复习 研究生应用数理统计

1、整理ppt 在前面我们曾经定义过事件的条件概率，同样在前面我们曾经定义过事件的条件概率，同样也可以考虑一个随机变量的条件分布，其条件与另也可以考虑一个随机变量的条件分布，其条件与另一随机变量的取值有关。一随机变量的取值有关。的联合分布为是离散型随机向量，它设),(, 0).,(iiiijxPyxPp若已知的条件概率为下，事件则在jiyxjijijijiijppxPyxPxyP,四四 条件分布条件分布整理ppt的条件分布。关于随机变量称它为随机变量时同样，当, 0jyPiijijjjijippyPyxPyxP,的条件分布。关于随机变量称它为随机变量连续型连续型。故只能借助于密度函数, 0, xP

2、x对任何在连续型的情况，因为整理ppt定义定义的联合分布密度为是连续型随机向量，它设),(则称且, 0)(),(1xpyxpdvxpvxpxpdvvxpxyPxyFyy)(),()(),()(11的条件分布函数。下为在x),( xypx的条件分布密度为给定的条件下，记在则由上式得).0)()(),()(11xpxpyxpxyp整理ppt),( yxpy的条件分布密度为条件下，同理，给定).0)()(),()(22ypypyxpyxp例例 ).(),(),(xypN求服从正态分布设随机向量Ba).0)()(),()(11xpxpyxpxyp整理ppt21222222)()1 (21exp121a

3、xrbyrr分布的条件分布仍然是正态的条件下，可见，在x)1 (),(22212raxrbN也有类似的结论。同样)( yxp其中第一个参数是其中第一个参数是x x的线性函数，第二个参数与的线性函数，第二个参数与x x无关，此无关，此结论在一些统计问题中很重要。结论在一些统计问题中很重要。整理ppt),(YX其它, 0,0 ,10,3),(xyxxyxf例例1 设设 的联合分布密度为的联合分布密度为 41|81XYP求 解解 关于关于 的边缘密度为的边缘密度为 X其它,0, 10,3),()(0 xxdydyyxfxfxX其它,0, 10,32xx整理ppt其它, 0, 10,133)(),()

4、|(2|xyxxxxfyxfxyfXXY于是于是214)41|(41|8181810|dydyxyfXYPXY整理ppt下面讨论无偏估计方差的下界，达到这个下界的无偏估下面讨论无偏估计方差的下界，达到这个下界的无偏估量称为优效估计量（最小方差无偏估计）。量称为优效估计量（最小方差无偏估计）。定理：罗克拉美不等式（条件见书）定理：罗克拉美不等式（条件见书）是未知参数，设总体);(xfX的一个简单样本，是XXXn1的无偏估计，是),(1nXX )(1nID罗克拉美不等式罗克拉美不等式 右端为罗克拉美下界，记为右端为罗克拉美下界，记为)(1nIIR整理ppt0),(),(ln();(ln()(22d

5、xxfxfXfEI 类似：类似：d.r.vd.r.v，满足条件，则);(xPX)(1nIDixPxPXfEI),(),(ln();(ln()(22 注：有时能找到无偏估计使它的方差达到这个下界，注：有时能找到无偏估计使它的方差达到这个下界，有时达不到有时达不到整理ppt1)()(eDIeR优效估计量的有效率的有效率，显然称为估计量的优效估计为则称的方差若无偏估计000,RID见书上见书上p60 p60 例例3.2.43.2.4和例和例3.2.5.3.2.5.整理ppt例例题题 设设X X服服从从泊泊松松分分布布 ( , )0,1,2!x-xf xexx 2200ln ( , )( )( )(

6、1)( )xxp xxIp xp x ln ( , )lnln !1p xxxx 2202(1) ( )xxxp x 1 克克来来美美下下界界 1InIn 是是 的的最最优优无无偏偏估估计计量量X 整理ppt2 2例例题题 试试问问 分分别别是是 , ,2*2( ,),XNX S 的的优优效效估估计计吗吗? ?对对于于 + +- -2ln( )()( )f xf x dx + +- -22()221ln2()( )xef x dx + +- -222()2()( )xf x dx 24()( )xf x dx 24 所所以以 2RIn 整理ppt正确正确正确正确假设检验的两类错误假设检验的两类

