ch函数的幂级数展开PPT学习教案

1、会计学1ch函数的幂级数展开函数的幂级数展开上节例题上节例题)11()1ln()1(11 xxnxnnnnnnxxaxf)()(00 若存在幂级数在其收敛域内以若存在幂级数在其收敛域内以 f(x)为和函数，为和函数，问题问题: 1.如果能展开如果能展开, 是什么是什么?na2.展开式是否唯一展开式是否唯一?3.在什么条件下才能展开成幂级数在什么条件下才能展开成幂级数?给定给定 f (x),一、一、TaylorTaylor级数与余项公式级数与余项公式1 1、TaylorTaylor级数级数第1页/共44页 )(23)1(!)(01)(xxannanxfnnn即得即得令令,0 xx ), 2 ,

2、1 , 0()(!10)( nxfnann 10021)()(2)(nnxxnaxxaaxf逐项求导任意次逐项求导任意次,得得泰勒系数泰勒系数 nnxxaxxaaxfxxf)()()()(00100数数，且且的的某某邻邻域域内内有有任任意意阶阶导导在在设设第2页/共44页 如如果果)(xf在在点点0 x处处任任意意阶阶可可导导, ,则则幂幂级级数数nnnxxnxf)(!)(000)( 称称为为)(xf在在点点0 x的的泰泰勒勒级级数数. .nnnxnf 0)(!)0(称称为为)(xf在在点点0 x的的麦麦克克劳劳林林级级数数. .问题问题nnnxxnxfxf)(!)()(000)(? 定义定义

3、泰勒级数在收敛区间是否收敛于泰勒级数在收敛区间是否收敛于 f(x) ?不一定不一定! !第3页/共44页第4页/共44页第5页/共44页证证明明必要性必要性)()(!)()(000)(xrxxixfxfninii ),()()(1xSxfxrnn ,)(能能展展开开为为泰泰勒勒级级数数设设xf)()(lim1xfxSnn )(limxrnn)()(lim1xSxfnn ;0 )(000!)()()()(xxfiixixfxrnin 定义余项定义余项2 2、展开条件、展开条件第6页/共44页充分性充分性),()()(1xrxSxfnn )()(lim1xSxfnn )(limxrnn , 0 )

4、,()(lim1xfxSnn 即即).()(xfxf的泰勒级数收敛于的泰勒级数收敛于第7页/共44页证明证明10)1()()!1()()( nnnxxnfxr ,)!1(10 nxxMn),(00RxRxx ,),()!1(010收敛收敛在在 nnnxx?, 0)!1(lim10 nxxnn, 0)(lim xrnn故故.0的泰勒级数的泰勒级数可展成点可展成点x),(00RxRxx 第8页/共44页3 3、余项公式余项公式第9页/共44页第10页/共44页第11页/共44页第12页/共44页二、初等函数的二、初等函数的Taylor展开展开1、直接展开、直接展开步骤步骤:;!)()1(0)(nx

5、fann 求求,)(0lim)2()(Mxfrnnn 或或讨论讨论).(xf敛于敛于则级数在收敛区间内收则级数在收敛区间内收第13页/共44页第14页/共44页第15页/共44页同理可以得到同理可以得到第16页/共44页 nxnnxxx!)1()1(! 2)1(1)1()6(2 第17页/共44页第18页/共44页第19页/共44页第20页/共44页第21页/共44页第22页/共44页第23页/共44页2.2.间接法间接法 利用利用已知展开式已知展开式, , 通过通过代换代换, , 变形变形, , 逐项逐项求导求导, , 逐项积分逐项积分等方法等方法, ,求展开式求展开式. .例如例如)(si

6、ncos xx )!2()1(! 41! 211cos242nxxxxnn),( x )!12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn第24页/共44页 xxdxx021arctan 1 , 1,12)1(5131arctan1253 xnxxxxxnn xxdxx01)1ln( 1 , 1(,)1(3121)1ln(132 xnxxxxxnn 121)1(513114nn第25页/共44页第26页/共44页三、三、例题例题第27页/共44页第28页/共44页,0, 10,arctan1)(2 xxxxxxf设设.4)1(121的的和和的的幂幂级级数数，并并求求级级数数 nnnx

7、展展开开成成试试将将)(xf)1 , 1(,)1(11022 xxxnnn 1 , 1,2) 1()(arctanarctan01201 xnxdxxxnnnx,)1()1(1)(122121212 nnnnnnnnxxxf解解例例第29页/共44页 121121212)1()1(1nnnnnnnnxx1 , 1,)1(2112241 xxnnnn 1 , 1,)1(21)(12241 xxxfnnnn2141)1(2141)1(12 fnnn第30页/共44页);21ln()1(2xxy 练习练习;11arctan)()2(xxxf 其其收收敛敛区区间间：的的幂幂级级数数，并并指指出出将将下

8、下列列函函数数展展开开成成 x).1()3(xedxdx );21ln()1ln(xx ;11)(2xxf );|(|!1!110 xnxxenxennxnnx第31页/共44页第32页/共44页第33页/共44页第34页/共44页第35页/共44页第36页/共44页第37页/共44页四、四、近似计算近似计算第38页/共44页第39页/共44页1.如何求函数的泰勒级数如何求函数的泰勒级数;2.泰勒级数收敛于和函数的条件泰勒级数收敛于和函数的条件;3.函数展开成泰勒级数的方法函数展开成泰勒级数的方法.第40页/共44页思考思考题题1. 1. 举例说明幂级数经运算后所得举例说明幂级数经运算后所得的幂级数收敛域改变。的幂级数收敛域改变。2. 2. 什么叫幂级数的间接展开法？什么叫幂级数的间接展开法？ 第41页/共44页思考题解答思考题解答例例,)(12 nnnxxf,)(11 nnnxxf,)1()(22 nnnxnxf它们的收敛半径都是它们的收敛半径都是1,但它们的收敛域分别是但它们的收敛域分别是)1 , 1(),1 , 1,1 , 1 1. 2. 2. 从已知的展开式出发从已知的展开式