chapter多元函数微分学小结PPT学习教案

1、会计学1chapter多元函数微分学小结多元函数微分学小结第一部分第一部分: 内容小结内容小结 一、极限，连续，偏导数，全微分一、极限，连续，偏导数，全微分 1. 二元函数的定义二元函数的定义),(yxfz 2. 二元函数的极限二元函数的极限 Ayxfyyxx ),(lim003. 二元函数的连续性二元函数的连续性 (1)定义定义 ),(),(lim00),(),(00yxfyxfyxyx (2)性质性质 连续函数的和差积商是连续函数连续函数的和差积商是连续函数. 连续函数的复合函数是连续函数连续函数的复合函数是连续函数. 一切多元初等函数在其定义区域内连续一切多元初等函数在其定义区域内连续.

2、 第1页/共52页(3)闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质 最大最小值定理最大最小值定理介值定理介值定理 4. 偏导数偏导数 (1) 一阶偏导数一阶偏导数 定义定义: xyxfyxxfyxfxx ),(),(lim),(0000000 ),(),(lim0000),(000 xxyxfyxfxfxxyx ),(),(lim),(0000000yyxfyyxfyxfyy 计算方法计算方法: 求偏导时求偏导时,只须对所讨论的变量只须对所讨论的变量求导求导,而把其余的变量看作常数而把其余的变量看作常数.第2页/共52页几何意义几何意义:).,(tan),(tanyxfyxfyx (2) 高

3、阶偏导数高阶偏导数 xzxxzyxfyxfxxxx22),(),( xzyyxzyxfyxfxyxy2),(),( yzxxyzyxfyxfyxyx2),(),( yzyyzyxfyxfyyyy22),(),(第3页/共52页5. 全微分全微分 ).,(),( 0000yxfyyxxfz 全增量为全增量为. dyyzdxxzdz 全微分为全微分为6. 极限存在、连续、可偏导、可微分的关系极限存在、连续、可偏导、可微分的关系 函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数可导函数可导第4页/共52页二、微分法二、微分法1、全导数公式、全导数公式则则设设),(),(),(xvxuvufz

4、 dxdvvfdxduufvuffdxdz 212、偏导数公式、偏导数公式则则设设),(),(),(yxvyxuvufz yvvzyuuzvuffyzxvvzxuuzvuffxzyyxx 2121第5页/共52页3、一阶全微分形式不变性、一阶全微分形式不变性则则设设),(),(),(yxvyxuvufz dvvfduufdz 4、隐函数的微分法、隐函数的微分法.,0 ;,0 , 0),( )1(xyxyxyFFdydxFFFdxdyFyxF 时时当当时时当当设设., ,0, 0),( )2(zyzxzFFyzFFxzFzyxF 时时当当设设第6页/共52页(3) 方程组情形方程组情形 0),(

5、0),( )1zyxGzyxF确定了两个一元函数确定了两个一元函数. 0),(0),( )2vuyxGvuyxF确定了两个二元函数确定了两个二元函数. ),(),(),( )3vuzzvuyyvuxx确定了一个以确定了一个以u,v为中间变量为中间变量x,y为自变量的二元函数为自变量的二元函数.第7页/共52页三、微分学的应用三、微分学的应用1. 几何上的应用几何上的应用 的的切切线线和和法法平平面面为为参参数数空空间间曲曲线线)( )()()()1(ttztytx )(),(),(:000tttT 切向量为切向量为)()()(:000000tzztyytxx 切线方程为切线方程为. 0)()(

6、)(000000 zztyytxxt 法平面方程为法平面方程为第8页/共52页的的切切线线和和法法平平面面空空间间曲曲线线 0),(0),()2(zyxGzyxF切向量为切向量为:, 1),(),(000000zyxzyxdxdzdxdyT , 1 ,),(),(000000zyxzyxdydzdydxT 1 ,),(),(000000zyxzyxdzdydzdxT 第9页/共52页 0),()3(的的切切平平面面与与法法线线曲曲面面 zyxF),(000,:zyxzyxFFFn 法向量为法向量为0)()()(,(000000 zzFyyFxxzyxFzyx切平面为切平面为),(),(),(0

7、00000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx 法线为法线为的的切切平平面面与与法法线线曲曲面面),()4(yxfz , 0)()()(:000 zzyyfxxfyx切平面切平面.1),(),(:0000000 zzyxfyyyxfxxyx法线法线第10页/共52页2. 方向导数与梯度方向导数与梯度 ,sincos),()1( yxfflyxf . 的转角的转角轴到方向轴到方向为为其中其中lx coscoscos),( zfyfxflzyxf ),(),()2(yfxfjyfixfyxgradf ),(),(zfyfxfkzfjyfixfzyxgradf ),cos(| ),

