ch平面曲线的曲率PPT课件

1、4.3 平面曲线的曲率 曲率的概念 曲率的计算公式 曲率半径、曲率中心和曲率圆第1页/共15页一、曲率及其计算公式曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量1M3M)2 2M2S 1S MM 1S 2S NN )弧段弯曲程度越大转角越大转角相同弧段越短弯曲程度越大1、曲率的概念1 )第2页/共15页) S S) .M .yxo.sKMM 的平均曲率为的平均曲率为弧段弧段（设曲线C是光滑的，, sMM （. 切切线线转转角角为为MM定义定义sKs 0lim曲线C在点M处的曲率,lim0存在的条件下存在的条件下在在dsdss 第3页/共15页下面考虑如何计算曲率 K 解 由于 = 曲率 求半径为R 的

2、圆的平均曲率与曲率例设则ABR每一点都相等）并且与半径 R 呈倒数关系 即圆在任一点处的曲率都是相等的（即弯曲程度第4页/共15页2、曲率的计算公式注意:(1) 直线的曲率处处为零;(2) 圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且半径越小曲率越大.,)(二阶可导二阶可导设设xfy ,tany ,12dxyyd ,arctan y 有有.12dxyds 第5页/共15页,),(),(二阶可导二阶可导设设 tytx 则则二二阶阶可可导导设设, 第6页/共15页例例1 1?2上哪一点的曲率最大上哪一点的曲率最大抛物线抛物线cbxaxy 解解,2baxy ,2ay .)2(12232baxak 显然,2时时

3、当当abx .最最大大k,)44,2(2为抛物线的顶点为抛物线的顶点又又aacbab .最大最大抛物线在顶点处的曲率抛物线在顶点处的曲率第7页/共15页点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停).(1),(,的半径的半径为圆弧轨道为圆弧轨道到到率连续地由零过渡率连续地由零过渡使曲使曲如图如图缓冲段缓冲段弯道之间接入一段弯道之间接入一段稳，往往在直道和稳，往往在直道和驶平驶平容易发生事故，为了行容易发生事故，为了行的曲率突然改变的曲率突然改变道时，若接头处道时，若接头处铁轨由直道转入圆弧弯铁轨由直道转入圆弧弯RR例例2 2第8页/共15页.1)1(, 06103RARlRlOOAOAlOAx

4、xxRly的曲率近似为的曲率近似为时，在终端时，在终端很小很小并且当并且当为零为零的曲率的曲率在始端在始端的长度，验证缓冲段的长度，验证缓冲段为为，其中，其中缓冲段缓冲段作为作为，通常用三次抛物线通常用三次抛物线 xyo第9页/共15页xyo证证如图的负半轴表示直道，的负半轴表示直道，x.,是圆弧轨道是圆弧轨道是缓冲段是缓冲段 ABOA（在缓冲段上,212xRly .1xRly , 0, 0,0 yyx处处在在. 00 k故缓冲始点的曲率故缓冲始点的曲率实际要求,0 xl 第10页/共15页20210 xRlyxx 有有221lRl ,2Rl 010 xRlyxx lRl1 ,1R 的曲率为的

5、曲率为故在终端故在终端A0232)1(xxAyyk 2322)41(1RlR , 1Rl,422Rl略去二次项略去二次项xyo第11页/共15页二、曲率圆与曲率半径定义定义M.),(,.1,).0(),()(处的曲率圆处的曲率圆称此圆为曲线在点称此圆为曲线在点如图如图作圆作圆为半径为半径为圆心为圆心以以使使在凹的一侧取一点在凹的一侧取一点处的曲线的法线上处的曲线的法线上在点在点处的曲率为处的曲率为在点在点设曲线设曲线MDkDMDMkkyxMxfy ,曲率中心曲率中心 D.曲率半径曲率半径 xyo第12页/共15页1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数.注意注意: :2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点处的曲率越小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲率越大(曲线越弯曲).3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似).第13页/共15页曲线 y = f (x) 在原点处的曲率半径为由于 y =f (x) 在原点与 x 轴相切 f (0) = 0设曲