7、错误 犯第一类错误的概率通常记为犯第一类错误的概率通常记为 犯第二类错误的概率通常记为犯第二类错误的概率通常记为 H0 为真为真H0 为假为假真实情况真实情况所作判断所作判断接受接受 H0拒绝拒绝 H0第一类错误第一类错误( (弃真弃真) )第二类错误第二类错误( (取伪取伪) )整理ppt 任何检验方法都不能完全排除犯错任何检验方法都不能完全排除犯错 假设检验的指导思想是控制犯第一类假设检验的指导思想是控制犯第一类误的可能性误的可能性. .理想的检验方法应使犯两类理想的检验方法应使犯两类错误的概率都很小错误的概率都很小, ,但在样本容量给定的但在样本容量给定的情形下情形下, ,不可能使两者都

8、很小不可能使两者都很小, ,降低一个降低一个, , 往往使另一个增大往往使另一个增大. .错误的概率不超过错误的概率不超过 , , 然后然后, ,若有必要若有必要, ,通通过增大样本容量的方法来减少过增大样本容量的方法来减少 . .整理ppt1 非正态总体参数的假设检验非正态总体参数的假设检验设总体 X 服从参数为 p 的(01)分布, 即 1, 0,)1 (1xppxXPxx设 nXXX,21为 X 的样本, 检验假设 0100:,:ppHppH1 1(01)(01)分布参数的假设检验分布参数的假设检验整理ppt由于 niipXEnXE1)(1)(niippnXDnXD12)1 (1)(1)

9、(因此由中心极限定理可知, 当 0H成立且样本容量 n充分大时，统计量 npppXU/ )1 (000服从标准正态分布N(0,1). =该假设检验问题的拒绝域为 2/000/ )1 (unpppxu近似地整理ppt例例1 1 某种产品在通常情况下次品率为5%. 现在从生产出的一批产品中随机地抽取50件进行检验, 发现有4件次品. 问能否认为这批产品的次品率为5%? (=0.05)解解 设这批产品的次品率为 p. 在这批产品中任 任意取一件产品，定义随机变量 X 如下 .0, 1该产品为合格品，该产品为次品X), 1 (pbX整理ppt检验假设 ,05. 0:0pH05. 0:1pH该假设检验问

10、题的拒绝域为 2/ )05. 01 (05. 005. 0unxu现在 ,50n,08. 0504x96. 1025. 02/ uu统计量U的值为 0306. 050/05. 0105. 005. 008. 0u整理ppt96. 10306. 0| u=接受假设 0H=可以认为这批产品的次品率为5% 整理ppt2.2.总体均值的假设检验总体均值的假设检验假设总体X 的均值为, 方差为 2nXXX,21为 X 的样本,检验假设 0100:,:HH由中心极限定理知，当样本容量n充分大时， nXU/0近似地服从标准正态分布N(0,1) 整理ppt由于样本方差 niiXXnS122*11为 2的无偏估

11、计量， =可以用 2*S近似代替 2，并且当 0H为真 且样本容量n充分大时，统计量 nSXU/*0仍近似地服从标准正态分布N(0,1) =该假设检验问题的拒绝域为 2/*0/unsxu整理ppt例例2 2 某电器元件的平均电阻一直保持在2.64. 改变加工工艺后, 测得100个元件的电阻, 计算得平均电阻为 2.58 , 样本标准差为0.04 . 在显著性水平 =0.05下, 判断新工艺对此元件的平均电阻有无显著影响. 解解 设该电器元件的电阻为X, 其均值为 检验假设 ,64. 2:0H64. 2:1H拒绝域为 2/*/64. 2unsxu整理ppt现在 ,100n,58. 2x,04.