8、(|),()3(egradfyxgradflyxf 第11页/共52页3. 极值极值 (1) 无条件极值无条件极值 极值存在的必要条件极值存在的必要条件. 0),(, 0),(, ),(,),(),(00000000 yxfyxfyxyxyxfzyx则则极值极值取得取得且在且在具有偏导数具有偏导数在在设设极值存在的充分条件极值存在的充分条件, ,),(),(0偏导数偏导数且有一阶及二阶连续且有一阶及二阶连续内连续内连续在在设设 PUyxfz , 0),(, 0),( 0000 yxfyxfyx又又 ),(),(),( 000000yxfCyxfByxfAyyxyxx 令令,0)1( 2有极值有

9、极值时时当当则则 BAC;0,0时有极小值时有极小值时有极大值时有极大值 AA第12页/共52页;,0)2(2没有极值没有极值时时当当 BAC.,0)3(2需另作讨论需另作讨论为可能极值为可能极值时时当当 BAC求求函函数数),(yxfz 极极值值的的一一般般步步骤骤： 第第一一步步 解解方方程程组组, 0),( yxfx0),( yxfy求求出出实实数数解解，得得驻驻点点. ).,(),(),( yxfyxfyxfyyxyxx求求第二步第二步第第三三步步 对对于于每每一一个个驻驻点点),(00yx， 求出二阶偏导数的值求出二阶偏导数的值 A、B、C. 第四步第四步 定出定出2BAC 的符号，

10、再判定是否是极值的符号，再判定是否是极值. 第13页/共52页(2) 条件极值条件极值 降元法（化为无条件极值）降元法（化为无条件极值）升元法（升元法（Lagrange乘数法）乘数法） ,0),(),( 条件下的可能极值点条件下的可能极值点在在要找要找 yxyxfz ),(),(),( yxyxfyxF 先构造拉格朗日函数先构造拉格朗日函数 0),(00yxFfFfFyyyxxx 令令解出解出(x,y)即为可能极值点即为可能极值点.判断是否为极值点通判断是否为极值点通常由实际问题来定常由实际问题来定. :0),(, 0),(),( 下的可能极值点下的可能极值点在在求求 yxyxyxfu ).,

11、(),(),(),( yxyxyxfyxF 构造函数构造函数第14页/共52页(3) 最大最小值最大最小值 1) 闭区域上的连续函数一定有最大值和最小值闭区域上的连续函数一定有最大值和最小值: 将函数将函数 f (x,y) 在在D内的所有驻点处的函数值与在内的所有驻点处的函数值与在D的边界上的函数值相互比较，其中最大的就是最的边界上的函数值相互比较，其中最大的就是最大值，最小的就是最小值大值，最小的就是最小值. 2) 实际问题则根据问题的实际意义来判断实际问题则根据问题的实际意义来判断, 若问题若问题 存在最值，且只有唯一一个驻点，则该驻点必为存在最值，且只有唯一一个驻点，则该驻点必为 所求的

12、最值点所求的最值点. 第15页/共52页第二部分第二部分: 题型小结题型小结一、二元函数的定义域，函数值，极限一、二元函数的定义域，函数值，极限1、求定义域与函数关系、求定义域与函数关系 .,)3arcsin(),( . 1222并作图并作图的定义域的定义域求求yxyxyxfex Solution. 013222yxyx 22242yxyx所求定义域为所求定义域为., 42| ),(222yxyxyxD 第16页/共52页 ).,(,),( . 222yxfyxyxyxfex求求设设 Solution. )(),(yxyxyxyxf 2)(yxyxyx ,)(112yxyxyx .11),(2

13、xyyyxf 2、求二元函数极限常用的方法、求二元函数极限常用的方法(1)用定义用定义; (2)利用极限性质利用极限性质计算二元函数的极限，应用一元函数计算极限的计算二元函数的极限，应用一元函数计算极限的一些法则与方法一些法则与方法. 对于未定型，不再有对于未定型，不再有LHospital法则，须化成确定型法则，须化成确定型. 第17页/共52页).1cos1sin(lim . 300 xyyxexyx 计算计算Solution. xyyx1cos1sin0 xyyx1cos1sin yx )0, 0( 0yx由夹逼准则得，由夹逼准则得，. 0)1cos1sin(lim00 xyyxyx第18

14、页/共52页.)(lim . 4)(22yxyxeyxex 计算计算Solution. )(22)(0yxeyx )(2)(yxeyx tttyxyxyxeteyx 2)(2lim)(limttet2lim 02lim ttet. 0)(lim)(22 yxyxeyx第19页/共52页3. 确定极限不存在的方法确定极限不存在的方法 ., ,),(),(000就可断定此极限不存在就可断定此极限不存在不同值不同值函数趋于函数趋于时时以不同方式趋于以不同方式趋于当当yxPyxP一般选择下列极限方式：一般选择下列极限方式：; )4(; )3(;0 )2(;0 )1(2kxykxyyx 第20页/共52

