江苏专用2018版高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形4.7解三角形的综合应用教师用书理

1、第四章 三角函数、解三角形 4.7 解三角形的综合应用教师用书 理 苏教版1.仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图).2.方向角相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等.3.方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为(如图).【知识拓展】1.三角形的面积公式S (p)，Srp(R为三角形外接圆半径，r为三角形内切圆半径，p).2.坡度(又称坡比)：坡面的垂直高度与水平长度之比.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“×”)(1

2、)从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则，的关系为180°.(×)(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为0，.(×)(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系.()(4)方位角大小的范围是0，2)，方向角大小的范围一般是0，).()1.(教材改编)如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，ACB45°，CAB105°后，就可以计算出A，B两点的距离为_ m.答案50解析由正弦定理得，又B30°，AB50(m).2.轮船A和轮船B在中午1

3、2时同时离开海港C，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25 n mile/h，15 n mile/h，则下午2时两船之间的距离是_n mile.答案70解析设两船之间的距离为d，则d25023022×50×30×cos 120°4 900，d70，即两船相距70 n mile.3.(教材改编)海面上有A，B，C三个灯塔，AB10 n mile，从A望C和B成60°视角，从B望C和A成75°视角，则BC_ n mile.答案5解析如图，在ABC中，AB10，A60°，B75°，BC5.4.如

4、图所示，D，C，B三点在地面的同一直线上，DCa，从C，D两点测得A点的仰角分别为60°，30°，则A点离地面的高度AB_.答案a解析由已知得DAC30°，ADC为等腰三角形，ADa，又在RtADB中，ABADa.5.在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行，此时，风向是北偏东30°，风速是20 km/h；水的流向是正东，流速是20 km/h，若不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的方向为北偏东_，速度的大小为_ km/h.答案60°20解析如图，AOB60°，由余弦定理知OC220220280

5、0cos 120°1 200，故OC20，COY30°30°60°. 题型一求距离、高度问题例1(1)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高AD是60 m，则河流的宽度BC_ m.(2)如图，A，B是海平面上的两个点，相距800 m，在A点测得山顶C的仰角为45°，BAD120°，又在B点测得ABD45°，其中D是点C到水平面的射影，则山高CD_ m.答案(1)120(1)(2)800(1)解析(1)如图，在ACD中，CAD90°30°60

6、°，AD60 m，所以CDAD·tan 60°60(m).在ABD中，BAD90°75°15°，所以BDAD·tan 15°60(2)(m).所以BCCDBD6060(2)120(1) (m).(2)在ABD中，BDA180°45°120°15°.由，得AD800(1)(m).CD平面ABD，CAD45°，CDAD800(1) m.思维升华求距离、高度问题应注意(1)理解俯角、仰角的概念，它们都是视线与水平线的夹角；理解方向角的概念.(2)选定或确定要创建的三角形，

7、要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解.(3)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.(1)一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°，行驶4 h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔的距离为_ km.(2)如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B两点间的距离为60 m，则树的高度为_m.答案(1)30(2)3030解析(1)如图，由题意，BAC30

8、6;，ACB105°，B45°，AC60 km，由正弦定理，BC30 km.(2)在PAB中，PAB30°，APB15°，AB60，sin 15°sin(45°30°)sin 45°cos 30°cos 45°sin 30°××，由正弦定理得，PB30()，树的高度为PB·sin 45°30()×(3030)(m).题型二求角度问题例2甲船在A处，乙船在A处的南偏东45°方向，距A有9海里的B处，并以20海里每小时的速度沿南偏

9、西15°方向行驶，若甲船沿南偏东的方向，并以28海里每小时的速度行驶，恰能在C处追上乙船.问用多少小时追上乙船，并求sin 的值.(结果保留根号，无需求近似值)解设用t小时，甲船追上乙船，且在C处相遇，那么在ABC中，AC28t，BC20t，AB9，ABC180°15°45°120°，由余弦定理，得(28t)281(20t)22×9×20t×()，128t260t270，解得t或t(舍去)，所以AC21(海里)，BC15(海里)，根据正弦定理，得sinBAC，cosBAC .又ABC120°，BAC为锐角

10、，所以45°BAC，sin sin(45°BAC)sin 45°cosBACcos 45°sinBAC.思维升华解决测量角度问题的注意事项(1)首先应明确方位角或方向角的含义；(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步；(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用.(1)(2016·苏州模拟)如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船

11、朝北偏东的方向沿直线CB前往B处救援，则cos 的值为_.答案解析在ABC中，AB40，AC20，BAC120°，由余弦定理得BC2AB2AC22AB·AC·cos 120°2 800BC20.由正弦定理，得sinACB·sinBAC.由BAC120°，知ACB为锐角，则cosACB.由ACB30°，得cos cos(ACB30°)cosACBcos 30°sinACBsin 30°.题型三三角形与三角函数的综合问题例3(2016·扬州调研)在斜三角形ABC中，tan Atan Bta

12、n Atan B1.(1)求C的值；(2)若A15°，AB，求ABC的周长.解(1)方法一因为tan Atan Btan Atan B1，即tan Atan B1tan Atan B，因为在斜三角形ABC中，1tan Atan B0，所以tan(AB)1，即tan(180°C)1，即tan C1，因为0°<C<180°，所以C135°.方法二由tan Atan Btan Atan B1，得1，化简得sin Acos Bsin Bcos Asin Asin Bcos Acos B，即sin(AB)cos(AB)，所以sin Ccos

