两角和与差的公式

1、1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos(a卩)=cosacos 卩+sina sin卩(C(a-B)COS(a+B )= cos_aCOs_ BSin_a Sin_B(C( a + B)sin(aB )= sin_acos_ Bcos_a sin_B(S( « b)sin(a+B )= sin_acos_ B+cos_a sin_B(Sa + b)tan a tan Btan( a B ) =(T(a-B)1 + tan a tan Btan a + tan Btan( a + B ) =(T(«+ B)1 tan a tan B2 二倍角公式sin 2 a = 2si

2、n_ a cos_ a ；2 2 2 2cos 2 a = cos a sin a = 2cos a 1 = 1 2sin a ；tan 2 a2ta n a1 tan a如公式的正用、逆用和变形3.在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题:用等.如T（ “士 b）可变形为tan a 士 tan B = tan( a 士 B )(1 ?tan_ a tan_ B ),tan a tantan a + ta n B tan a tan B=1 = 1. tan( a + B ) tan( a B )【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“V”或“X”)(1)存在实数 a ,

3、B ,使等式 sin( a + B ) = sin a + sin B 成立.( V ) 在锐角 ABC中，sin Asin B和cos Acos B大小不确定.( X )八亠tan a + tan B 公式 tan( a+ B )=可以变形为 tan a + tan B = tan( a + B )(1 tan1 tan a tan Ba tan B )，且对任意角 a , B都成立.(X )存在实数 a,使tan 2 a = 2tan a .( V ) 设 sin 2 a= sin a , a (, n )，则 tan 2 a =3.( V )1 . (2013 浙江)已知 a R, si

4、na + 2cos a=0，贝U tan 2 a 等于(答案 C解析 T sin a sin 2 a+ 4sin2a cos a + 4cos a52.化简得:4sin 2a =- 3cos 2 a ,/ tan 2a=斗=-3.故选C.cos 2 a 42 .若空sin aa + cos a 1=2,则tan 2a 等于(A.答案解析由空sina + cos a a cos a12,等式左边分子、分母同除/口 tan a +11 ”口cos a 得，tan a- 1 = 2，解得 tan戸,2ta n a贝V tan 2 a =2-1 tan a3. (2013 课标全国n为第二象限角,若

5、tann 1e+ 7 = 2，则 sin e+ cos e =解析/ tan en+ 412,1 tan e =-3,3si n即 sin 2 ee =- cos e,+ cos e = 1,且e为第二象限角,解得sin0=罟 cos e=-攀 sin e+ cos e卫54. (2014 课标全国n )函数 f(x) = si n( x+ 2 0 ) - 2sin0 cos( x+ 0 )的最大值为答案 1解析 / f (x) = sin( x + 2 0 ) - 2sin0 cos(x+ 0 )=sin( x + 0 ) +0 - 2sin 0 cos( x+=sin( x + 0 )co

6、s0 + cos( x+ 0 )sin0 -2sin0 cos( x + 0)=sin( x + 0 )cos0 cos( x+ 0 )sin=sin( x + 0 )-0 = sin x, f(x)的最大值为1.题型一三角函数公式的基本应用2例1(1)设tan a , tan S是方程x 3x + 2= 0的两根，则tan(a + S)的值为()A.B. 1C.D. 3nnn右 o< a < ,< S <o, cos( + a )cos( n4 号)=£，贝V cos( a+-S)等于(B.D.6"9答案(1)A(2)C解析(1)由根与系数的关系可

7、知tana + tan S= 3, tan a tan=2.3a tan S 1 2 = 3.tan a + tan- tan( a + S )=1 tan故选A.(2)COS( a + )nn=cos( + a )(n=cos( + a )cos(nn S+ sin( + a )sin(-三).n又< 卩<0,63 .思维升华 三角函数公式对使公式有意义的任意角都成立使用中要注意观察角之间的和、差、倍、互补、互余等关系.(1)若tan(n 1a + ) = 7,贝U sina等于（）3C 5（2）计算:1 + cos 20°2sin20°sin10°

8、（詁tan5° )=答案(1)A解析(1) / tan(na + 7)=tan a +111 tan7'lns4 . I COS a = Sina .3又：sin 2 a+ COS2 a = 1 ,2sin a925n又 a (y,n )，二 sin35.2o2 ocos 5 sin 5sin 5 ° cos 5°22cos 10°(2)原式=sin 104sin 10 cos 10cos 10° sin 20°2sin 10° sin 10°cos 10° 2sin 20°2sin 1

