个角的 三角函数建立起等式关系，因此借助于余弦定理、两点间 的距离公式建立起等式关系容易出现，因此此种方法是推 导两角和与差的余弦的比较容易理解的一种方法但此种方 法必须是在学习完余弦定理的前提下才能使用，因此此种 方法在必修四中又无法使用另外也同样需要考虑POQ三点 在一条直线上的情况.方法四：应用三角形面积公

7、式推导推导差角公式的方法设a、卩是两个任意角，把a、(3两个角的一条边拼在一 起，顶点为0,过B点作0B的垂线，交a另一边于A,交 P 另一边于 C,则有 SA OAC=SA OAB+SA OBC.根据三角形面积公式，有却°卿°外皿9+0).|Q4|0C|sin (必+ 0)=同绷0E|+ 8C0B. OB = OAcoscc=pCco AB= |O|sin C = OCsm p.|Q4|OC|sin 9+ 0)= |CM|sm apC|cos 0+|O4|cos d|OC|sm 0 , Qn|oc|hO, sin(a+p)=sinacosp+sinpcosa.根据此式和诱

8、导公式，可继续证出其它和角公式及差角 公式.(1) sin(a 0)二 sina+(p)=sinacos(p)+si n卜 P)cosa=si nacosfS sinPcosa；(2) cos(a+p)=sin90-(a+p)=sin(90-a)-p=sin(90-a)cosp- sin|3cos(90-a)=cosacosp-si nasin。；(3) cos(a p)=cosa+(|3)=：cosacos(p)si nasin(p)=cosacosp+si nasin(3说明：此种推导方法通过三角形的而积的和巧妙的将两角 和的三角函数与各个角的三角函数和联系在一起，体现了 数形结合的特点缺

9、点是公式还是在两个角为锐角的情况下 进行的证明，因此同样需要将角的范围进行拓展.(五)应用数量积推导余弦的差角公式在平面直角坐标系xOy内，作单位圆O,以Ox为始边作角a, P，它们的终边与单位圆的交点为A, B,则为= (cosa, sina), 5S = (cosp, sinP).由向量数量积的概念，有加西T冈词c。心"。心-®由向量的数量积的坐标表示，有OAOE = (cosaf.sin &)(cos 0 畀 in /?)= cos Of cos /3+sinsm Q于是,有cos(Q- 0)= cos 比cos 声 + sin Gsin 0说明：应用数量积推导余弦的差角公式无论是构造两个角 的差，还是得到每个角的三角函数值都是容易实现的