12、0*s05. 0,96. 1025. 02/uu统计量U的值为 15100/04. 064. 258. 2u96. 115| u=拒绝假设 ,64. 2:0H接受假设 64. 2:1H=新工艺对电子元件的平均电阻有显著影响. 整理ppt3.3.两个总体均值的假设检验两个总体均值的假设检验 设总体 X和 Y相互独立， 的样本, 1,21nXXX是 X2,21nYYY是 Y 的样本. 记 ,1111niiXnX112121*)(11niiXXnS,1212niiYnY212222*)(11niiYYnS设总体 X的均值为 1，方差为 21总体 Y的均值为 2，方差为 22整理ppt,:210H21

13、1:H的拒绝域. 由中心极限定理知，当样本容量 1n和 2n都充分大时， 22212121nnYXU近似地服从标准正态分布 由于样本方差 21*S和 22*S分别为 21和 22的无偏估计量，因此 可以分别用 21*S和 22*S近似代替 21和 22，并且当 求假设检验问题 整理ppt1n和 2n22212121nnYXU近似地服从标准正态分布 ，从而当原假设 0H成立时， 统计量 222*121*nSnSYXU仍近似地服从标准正态分布. 都充分大时， =当 0H成立且 21,nn都充分大时， 统计量U的值应该在零附近摆动，整理ppt当 u过大时就认为 0H不成立. =该假设检验问题的拒绝域

14、为 2/222*121*unsnsyxu整理ppt例例3 两台机床加工同一中轴承，现在从他们加工的轴承中分别随机地抽取200根和100根，测量其椭圆度（单位：mm），经计算得 ,062. 0,081. 0yx062. 0,025. 02*1*ss能否认为这两台机床加工的轴承的平均椭圆度是相同的(=0.05)解解设这两台机床加工的轴承的椭圆度分别为X,Y 且 ,1XE YE2检验假设 ,:210H211:H整理ppt由于题目给出的两个样本都是大样本，因此该假设检验问题的拒绝域为 现在 ,100,20021nn96. 1025. 02/ uu2/222*121*unsnsyxu222*121*ns

15、nsyxu=拒绝原假设 ,0H即认为这两台机床加工的轴承的平均椭圆度是不相同的. 96. 15849. 3整理ppt2 分布拟合检验分布拟合检验设总体X的实际分布函数为F(x),它是未知的. nXXX,21为来自总体 X的样本. 根据这个样本来检验总体X的分布函数F(x) 是否等于某个给定的分布函数 F0(x),即检验假设 ),()(:00 xFxFH)()(:01xFxFH: 整理ppt注意注意: : 若总体 X 为离散型的, 则 0H相当于 总体 X 的分布律为 , 2 , 1,ipxXPii若总体 X 为连续型的, 则 0H相当于总体 X 的 概率密度为 f(x) .整理ppt（1）若0

16、H中 X的分布函数 )(xF不含未知参数. 记 为 X的所有可能取值的全体， 将 分为k个两两互不相交的子集 kAAA,21以 ), 2 , 1(kifi表示样本观察值 nxxx,21中落入 iA的个数,= 在n次试验中,事件 Ai发生的频率为 fi /n另一方面,当H0 0为真时, 可以根据H0所假设的 X 的分布函数来计算 ).(iiAPp 整理ppt选取统计量 kiiiipnfh12来度量样本与H0中所假设的分布的吻合程度，hi是给定的常数。 kiiikiiiinnpfnpnpf12122)(如果选取 ,/iipnh 则上述统计量变成 整理ppt定理定理1 1 （皮尔逊）（皮尔逊）当H0

17、为真且n充分大时, 统计量 kiiikiiiinnpfnpnpf12122)(近似服从 ) 1(2k分布. 由定理1, 若给定显著性水平,则前述假设检验问题的拒绝域为 ) 1(22k整理ppt（2）若H0中X 的的分布函数含有未知参数. 此时, 首先在假设下利用样本求出未知参数的最大似然估计, 以估计值作为参数值, 然后再根据 H0中所假设的 X 的分布函数 F(x)求出 pi的估计值 )(iiAPp kiiikiiiinnpfnpnpf12122)(并在 中以 ip 代替 ip, 得到统计量 npnfpnpnfkikiiiiii11222)(整理ppt0H为真且 n充分大时, 统计量定理定理

