chenpc文件数理方法傅氏变换PPT课件

1、 第五章第五章 傅里叶变换傅里叶变换(Fourier Transform)(Fourier Transform) 5.1 5.1 傅里叶级数傅里叶级数(Fourier Series)(Fourier Series)一、傅里叶三角级数：一、傅里叶三角级数： lf xl l若周期为2 的函数在区间- , 上分段连续、单值、有界，且至多有有限个极值点，则： 01cossinkkkk xk xf xaabll 201=cos01lkklkkk xaf xdxkll其中， 1=sinlklk xbf xdxll第1页/共61页说明：说明：一、傅里叶三角级数：一、傅里叶三角级数：1 1、意义：复杂周期函数

2、可视为由简单周期函数叠加而成；、意义：复杂周期函数可视为由简单周期函数叠加而成；第2页/共61页一、傅里叶三角级数：一、傅里叶三角级数：x=-10:0.01:10;l=2;k=1:5;f=cos(k*pi*x/l)+sin(k*pi*x/l);subplot(221)plot(x,sum(f)title(5个谐振动叠加)k=1:10;f=cos(k*pi*x/l)+sin(k*pi*x/l);subplot(222)plot(x,sum(f)title(10个谐振动叠加)第3页/共61页k=1:20;f=cos(k*pi*x/l)+sin(k*pi*x/l);subplot(223)plot(

3、x,sum(f)title(20个谐振动叠加)k=1:400;f=cos(k*pi*x/l)+sin(k*pi*x/l);subplot(224)plot(x,sum(f)title(400个谐振动叠加)一、傅里叶三角级数：一、傅里叶三角级数：第4页/共61页一、傅里叶三角级数：一、傅里叶三角级数：函数集。构成正交、完备、封闭，、,sin,2sin,sin,cos,2cos,cos12lxklxlxlxklxlx 1 正交:20coscos1sinsincossin0lmnlmnlmnllllmnxmxdxlllmnxmxdxlllnxmxdxll1ker0mnmnKronecmn符号：第5页

4、/共61页一、傅里叶三角级数：一、傅里叶三角级数：coscoslln xm xdxll证明：证明：0+=coscosln mxnmxdxll=sin+sin-+-lln mn mn mn m20=00lnmlnmnmsinsinlln xm xdxll0-=coscosln mxnmxdxll02coscosln xm xdxll02sinsinln xm xdxll第6页/共61页一、傅里叶三角级数：一、傅里叶三角级数：=sin-sin+-+lln mn mn mn m1=0lnmnmcossin0lln xm xdxll奇函数 2 完备:不存在另外的非零函数，它与基函数集中的每一个函数在区

5、间 -l,l 上正交。 3 封闭: 22220112lkklkfxdxaabl12Parseval Theorem第7页/共61页一、傅里叶三角级数：一、傅里叶三角级数：合成周期波的平均功率等于各谐波的平均功率之和。实质：能量守恒。证明： 2llfxdxl12001 1cossincossinlkkkklkkk xk xkxkxaabaabdxlllll 122000 11cossincossinlkkkklkkkxkxk xk xaaabaablllll121 1coscoscossinsincoskkkkkkkkk xkxk xkxk xkxa aa bb allllllsinsinkkk

6、 xkxb bdxll第8页/共61页一、傅里叶三角级数：一、傅里叶三角级数：021 1coscoscossinllkkkkllkkk xkxk xkxaa adxa bdxllllll1122sincossinsinllkkkkllk xkxk xkxb adxb bdxllllll1122021 1kkkkkkkkkkaa ab b112202221kkkaab123 3、展开系数：、展开系数： 0111cossin22llkkllkk xk xf x dxaabdxllll01111cossin22llkkllkkk xk xaadxbdxllll0a第9页/共61页一、傅里叶三角级数：