9、0°cos 10° 2sin( 30° 10° )2sin 10°10cos 10° 2sin 30° cos 10°+ 2cos 30° sin2sin 10题型二三角函数公式的灵活应用例 2 (1)sin( 65° x)cos( x 20° ) + cos( 65° x) cos(110° x)的值为()4212cos x 2cos x+ -o化简：2n2 n2tan( 4x)sin ( 4 + x)求值：cos 15°+ sin 15°co

10、s 15° sin 15°答案(1)B(2)*cos 2 x (3)3解析 原式=sin( 65° x) cos(x 20° ) + cos( 65°- x)cos 90° (x 20°)= sin( 65° x)cos( x 20° ) + cos( 65° x)sin( x 20° ) = sin (65 ° x) + (x 20°)= sin 45°=壬故选B.1 4 2原式=2(4cos x 4cos x + 1)n2 x sin( x)x)4 2

11、/ n cos (n4cos( x)2 2 2(2cos x 1) cos 2xnnn4sin( x)cos( x)2sin( 2x)2 “cos 2x12cos 2 x=cos 2 x.原式=1 + tan 151 tan 15tan 45°+ tan 15°1 tan 45° tan 15°=tan( 45°+ 15° ) =3.思维升华运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan a + tan卩=tan( a +卩) (1 tan a tan卩)和二倍角的余弦公式的多种 变形等公式的逆

12、用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力.a(1)已知a (0 ,n )，化简：(1 + sin a + cos a ) (cosy sin )'2 + 2cosa在厶ABC中，已知三个内角A, B, C成等差数列，则tanA+ tanC+ 3ta n 弓an C的值为2 2 2 2答案 (1)cos2 aa aaa(2cos + 2sin ycos ) (cos sin ) 解析原式= .2 a4cos 2a因为a (0 ,n )，所以COS。,a . a . a、y) (cos sin )2 aa(2cos 2 + 2sin cos 所以原式=2 a=cosaa

13、aa2 a=(cos 7 +sin T) (cos7sin T) = cos3 sin(2)因为三个内角A, B, C成等差数列，且A+ B+ C=n,所以 A+ C=n2 n A+ C nA+ C=,tan -3232所以tanA2+ tanC+ . 3tan Atan CA C 厂 A C1tan 尹 + 3tan 尹门=“.(3 1 tanA2tanCA2 + . 3tan tan3.题型三三角函数公式运用中角的变换cos(2)(1)已知a , 3均为锐角，且sin2013 课标全国n )已知sin 2答案-590 IO(2)A解析(1) Ta ,(0 ,ny)，从而3a=： , tan

14、( a53则 cos2nn"2<a - 3 <三.3 ) = 1 则 sin( a 3 )=1=-3<0,n_< a 3 <0.-sin( a 3 ) = , cos( a 3 )3 1010/ a为锐角，sin5,cos二 COS 卩=COS a ( a 卩)=COS a cos( a3 ) + Sin a sin( a 3 )=卜寄+苗（-需=警2n因为cos a+ 71 + cos2n1 + cos 2 a+ 1 sin 2 a2所以cos27t1 sin 2 a16,选 A.思维升华 1.解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示

15、.（1）当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；（2）当“已知角有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所 求角”变成“已知角” 2 .常见的配角技巧：a+3 a 一 32 a = ( a+3 ) + ( a 3 ) , a = ( a+3 ) 3 ， 3 =2?，a+3 a 一 3 a 一 3 a =2+(1)设 a、都是锐角，且“”；5 cos a = 5, sin(cos 3等于（25(2)已知 cos(n一 _6) +sina = 5 , 3,贝U Sin( a +牙)的值是4答案(1)A(2)-5解析（1）依题意

16、得sinCOS( a +3 ) = ± . 1 sin 2( a + 3 ) =± 5.又 a ,3 均为锐角，所以 0< a <a + 3 < n, COS a >COS( a+3 ).所以cos（于是cos4>-5,45.卩=cos(=cos( a+3 )cosa + sin( a + 3 )sin a冗a _) + sin a3 .+尹门a3( cos+ fsina )=3sin( -6 +a ) = ； *3,sin(45,/ sin(7 nn4百)=sin( - +a) = 5高考中的三角函数求值、化简问题典例:(1)若 tan 2