15、页).,(lim,0 00 )( . 500222222yxfyxyxyxxyx,yfexyx 计算计算设设Solution. ),(lim),(lim00kxxfyxfxxkxy 22220limxkxkxx 21kk 其值随着其值随着k的不同而改变的不同而改变.故所求极限不存在故所求极限不存在. 第21页/共52页二、连续、可偏导、可微的讨论二、连续、可偏导、可微的讨论,)0 , 0(),( 0)0 , 0(),( 1sin),(. 622 yxyxyxxyyxfex 设设?)3( ?)2?()1( ,)0 , 0(是否可微是否可微偏导数是否存在偏导数是否存在是否连续是否连续处处在在Sol

16、ution. xyyxxy 221sin0)1()0, 0( 0yx),0 , 0(01sinlim22)0, 0(),(fyxxyyx 故函数连续故函数连续.第22页/共52页xfxffxx )0 , 0()0 ,(lim)0 , 0()2(0, 000lim0 xx. 0)0 , 0( yf同理同理故偏导数存在故偏导数存在. yBxAf0 )3(2222)()()()(1sinyxyxyx 2)()(22yx )0, 0( 0 yx故故),(yxf在点在点)0 , 0(可微可微. 0)0,0( df第23页/共52页三、偏导数的计算三、偏导数的计算).1 ,(,arcsin)1(),( .

17、 7xfyxyxyxfexx求求设设 Solution.,)1 ,(xxf . 1)1 ,( xfx., . 8zyxzyuuuxuex求求设设 Solution. xu,1 zyxzy yuyzyzyxx)(ln ,ln1xxzzy zuzzyzyxx)(ln .ln2xxzyzy 第24页/共52页.,. 9zuyuxuxuexzy 求求设设Solution. yu xxzylnyzy )( 1ln zyzyxxz yu xxzylnzzy )( yyxxzyzlnln .,)(),(.10102yFxFdxedssfyxFexxxyy 求求设设Solution.yxyfxF )()()(

18、yfxxyfyF 第25页/共52页.,),sin(.11xzfxyyefzexx 求求可微可微设设Solution. 221sin),(xyyeffxzx.sin221xyfyefx .),()(1.122yxzyxyxyfxzex 求求设设 Solution.),()(1)(12yxyyxyfxxyfxxz )(1)(1)(122xyfxxyxyfxxxyfxyxz )()(yxyyx )(fy 第26页/共52页.,),(.132zxuxufxyzzyxfuex 求求具有二阶连续偏导具有二阶连续偏导设设Solution. yzffxu1,2121fyzf 注意注意),(11xyzzyxf

19、f ),(22xyzzyxff zxu 2)(222121211xyffyzf yxyff 22221211)(f yf zxyfzxyf xyff1,12112f y xyffyz1,2221第27页/共52页.,),(.142zxuxufxyzzyxfuex 求求具有二阶连续导数具有二阶连续导数设设Solution.)1(yzfxu 注意注意)(xyzzyxff yfyzxyfzxu )1)(1(2 第28页/共52页.,),(.1522yzyzyzxex 求求可微可微其中其中设设 法法1: ),(),(22yzyzxzyxF 设设,)(2yzyzyFy ,212 zyyzFz.2 zyz

20、FFyzzy法法2: ,22yzyyzyyzz .2 zyzyz第29页/共52页法法1: .,3.16233yxzaxyzxex 求求设设,3),(33axyzxzyxF 设设,332yzxFx ,3xzFy ,3xyFz ,2xzyxxyyzxxz ,yzxyxzyz xzyxyyxz2yzxyx 12)(12yzxyx .22xyxyz 法法2: 两边对两边对x,y求偏导求偏导,并得到对并得到对x,y的二阶混合偏导的二阶混合偏导.法法3: 化成化成z关于关于x,y的显函数的显函数,再求偏导再求偏导.第30页/共52页. ,0,),(.17xyzyzyxzxxzyyzxFyxzzex 证明

21、证明所确定所确定由由函数函数 xzyyzxFzyx,),(令令 2212211,FxzFxzFFx 2122211,FFyzyzFFy Method1.第31页/共52页 21211111,FxFyxyFFz ,)()(21122FyFxxFxFzyxzzx )()(21221FyFxyFyFzxyzzy 代入所证等式的左边即可得结论代入所证等式的左边即可得结论.第32页/共52页Method2.0, xzyyzxF等式两边对等式两边对x求偏导得：求偏导得： 0111,221 xzxzxxzyFF 0)1()11(221 xzxzxFxzyF即即 xz 0)11()1(221 yzxFyzyz