13、C，因为斜三角形ABC，所以C135°.(2)在ABC中，A15°，C135°，则B180°AC30°.由正弦定理得2，故BC2sin 15°2sin(45°30°)2(sin 45°cos 30°cos 45°sin 30°)，CA2sin 30°1.所以ABC的周长为ABBCCA1.思维升华三角形与三角函数的综合问题，要借助三角函数性质的整体代换思想，数形结合思想，还要结合三角形中角的范围，充分利用正弦定理、余弦定理解题.(2016·南京学情调研)在A

14、BC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acos Bbcos A.(1)求的值；(2)若sin A，求sin(C)的值.解(1)方法一由acos Bbcos A，结合正弦定理得sin Acos Bsin Bcos A，即sin(AB)0.因为A，B(0，)，所以AB(，)，所以AB0，即AB，所以ab，即1.方法二由acos Bbcos A，结合余弦定理得a·b·，即2a22b2，即1.(2) 因为sin A，由(1)知AB，因此A为锐角，所以cos A.所以sin Csin(2A)sin 2A2sin Acos A，cos Ccos(2A)cos 2A12sin2

15、A.所以sin(C)sin Ccos cos Csin ××.10.函数思想在解三角形中的应用典例(14分)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇.(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理

16、由.思想方法指导已知两边和其中一边的对角解三角形时，可以设出第三边，利用余弦定理列方程求解；对于三角形中的最值问题，可建立函数模型，转化为函数最值问题解决.规范解答解(1)设相遇时小艇航行的距离为S海里，1分则S .3分故当t时，Smin10，v30.6分即小艇以30海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小.7分(2)设小艇与轮船在B处相遇. 则v2t2400900t22·20·30t·cos(90°30°)，故v2900.10分0<v30，900900，即0，解得t.又t时，v30，故v30时，t取得最小值，且最小值等于.此时，在

17、OAB中，有OAOBAB20.13分故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时.14分1.(2017·苏北四市联考)一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是_海里.答案10解析如图所示，易知，在ABC中，AB20海里，CAB30°，ACB45°，根据正弦定理得，解得BC10(海里).2.在高出海平面200 m的小岛顶上A处，测

18、得位于正西和正东方向的两船的俯角分别是45°与30°，此时两船间的距离为_ m.答案200(1)解析过点A作AHBC于点H，由图易知BAH45°，CAH60°，AH200 m，则BHAH200 m，CHAH·tan 60°200 (m).故两船距离BCBHCH200(1) (m).3.江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距_m.答案10解析如图，OMAOtan 45°30 (m)

19、，ONAOtan 30°30×10 (m)，在MON中，由余弦定理得，MN 10 (m).4.(2016·南京模拟)如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为_.答案45°解析依题意可得AD20(m)，AC30(m)，又CD50(m)，所以在ACD中，由余弦定理得cosCAD，又0°<CAD<180°，所以CAD45°，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.5.如图所示，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平

20、面内的两个测点C与D，测得BCD15°，BDC30°，CD30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB_.答案15解析在BCD中，CBD180°15°30°135°.由正弦定理得，所以BC15.在RtABC中，ABBCtanACB15×15.6.某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10米(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上.若国歌长度约为5

21、0秒，升旗手应以_(米/秒)的速度匀速升旗.答案0.6解析在BCD中，BDC45°，CBD30°，CD10(米).由正弦定理，得BC20(米).在RtABC中，ABBCsin 60°20×30(米).所以升旗速度v0.6(米/秒).7.如图，CD是京九铁路线上的一条穿山隧道，开凿前，在CD所在水平面上的山体外取点A，B，并测得四边形ABCD中，ABC，BAD，ABBC400米，AD250米，则应开凿的隧道CD的长为_米.答案350解析在ABC中，ABBC400米，ABC，ACAB400米，BAC.CADBADBAC.在CAD中，由余弦定理，得CD2AC2

22、AD22AC·AD·cosCAD400225022·400·250·cos122 500.CD350米.8.如图，一艘船上午930在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午1000到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距8 n mile.此船的航速是_ n mile/h. 答案32解析设航速为v n mile/h，在ABS中，ABv，BS8，BSA45°，由正弦定理得，v32.9.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口

23、，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿DC走到C用了3分钟.若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为_米. 答案50解析如图，连结OC，在OCD中，OD100，CD150，CDO60°.由余弦定理得OC2100215022×100×150×cos 60°17 500，解得OC50.*10.在RtABC中，C90°，A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足abcx，则实数x的取值范围是_.答案(1，解析xsin Acos Asin.又A，sin sinsin ，即x(1，.11.要测量

24、电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的BCD120°，CD40 m，求电视塔的高度.解如图，设电视塔AB高为x m，则在RtABC中，由ACB45°，得BCx.在RtADB中，ADB30°，则BDx.在BDC中，由余弦定理得，BD2BC2CD22BC·CD·cos 120°，即(x)2x24022·x·40·cos 120°，解得x40，所以电视塔高为40 m.12.(2015·天津)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知ABC的面积为3，bc2，cos A.(1)求a和sin C的值；(2)求cos的值.解(1)在ABC中，由cos A，可得sin A.由SABCbcsin A3，得bc24，又由bc2，解得b6，c4.由a2b2c22bccos A，可得a8.由，得sin C.(2)coscos 2A·cos sin 2A·sin(2cos2A1)×2sin A·cos A.*13.在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处(1)海里