7、一、傅里叶三角级数： 1cosllk xf xdxll0 1 111coscoscossincoslllkklllkkak xkxk xkxk xdxadxbdxllllllll0 11cossincoslkklkkxkxk xaabdxllll 11kkkkallka 1sinllk xf xdxll0 11cossinsinlkklkkxkxk xaabdxllll第10页/共61页0 1 111sincossinsinsinlllkklllkkak xkxk xkxk xdxadxbdxllllllll 11kkkkbllkb一、傅里叶三角级数：一、傅里叶三角级数： 1=cos1=sin

8、lklklklk xaf xdxllk xbf xdxll2011kkk 00kkaf xfxbf xfx 011cos 00sin00kkkkk xf xf xaaffllk xf xf xbff ll为偶函数时，为奇函数时，第11页/共61页一、傅里叶三角级数：一、傅里叶三角级数：例题：已知周期函数例题：已知周期函数f(t)f(t)的图形，试将的图形，试将f(t)f(t)展开为傅里叶级数。展开为傅里叶级数。220h2T2TTt ft解：解：2lT 0122cossinkkkk tk tf taabTT 2200212TThaf t dthdtTTT 220222422coscossinTT

9、kk thk thkaf tdtdtTTTTkT 2222sin0TTkk tbf tdtTT 1212sincoskhhkk tf tTkTT第12页/共61页第13页/共61页clear allclose allclcT=1;tau=0.2;H=1;t=-1.5:0.001:1.5;f1=(t=-tau/2 & t=(-tau/2-T) & t=(-tau/2+T) & t=-tau/2 & t=(-tau/2-T) & t=(-tau/2+T) & t=-T & t=-T & t=-T/2 & t=T/2);subp

10、lot(223)plot(t,f)xlabel(fontsize20t)ylabel(fontsize20f(t)title(fontname宋体fontsize20单个矩形脉冲)axis(-2*T 2*T 0 h+0.3)w=-3*pi/T:0.01:3*pi/T;F=h*sin(w*T/2)./(pi*w);subplot(224)plot(w/pi,abs(F)xlabel(fontsize20omega/pi)ylabel(fontsize20|F(omega)|)title(fontname宋体fontsize20单个矩形脉冲的幅频响应)二、傅里叶变换的基本性质：二、傅里叶变换的基本

11、性质：第38页/共61页4 4、平移定理、平移定理: : 0000i xixf xxeFf xFef xF证明证明: : 1 空域平移：二、傅里叶变换的基本性质：二、傅里叶变换的基本性质：0012i xf xxf xxedxF 0012y x xiy xfy edy 012i xi yefy edy 0i xeF 2 频域平移： 00001122ixixixi xef xef x edxf x edxF F第39页/共61页5 5、卷积定理、卷积定理: : 11121222*2fxFfxfxFFfxF证明证明: : 12ffxd卷积 1212*ftftfftdFF 12fftdF 12ifeF

12、de 12122ifedFe 122FF二、傅里叶变换的基本性质：二、傅里叶变换的基本性质：第40页/共61页二、傅里叶变换的基本性质：二、傅里叶变换的基本性质：例题： 10,000 xxH xf xeH xFourierxFourier阶跃函数求的变换及其积分表达式。解：傅里叶变换为 -12i xFf x edx012xi xeedx112ilim0 x i xxe傅里叶积分为 -i xf xFed第41页/共61页二、傅里叶变换的基本性质：二、傅里叶变换的基本性质：-112i xedi22-12i xied22-1cossin2ixixd2222-1cossin1sincoscos22xx

13、xxxdid22-1cossin2xxd2201cossinxxd第42页/共61页二、傅里叶变换的基本性质：二、傅里叶变换的基本性质： 10 ,2+xxeH xe1例题：已知求的傅里叶变换。i解： xxxeeH xeHx 112+xeH xi而112xeHxi22111112+2-xeii 例题：求常系数非齐次线性微分方程 yxy xf x 的解，其中f x 为已知函数。第43页/共61页二、傅里叶变换的基本性质：二、傅里叶变换的基本性质：解：对方程进行傅里叶变换 2iYYF 21FY 1211*21y xFf x 1*2xef x12ef xd第44页/共61页 5.3 5.3 函数函数一