22、yF同理可得同理可得yz 代入所证等式左边即可得结论成立代入所证等式左边即可得结论成立.第33页/共52页.,),(.18zyyxxzxyzzyxfzex 求求设设solution.,),(),(zxyzzyxfzyxF 令令,21yzffFx 则则,21xzffFy , 121 xyffFzzxFFxz 12121 xyffyzff;12121xyffyzff xyFFyx ;2121yzffxzff yzFFzy 21211xzffxyff .12121xzffxyff 第34页/共52页.,)()(),(.19yzxzdttPuuufzexxy 求求设设 solution.,)()(),

23、(udttPuuyxFxy 设设),(xPFx ),(yPFy , 1 uF,1)( xPxu,1)( yPyu,1)( xPfxufxz,1)( yPfyufyz第35页/共52页.,10.20yvxvyuxuxvyuyvxuex 求求设设 Solution.方程组两边对方程组两边对x求导得求导得 00 xvxvxuyxvyxuxu ,22yxyvxuxu 从从而而 22yxxvyuxv ., yvyuy 求求导导可可得得同同理理方方程程组组两两边边对对 第36页/共52页vuxudxdv ,xxu xudxddxud222xuxdxdu .22xu .,10.2122222dxuddxdv

24、dxduvuxvuxex求求设设 Solution. 022201dxdvvdxduuxdxdvdxduvuxvdxdu ,xu 第37页/共52页., 0, 0 ,),(.22dxduxyezezyxfuexzxy求求且且有有连连续续偏偏导导数数设设 Solution. 求导可得求导可得两边对两边对由由xxyezezyxfuzxy 00),( dxdzfdxdyffdxdu3210)( dxdzdxdyxyexy0)( dxdyxydxdzez dxdu第38页/共52页四、全微分的计算四、全微分的计算.),(.23dzxyyxfzex求求设设 Solution.),(xyyxdfdz )(

25、)(21xydfyxdf )()(21ydxxdyfdydxf dyfxfdxf yf)()(2121 第39页/共52页五、微分学的应用题五、微分学的应用题. )32 , 2()2 , 1()2 , 1(.2422的方向的方向导数的方向的方向导数到到处沿从处沿从在点在点求求 yxzexSolution., 2|2)2 , 1(1 xxxz4|2)2 , 1(2 yyyz3, 1 l方向方向,21311cos 23313sin . 321sin)2 , 1(cos)2 , 1( yxzzlz第40页/共52页处处的的切切线线在在求求曲曲线线)1 , 2, 1(06.25222 zyxzyxex

26、Solution. 010222zyz zyyx代代入入得得将将)1 , 2, 1( 01021zyzy1, 0 zy从而从而1, 0 , 1 T,110211 zyx切切线线方方程程为为 .0 zx法法平平面面方方程程为为 及法平面方程及法平面方程.第41页/共52页ex26. 求求曲曲面面32 xyezz在在点点)0 , 2 , 1(处处的的切切平平面面及及法法线线方方程程. Solution., 32),( xyezzyxFz令令, 42)0, 2, 1()0, 2, 1( yFx, 22)0, 2, 1()0, 2, 1( xFy, 01)0, 2, 1()0, 2, 1( zzeF切

27、平面方程切平面方程法线方程法线方程, 0)0(0)2(2)1(4 zyx, 042 yx.001221 zyx),0 , 2 , 4( n第42页/共52页ex27. 求求曲曲面面2132222 zyx上上平平行行于于平平面面064 zyx的的切切平平面面方方程程. Solution.,),(000为曲面上的切点为曲面上的切点设设zyx依题意，切平面平行于已知平面，得依题意，切平面平行于已知平面，得,664412000zyx (*) 2000zyx (*) 2132202020 zyx则则6 ,4 ,2 000zyxn 又切平面的法向量为又切平面的法向量为, 1 (*)(*)0 x解得解得由由

28、, 200 zy第43页/共52页所求切点为所求切点为),2 , 2 , 1(),2, 2, 1( 0)2(12)2(8)1(2 zyx2164 zyx0)2(12)2(8)1(2 zyx.2164 zyx切平面方程切平面方程切平面方程切平面方程第44页/共52页.1323),(.282233的极值的极值求求 xyyxyxfexSolution.1, 02, 0 yyxx)1, 2(),0 , 2(),1, 0(),0 , 0( 驻点有驻点有, 0 xyfB36 yfCyy, 3, 0, 06)0 , 0()3( CBA处处在在, 3, 0, 06)1, 0( CBA处处在在得得由由 033063)1(22yyfxxfyx, 66)2( xfAxx;, 0182有极大值有极大