17、0 =- 2 2 ,2 02cos sin 0 1n <2 0 <2n，贝U (2)( 2014课标全国I)设 a (0 ,冗T），3 (0 ,n 口1 + sin 32)，且 tan a= cos 3冗冗A. 3 a 3=2B.2 a r冗冗C. 3 a +3 =D.2 a +3 =t222si n( 0 +-4)则（3）（ 2012 大纲全国）已知为第二象限角,sinoc + cos则cos 2 a等于(=4+?x 口=圧555525 (2) / cos(sin 47° sin 17° cos 30°(4)( 2012 重庆)cosn?等于()A.

18、-B.-2思维点拨(1)注意和差公式的逆用及变形.(2) “切化弦”，利用和差公式、诱导公式找a ,卩的关系.可以利用si n2 a + cos2 a = 1寻求Sin a ± COS a与Sin a COS a的联系.(4)利用和角公式将已知式子中的角向特殊角转化.解析(1)原式=cos 0 sin0sin0 + cos 01 tan 01 + tan 02ta n 0厂2厂又 tan 2 0 = 1伽 2 0 = 2 2，即 2tan 0 tan 0 2 = 0,解得tan10 =或 tan 0= 2./n <2 0n<2n,< 0 < n .二 tan故

19、原式=1+* 12 = 3 + 2 2.1 一2(2)由 tan a1 + sin 卩 sin acos卩得cos1 + sin 卩a cos 卩即 sin a cos 卩=cossin(a3)=cosa = sin( -2 a ).nna (0,_2)，3 (0, y),nnnna 3 (i 2，2),2 a (0 ,),卩，a + cos a sin由 sin(a 3 )=n= sin(-a )，得a3 =n巧a ,n2 a 3=亍(3)方法一/ sina + cosa =二3，(sina + cosa)2=3，22 2s in acos a =一 2,即sin 2a=3.又/ a为第二象

20、限角且 sin a + cos a 2kn + -2<a <2kn + 扌冗(k Z),3 4k n + n <2 a <4k n + qn ( k Z), - 2 a为第三象限角, cos 2 a =1 sin 2 a方法由 sin a + cos a31两边平方得 1 + 2sin a cos a =,33 2sin a cos aa为第二象限角， sina >0, cos a <0,-sin a cos a = .' (sina cos a )=1 2sin a cos15“=丁sina + cos asin3+15a =,sina cos a

21、cos315a 二 cos 2a = 2cos2a - 1 = -3原式=刑 30°+ 17°)一sin 17cos 30cos 17sin 30 ° cos 17 °+ cos 30 ° sin 17 ° sin 17 ° cos 30 °cos 17 °sin 30 ° cos 17 cos 17 °=sin 3012.答案(1)3 + 2 2(2)B(3)A(4)C(2)三角求温馨提醒(1)三角函数的求值化简要结合式子特征，灵活运用或变形使用公式.值要注意角的变换，掌握常见的配角

22、技巧.方法与技巧1巧用公式变形:和差角公式变形:tan x±tan y = tan( x±y) (1 ?tan x tan y);倍角公式变形:降幕公式2cos a =1 + COS 22a2sin a1 COS 2 a2配方变形：1 ± sin aaa 2sin 三 士 c。辽,1 + cosaa = 2COS ,1 cos.2 aa = 2sin 2、2 .重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可 能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能 有理化、整式化、降低次数等在解决求值、化简

23、、证明问题时，一般是观察角度、函数名、 所求（或所证明）问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形.失误与防范1运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降 次的灵活运用，要注意“ 1”的各种变通.亠J22 .在（0 ,n ）范围内，Sin（ a +卩）=亍所对应的角 a +卩不是唯一的.3 .在三角求值时，往往要估计角的范围后再求值A组专项基础训练（时间：30分钟）1 .已知tan(a+卩)2=5, tann1n 匚卩= 4,那么tan a+N等于(答案C解析因为nna+ 4 + 3 - 4 =a +3，所以na + _4=(a + 3 ) 3 -

