ch连续函数的概念运算性质初等函数的连续性PPT学习教案

1、会计学1ch连续函数的概念运算性质初等函数的连续函数的概念运算性质初等函数的连续性连续性1.函数的增量函数的增量.,),(,),()(0000的增量的增量称为自变量在点称为自变量在点内有定义内有定义在在设函数设函数xxxxxNxxNxf .)(),()(0的增量的增量相应于相应于称为函数称为函数xxfxfxfy xy0 xy00 xxx 0)(xfy x 0 xxx 0 x y y )(xfy 第1页/共24页2.连续的定义连续的定义,0 xxx 设设),()(0 xfxfy ,00 xxx 就是就是).()(00 xfxfy 就是就是第2页/共24页:定义定义 .)()(, 0, 000 x

2、fxfxx恒有恒有时时使当使当第3页/共24页可见 , 函数)(xf在点0 x(1) )(xf在点0 x即)(0 xf(2) 极限)(lim0 xfxx(3). )()(lim00 xfxfxx连续必须具备下列条件:存在 ;有定义 ,存在 ;第4页/共24页例例1 1.0, 0, 0, 0,1sin)(处连续处连续在在试证函数试证函数 xxxxxxf证证, 01sinlim0 xxx, 0)0( f又又由定义知由定义知.0)(处连续处连续在在函数函数 xxf),0()(lim0fxfx 第5页/共24页3.单侧连续单侧连续;)(),()0(,()(0000处处左左连连续续在在点点则则称称且且内

3、内有有定定义义在在若若函函数数xxfxfxfxaxf 定理定理14.)()(00处既左连续又右连续处既左连续又右连续在在是函数是函数处连续处连续在在函数函数xxfxxf.)(),()0(,),)(0000处处右右连连续续在在点点则则称称且且内内有有定定义义在在若若函函数数xxfxfxfbxxf 第6页/共24页例例2 2.0, 0, 2, 0, 2)(连连续续性性处处的的在在讨讨论论函函数数 xxxxxxf解解)2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f )2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f 右连续但不左连续右连续但不左连续 ,.0)(处处不不连连续续在在点点故故函函数

4、数 xxf第7页/共24页9211101)(2xxxxabxxf1abx当、时 处连续.取何值在解解：bbxfx21lim)1(1) 1 (f1)(lim)1(1axafx处连续在）时当1(1, 2xxfba11ab第8页/共24页4.连续函数与连续区间连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上叫做在该区间上的的连续函数连续函数,或者说函数在该区间上连续或者说函数在该区间上连续.,)(,),(上连续上连续在闭区间在闭区间函数函数则称则称处左连续处左连续在右端点在右端点处右连续处右连续并且在左端点并且在左端点内连续内连续如果函数在开区间如果函数在开区间

5、baxfbxaxba 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例如例如,.),(内是连续的内是连续的有理函数在区间有理函数在区间第9页/共24页例例3 3.),(sin内内连连续续在在区区间间函函数数证证明明 xy证证),( x任取任取xxxysin)sin( )2cos(2sin2xxx , 1)2cos( xx.2sin2xy 则则,0,时时当当对任意的对任意的 ,sin 有有,2sin2xxy 故故. 0,0 yx时时当当.),(sin都是连续的都是连续的对任意对任意函数函数即即 xxy第10页/共24页定理定理1515.)0)()()(),()()

6、,()(,)(),(000处也连续处也连续在点在点则则处连续处连续在点在点若函数若函数xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf 例如例如,),(cos,sin内连续内连续在在xx.csc,sec,cot,tan在其定义域内连续在其定义域内连续故故xxxx1、连续函数的四则运算性质、连续函数的四则运算性质第11页/共24页定理定理1616).(lim)()(lim,)(,)(lim000000 xfufxfuufuxxxxxxx 则有则有点连续点连续在在函数函数若若证证,)(0连连续续在在点点uuuf .)()(, 0, 000成立成立恒有恒有时时使当使当 ufufuu,)(lim00uxxx