14、、定义一、定义: : 0001xxxx dx000000mxxxmqxxxkttt处的质点处的点电荷q时刻的瞬时力k0mlllm 不变长度为m细杆点源，密度 =质量为 x用描述点源第45页/共61页二、性质二、性质1 1、抽样性、抽样性: : 00f xxxdxf x 00 xxf xx把在 处的值筛选了出来证明证明: : 000000=f xxxdxf xxxdx f xxxdx f x思考思考: : x12 12i xxed1 0ixe0 0ixe0 1 2第46页/共61页2 2、奇偶性、奇偶性: : =-=- -xxxxxx为偶函数为奇函数证明证明: : 100 xf xx dxff

15、xx dxfxx dxfxx dxf为偶函数 xx0001cos2x 0001sin2xi 122 122i 2sinx 12224 二、性质二、性质第47页/共61页 2 x为奇函数 xxx 等号两边对 求导后，有二、性质二、性质3 3、奇异性、奇异性 1000 xH xx H xx01 xdH xxdxH xd 微分积分与阶跃函数的联系与阶跃函数的联系 xx第48页/共61页二、性质二、性质证明证明: : -0f xx dxf -dH xf xdxf x dH xdx -|f x H xH x df x 0fdf x 0f 1 微分关系 dH xxdx第49页/共61页 2 积分关系 dH

16、 xxdx二、性质二、性质 xxdH xx dx 0 xH xx dxH 4 4、单根性质、单根性质: : 01,2,3,kxxk如果的实根全是单根，则： kkkxxxx 第50页/共61页二、性质二、性质证明证明: : kkxkxkf xxdxf xxdx kkyxxkxkdyf xyx kkxkxkkf xy dyx 00kkkkxkkkxkkkxkkkxkkkf xf xy dyxxxf xf xy dyxxxkkkf xx第51页/共61页二、性质二、性质 kkkkkkkkkkxxf xf xf xdxxxdxxxx kkkxxxx 222xaxaxaxaxaa如：三、三、 函数是一种

17、函数是一种广义函数广义函数: :某种通常函数系列的极限。某种通常函数系列的极限。第52页/共61页 02201lim1 sinlim1limlKxxrectllKxxxxx 如：三、三、 函数是一种广义函数函数是一种广义函数: :证明： 1xf xrectll1矩形脉冲： f xx01l2l2l 1202lxlf xlx 221llf x dx0l 00lim00lxf xx 20021limlim1llllf x dxdxl第53页/共61页 01limlxxrectll三、三、 函数是一种广义函数函数是一种广义函数: : 1 sinKxf xx2抽样脉冲： 0lim00Kxf xx f x

18、Kx0K2K3KK2K3K 1 sinlimlimKKKxf x dxdxx1sin xdxx1cos0ixexdxdxixx01limlimrRizizizlCCrReeedzdzdzizzz Im z Re z0 rrRRRCrC第54页/共61页三、三、 函数是一种广义函数函数是一种广义函数: :0010limlimiiireiReiiiiorReed red ReireRe0010limlimiiireiReorReideidi0cossin010limlimiireiRRorReideidisin100lim0RRiei 1 1 sinlimKKxxx第55页/共61页三、三、 函数是一种广义函数函数是一种广义函数: :第56页/共61页三、三、 函数是一种广义函数函数是一种广义函数: :绘制以上图形的源程序为：x=-10:0.01:10;K=10;for m=1:4 f=sin(K*(x+eps)./(x+eps)/pi; subplot(2,2,m) plot(x,f) xlabel(x) ylabel(sin(Kx)/pi/x) title(K=,num2str(K) K=K*10;end第57页/共61页 221f xx 3三、三、 函数是一种广义函数函数是一种广义函数: : 000 xf xx0lim 221f