24、n4 ，所以n3 -ntana + 4=tan ( a + 3 )4ntan( a + 3 ) tan 卩一3=22、1 + tan( a + 3 )tan 3 e等于（n n2 .右 B , , sin 2答案 D解析 由 sin 2 e = 3 " 7和 sin 2 e + cos2 e = 1 得(sine + cos e )2 = ¥ + 1= (3+4'7)2,n，二 sin e + cos e =3+ J4同理,sine cos e= », sin43e = 4.3 .已知tan2rt 1 + cos 2 a + 8sin a 曲居亠, a =

25、4，贝U的值为(sin 2 aA. 4 3C. 4答案解析2 21 + cos 2 a + 8sin a 2cos a + 8sin sin 2 a2sin a cos a/ tana = 4,. cos a 0，分子、分母都除以2cos a2f 2 + 8tan a 65 得2tan4. (2013 -重庆)4cos50° tan 40° 等于(答案解析4cos 50° tan40°4sin 40° cos 40sin 40°cos 40°2sin80° sin 40°2sin( 50°+ 3

26、0° ) sin 40°cos 40°cos 40°3sin 50°+ cos 50° sin 40°cos 40°3sin 50°3cos 40°已知 cos( x-6) =#ncos x+ cos(x-3)的值是(A.2 .33C.D.±l答案解析ncos x+ cos(x-3) = cos33in x= cos1x+ qcos x +x + 23sin x=J3(1 .2sin_nx) = , 3cos( x ) = 1.sin 250°1 + sin 10答案2sin

27、 250°1 cos 100°1 + sin 10° = 2(1 + sin 10° )1 cos(90°+ 10° ) _ 1 + sin 10°12(1 + sin 10° ) 2(1 + sin 10° ) 2 7 .已知 a、卩均为锐角，且 cos( a + 3 ) = sin( a 3 )，则 tan a =答案 1解析根据已知条件：cosa cos3 sina sin 3= sin a cos 3 cos asin3 ,cos3 (cos a sin a ) + sin 3 (cos a si

28、n a ) =0,即(cos 3 + sin 3 )(cos a sin a ) = 0.又 a、3 为锐角，则 sin 3 + cos 3 >0,cos a sin a = 0, tan a = 1.212° 3,(4cos 12° 2)sin12° ) =答案 一4 3解析原式=3sin 12°cos 12°22(2cos 12° 1)sin 122 3 2sin 12° -cos 12cos 12°2cos 24° sin 12°2边sin( 48° )_ R3sin 48

29、°2cos 24° sin 12° cos 12° sin 24° cos 242 , 3sin 482sin 48°=4 3.9 .已知1 + sin:1 sin1 sin:1 + sin2tana，试确定使等式成立的a的取值集合.因为1 + sin:1 sin1 sin解(1 + sin2cos a1 + sinaaa )2|1 + sin a I |1 sin a | |cos a | |cos a |1 + sin a 1+ sin a|cos a |2s ina|COS a |，2sin a所以阪m=2tan2sin aco

30、s a所以 sin a = 0 或 |cos| =-COS a >0.故a的取值集合为、n、3 n或 2k n+ < a <2k n + n 或 2k n + n< a <2k n g,k10.已知7t且sinaa 6cos 2 =亍(1)求 cos的值;若sin（35,n ，求cos 3的值.解（1）因为asin + cos,6V，两边同时平方，得sin1 a = 2.n又< a < n,所以cos_32n(2)因为< a < n,3 <n,所以一n <- 3n<一 2，, n 故 < a又 sin( a 3 )

31、= 3,5得 cos( a43 ) = 5.COs 3 = COs a ( a-3 )=cos a cos( a3 ) + sin a sin(3)4 .''3 + 310专项能力提升11 .已知 tan( an 1+ T)= 2,n且 < a <0,(时间：25分钟)22sin a + sin 2 a 亠 则等于()ncos( a二)4A.今 B .53 .'1010答案 An tan a +11解析由 tan( a +壬)1 tan a 2,得 tan a13.n又一< a <0,所以 sin a10苛.2,2sin a + sin 2 a 2sin a (sin a + cos a ) 故cos(nT)¥(sina + cos a )2 2si12 .若 a0,7t且 sin a + cos 2 a1,则 tan a4的值等于（）答案解析且sin2a + cos 21a 4,/ sin2 . 2a + cos asincoscos a1 12或一2