7、又又,0, 0, 00时时使当使当对于对于 xx2、复合函数的连续性、复合函数的连续性第12页/共24页.)(00成成立立恒恒有有 uuux将上两步合起来将上两步合起来:,0, 0, 00时时使当使当 xx)()()()(00ufxfufuf .成立成立 )()(lim00ufxfxx ).(lim0 xfxx 第13页/共24页意义意义1.极限符号可以与函数符号互换极限符号可以与函数符号互换;.)(. 2的理论依据的理论依据变量代换变量代换xu 例例4 4.)1ln(lim0 xxx 求求. 1 xxx10)1ln(lim 原式原式)1(limln10 xxx eln 解解第14页/共24页

8、例例5 5.1lim0 xexx 求求. 1 )1ln(lim0yyy 原式原式解解,1yex 令令),1ln(yx 则则. 0,0yx时时当当yyy10)1ln(1lim 同理可得同理可得.ln1lim0axaxx 第15页/共24页.)(,)(,)(,)(00000也连续也连续在点在点则复合函数则复合函数连续连续在点在点而函数而函数且且连续连续在点在点设函数设函数xxxfyuuufyuxxxxu 定理定理1717注意注意定理定理17是定理是定理16的特殊情况的特殊情况.例如例如,), 0()0,(1内连续内连续在在 xu,),(sin内连续内连续在在 uy.), 0()0,(1sin内连续

9、内连续在在 xy第16页/共24页定理定理1818例如例如,2,2sin上单调增加且连续上单调增加且连续在在 xy.1 , 1arcsin上也是单调增加且连续上也是单调增加且连续在在故故 xy;1 , 1arccos上单调减少且连续上单调减少且连续在在同理同理 xy.,cot,arctan上单调且连续上单调且连续在在 xarcyxy反三角函数在其定义域内皆连续反三角函数在其定义域内皆连续. (),().xyyyf xIIxyI如果函数 在区间 上连续并且严格单调增加 或减少 函数的值域为 则其反函数 在 上也连续并且严格单调增加 或减少第17页/共24页三角函数及反三角函数在它们的定义域内三角

10、函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的是连续的.)1, 0( aaayx指指数数函函数数;),(内单调且连续内单调且连续在在)1, 0(log aaxya对对数数函函数数;), 0(内内单单调调且且连连续续在在 第18页/共24页定理定理19 19 基本初等函数在定义域内都是连续的基本初等函数在定义域内都是连续的. . xy xaalog ,uay .log xua ,), 0(内连续内连续在在 ,不不同同值值讨讨论论 (均在其定义域内连续均在其定义域内连续 )定理定理20 20 一切初等函数在其一切初等函数在其定义区间定义区间内都是内都是 连续的连续的. .定义区间是指包含在定义域内的区间

11、定义区间是指包含在定义域内的区间. .第19页/共24页1. 初等函数仅在其定义区间内连续初等函数仅在其定义区间内连续, 在在其定义域内不一定连续其定义域内不一定连续;例如例如, 1cos xy,4,2, 0: xD这些孤立点的邻域内没有定义这些孤立点的邻域内没有定义.,)1(32 xxy, 1, 0: xxD及及在在0点的邻域内没有定义点的邻域内没有定义.), 1上连续上连续函数在区间函数在区间注注意意注意注意2. 初等函数求极限的方法初等函数求极限的方法代入法代入法.)()()(lim000定义区间定义区间 xxfxfxx第20页/共24页例例6 6. 1sinlim1 xxe求求1sin1 e原式原式. 1sin e例例7 7.11lim20 xxx 求求解解解解)11()11)(11(lim2220 xxxxx原式原式11lim20 xxx20 . 0 第21页/共24页基本初等函数在定义区间内在定义区间内连续连续函数的四