18、2 2 （皮尔逊）（皮尔逊）当 npnfpnpnfkikiiiiii11222)(近似服从 ) 1(2 rk分布, 其中r是 X的分布函数 F(x)包含的未知参数的个数. 若给定显著性水平,则前述假设检验问题的拒绝域为 ) 1(22rk整理ppt注意：注意：运用 2检验法检验总体分布, 把样本数据进 （1）大样本, 通常取50n（2）要求各组的理论频数 5inp或 5 ipn（3）一般数据分成7到14组. 有时为了保证各组 行分类时,5inp组数可以少于7组整理ppt例例1 1 孟德尔在著名的豌豆杂交实验中, 用结黄色圆形种子与结绿色皱形种子的纯种豌豆作为亲本进行杂交, 将子一代进行自交得到子

19、二代共556株豌豆, 发现其中有四种类型植株 （黄圆）（黄皱） （绿圆）（绿皱） RYrrYyyRyyrr 总计 315株 101株 108株 32株 556株 试问这些植株是否符合孟德尔所提出的 1:3:3:9的理论比例 )05. 0(整理ppt解解 检验假设 :0H这些植株符合1:3:3:9的理论比例. :1H这些植株不符合 1:3:3:9的理论比例. 由 1:3:3:9的理论比例可知 161,163,163,1694321pppp由n=556,得 25.104,75.31221npnp75.34,25.10443npnp整理ppt而 ,32,108,101,3154321ffff, 4k

20、计算得 .47. 0)(122kiiiinpnpf由 =0.05 ,自由度, 3141k查 2分布表得 815. 7)3(205. 0)3(205. 02=在=0.05下接受0H=这些植株是符合孟德尔所提出的 1:3:3:9的理论比例整理ppt 上述置信区间中置信限都是双侧的，但上述置信区间中置信限都是双侧的，但对于有些实际问题，人们关心的只是参数在对于有些实际问题，人们关心的只是参数在一个方向的界限一个方向的界限. 例如对于设备、元件的使用寿命来说，平均例如对于设备、元件的使用寿命来说，平均寿命过长没什么问题，过短就有问题了寿命过长没什么问题，过短就有问题了. 这时，可将置信上限取这时，可将

21、置信上限取为为+，而只着眼于置信下，而只着眼于置信下限，这样求得的置信区间限，这样求得的置信区间叫单侧置信区间叫单侧置信区间.三、单侧置信区间整理ppt于是引入单侧置信区间和置信限的定义：于是引入单侧置信区间和置信限的定义： 11P),(2111nXXX 满足满足设设 是是 一个待估参数，给定一个待估参数，给定, 0 若由样本若由样本X1,X2,Xn确定的统计量确定的统计量则称区间则称区间 是是 的置信水平为的置信水平为 的的单侧置信区间单侧置信区间. ),1 11 称为单侧置信下限称为单侧置信下限.整理ppt),(2122nXXX 又若统计量又若统计量 满足满足 12P2 则称区间则称区间

22、是是 的置信水平为的置信水平为 的的单侧置信区间单侧置信区间. ,(2 1 称为单侧置信上限称为单侧置信上限.整理ppt设灯泡寿命服从正态分布设灯泡寿命服从正态分布. 求灯泡寿命均求灯泡寿命均值值 的置信水平为的置信水平为0.95的单侧置信下限的单侧置信下限. 例例4 从一批灯泡中随机抽取从一批灯泡中随机抽取5只作寿命试只作寿命试验，测得寿命验，测得寿命X（单位：小时）如下：（单位：小时）如下：1050，1100，1120，1250，1280 ) 1(ntnSX 由于方差由于方差 未知，未知，2 解：解： 的点估计取为样本均值的点估计取为样本均值 X选取统计量为整理ppt 对给定的置信水平对给定的置信水平 ，确定分位数，确定分位数) 1( nt 1 1)1(ntnSXP使使即即 1) 1(nSntXP于是得到于是得到 的置信水平为的置信水平为 的单侧置的单侧置信区间为信区间为 1,) 1(nSntX 整理ppt 将样本值代入得将样本值代入得 的置信水平为的置信水平为0.95的单侧置信下