chapter不定积分小结PPT课件

1、第1页/共30页积分法原 函 数选择u有效方法基本积分表第一换元法 第二换元法直接积分法分部积分法不 定 积 分几种特殊类型函数的积分主要内容第2页/共30页一. 基本概念与性质 1. 原函数与不定积分 ,内内若在若在I.)()(内的一个原函数内的一个原函数在在为为则称则称IxfxF函数f(x)在区间I上的原函数全体, 称为f(x)在I上的不定积分. 记为CxFdxxfxfxF )()(),()(则则若若2. 不定积分的基本性质 ),()( ) 1 (xfdxxfdxd 第3页/共30页,)()( )2( CxFdxxF dxxgkdxxfkdxxgkxfk)()()()( )3(2121二.

2、 基本积分公式 三. 换元法与分部积分法 1. 第一换元法(凑微分法) dxxxfdxxg )()()( )()(xdxf duufxu)()( CuF )(.)()(CxFxu 第4页/共30页常见的一些凑微分形式:)()(1)(baxdbaxfadxbaxf nnnndxxfndxxxf )(1)(1)(ln)(ln1)(lnxdxfdxxxf )(sin)(sincos)(sinxdxfdxxxf )(cos)(cossin)(cosxdxfdxxxf )(tan)(tancos1)(tan2xdxfdxxxf 第5页/共30页)(cot)(cotsin1)(cot2xdxfdxxxf

3、)(arcsin)(arcsin11)(arcsin2xdxfdxxxf )(arctan)(arctan11)(arctan2xdxfdxxxf xxxxdeefdxeef )()(利用三角函数公式: 倍角公式与积化和差第6页/共30页2. 第二换元法 dtttfdxxftx )()()()( dttg )(Ct )(. )()(Cxxt (1)一般规律如下：当被积函数中含有22)(xaa 可令;sintax 22)(xab 可令;tantax 22)(axc 可令.sectax .,22222222dxxaxaxaxxa 如如也可凑微分也可凑微分用三角代换用三角代换的积分都的积分都并不是所

4、有含并不是所有含第7页/共30页(2)当分母的阶较高时, 可采用倒代换(3)当被积函数含有两种或两种以上的根式时,可采用令 (其中 为各根指数的最小公倍数) lkxx,ntx n3. 分部积分法 选择u的有效方法:LIATE选择法L-对数函数；I-反三角函数；A-代数函数；T-三角函数；E-指数函数；哪个在前哪个选作u.第8页/共30页注意: (1)分部积分法用于求两类不同函数乘积的积分.(2)用分部积分法计算的不定积分类型常见的有:,dxexxk ,lndxxxmk ,sindxaxxk ,cosdxaxxk ,arctandxbxxk .sindxbxex (3)分部积分法与换元法经常穿插

5、着使用.(4)分部积分法常用来推导递推公式.第9页/共30页四. 有理函数、三角函数有理式及简单无理函数的积分 1. 有理函数的积分 先把被积函数化为部分分式之和(利用待定系数法),然后积分.即将).,;,;0, 0()()(00110110为非负整数为非负整数nmRbababxbxbaxaxaxQxPiimmmnnn 化为已知的四种积分来作：.)(IV. ;III. ;)(II. ;I.22kkqpxxNMxqpxxNMxaxAaxA 第10页/共30页2. 三角函数有理式的积分 dxnxmxdxxxR cossin)cos,(sin (1)dxnxmx sinsin 或或dxnxmx co

6、scos 或或方法:用积化和差公式进行恒等变形后,再凑微分.dxxdxxxRm sin)cos,(sin (2)dxxm cos 或或方法: ;,1cossin,22再凑微分再凑微分变形后变形后用用为奇数时为奇数时当当 xxm.,再凑微分再凑微分用倍角公式降幂后用倍角公式降幂后为偶数时为偶数时当当m第11页/共30页xdxxdxxxRnmcossin)cos,(sin (3) 方法: ;,1cossin,22的积分的积分再凑微分化为有理函数再凑微分化为有理函数变形后变形后用用中有一个为奇数时中有一个为奇数时当当 xxnm.,再凑微分再凑微分用倍角公式降幂后用倍角公式降幂后都是偶数时都是偶数时当

7、当nmdxxxR )cos,(sin (4)方法: .12)11,12()cos,(sin22222tanduuuuuuRdxxxRxu 第12页/共30页3. 简单无理函数的积分 通过运用变量代换将根号去掉 dxaxfdxaxfdxxaf)()()()1(222222 taxtaxtaxtaxtaxtaxcsc seccot tancos sin 或或或或或或令令 dxxxfdxbaxfnmn),()()2( , 的最小公倍数的最小公倍数为为令令nmptxtbaxpn第13页/共30页 dxcbxaxxdxcbxaxx22211)3(tx1 令令dxbaxxRn ),()4(tbaxn 令令

8、dxdcxbaxxRn ),()5(tdcxbaxn 令令第14页/共30页五. 常见题型举例注意: 不是所有初等函数的不定积分或原函数(即便存在)都是初等函数. 例如 421 ,sin ,sin , ,ln2xdxdxxdxxxdxexdxx等都不能用初等函数表示, 或者习惯地说“积不出来”.“积出来”的只是很小的一部分, 而且形式变化多样, 有的技巧性也很强. 因此我们没有必要做太繁或者难的计算不定积分的题目, 应该掌握不定积分的基本计算法. 第15页/共30页.)35(. 131 dxxxex 计算计算Solution. dxxx31)35(3)35(51原式原式 )35()35(3)3

9、5(25131xdxx )35()35(253)35()35(2513134xdxxdx.)35(43253)35(732513437Cxx 第16页/共30页.11. 264 dxxxex计算计算Solution. dxxx1)(1324原式原式 dxxxxxxx)1)(1()1(242224 dxxxdxx111622 32321)(13111dxxdxx.arctan31arctan3Cxx 第17页/共30页.11. 342 dxxxex计算计算Solution. dxxxx222111原式原式 )1(2)1(12xxdxx.21arctan21Cxx 第18页/共30页.1. 424

10、3 dxeeeeexxxxx计算计算Solution. dxeeeexxxx221原式原式 xxxxeeeed221)( 1)()(2xxxxeeeed.)arctan(Ceexx 第19页/共30页.)()()()()(. 532 dxxfxfxfxfxfex 计算计算Solution. dxxfxfxfxfxfxf)()()()()()(22原式原式 dxxfxfxfxf)()()()( )()()()(xfxfdxfxf.)()(212Cxfxf 第20页/共30页.11. 642 dxxxxex 计算计算Solution. xdxxxx42211原式原式 24221121dxxxx d

11、tttttx211212 dtttdtt2211211121 duuttutsin121)1ln(212tanCuutt cotcscln21)1ln(212. 第21页/共30页.tan. 74 xdxex 计算计算Solution. dxxx)1(sectan22原式原式 xdxxdxx222tansectan dxxxxd)1(sectantan22.tantan313Cxxx 第22页/共30页.)1(. 828 xxdxex 计算计算Solution. dttttx 1281原式原式 dttttttttt11122244668 dttttt)111(2246Cttttt arctan

12、315171357.1arctan1315171357Cxxxxx 第23页/共30页.sincos1. 92222 dxxbxaex 计算计算Solution. ,0, 0时时当当 ba dxxb22sin1原式原式 xdxb22csc1.cot12Cxb ,0, 0时时当当 ba dxxa22cos1原式原式 xdxa22sec1.tan12Cxa 第24页/共30页,0, 0时时当当 ba dxxbxa2222sincos1原式原式 dxxbax2222tansec xdxbatantan1222 )tan()tan(1122xbdxbab.tanarctan1Caxbab 第25页/共

13、30页)( .ln.10为常数为常数计算计算 xdxxexSolution. ,1时时当当 dxxxln原式原式 xxd lnln.)(ln212Cx ,1时时当当 xdxx ln 原式原式 )1(ln1 xxd xdxxxln1ln111 dxxxx1ln11 Cxxx 211)1(ln1 第26页/共30页)0, 0( .sincoscos.11 badxxbxaxIex计算计算Solution. dxxbxaxJsincossin记记 dxxbxaxbxabJaIsincossincos1Cx dxxbxaxaxbaJbIsincossincos2sincoslnCxbxa .sincosln122CxbxabaxbaI 第27页/共30页.)(,sin)(.12 dxxfxxxxfex求求的原函数为的原函数为设设Solution. ,)(sin的原函数的原函数是是xfxx,sincossin)(2xxxxxxxf ,sin)(1Cxxdxxf )()(xxdfdxxfx从而从而 dxxfxxf)()(.sinsincosCxxxxxx 第28页/