计算机控制系统 第2章(第3次课 最少拍)

1、p需求与问题 经历最少的采样周期（最短的时间），使输出达到参考值。2.3.2 最少拍(dead-beat)控制系统设计 p解决的基本思路 使E(z)有限项（以z-1多次幂的多项式为有限项），且项数越少越好。 D(z)满足物理可实现性 闭环系统稳定性2.3.2 最少拍控制系统设计 最少拍（有限拍）控制是一种时间最优控制方式。设计目标：设计一个数字控制器D(z)，使系统在典型输入信号r(t)作用下，经过最少的采样周期，消除输出和输入之间的偏差，达到平衡。通常把一个采样周期称为一拍。设计准则：1）单位阶跃输入11()(), ( )1r kTu kTR zz 2）单位速度输入3）单位加速度输入典型输入

2、信号的Z变换具有如下形式：11 2(), ( )(1)Tzr kTkT R zz11()( )(1)mA zR zz(1,2,3)m 控制系统的调节时间就是误差e(kT)达到恒定值或趋于零的时间，根据误差的Z变换定义：最少拍控制系统在典型信号输入时， ， e(kT)等于零或为恒定值时，系统调整结束。因此，设计准则就是求出使k为最小的正整数N。120( )()(0)( )(2 )()kkkE ze kT zee T zeT ze kT zkN 由于 ，误差E(z)与误差传递函数 和输入信号R(z)有关，因此，最少拍控制的设计是根据不同的R(z)选择 ，使 只有有限项，且项数(N)越少越好。因为如

3、果选 能够消去E(z)分母的因子 则E(z)为 的有限多项式，因此， 可选为( )( ) ( )eE zG z R z( )eG z( )eG z( )( )eR zG z11()( )( )( )( )(1)eemA zE zG zR zG zz( )eG z1(1)z1z( )eG z1( )(1)( )neG zzF z 式中， F(z)为 的有限多项式，当n=m时，且F(z)=1时，可使E(z)的项数最少，因而调节时间 最短，得到的数字控制器阶数较少，结构也简单。2.典型输入时最少拍数字调节器D(z)根据上述最少拍控制设计准则可知，对于不同的输入信号，应当选择不同的误差传递函数，求得最

4、少拍数字控制器D(z)。1zst( )eG z11()( )( )( )( )(1)eemA zE zG zR zG zz1( )( )1)neG zzF z 1）单位阶跃输入可选择 ，则系统的闭环Z传递函数为 因此：系统的输出为：由Z变换定义可以得到输出序列：1( )1eG zz ( )1( )ceG zG z 111( )( )( )( )(1)( )eeG zzD zG z HG zzHG z11211( )( ) ( )1cY zG z R zzzzz(0)0, ( )(2 )(3 )1yy TyTy T1( )( )11( )( )eeE zG zR zG zz 输出序列如图2-14

5、(a)所示。如图可见，单位阶跃输入时，最少拍控制系统的调节时间为一个采样周期，即经过一拍即可消除输入和输出之间的偏差。 2）单位速度输入选择则 输出序列如图2-14(b)所示。系统的调节时间为 (0)0, ( )0, (2 )2 , (3 )3 ,(),yy TyTT y TTy kTkT2stT1 2( )(1)eG zz12( )1( )2ceG zG zzz 121 22( )(1)( )zzD zzHG z112231 2( )(2)23(1)kTzY zzzTzTzkTzz11 2(1)( )( )( )( )eeE zG zR zGTzzz长除法，或利用Z反变换的线性性质，反推回Y

6、(z) 3）单位加速度输入选择系统的输出序列图2-14(C)为单位加速度时输出响应。可见，经过3个采样周期，系统输出跟踪输入。1 3123( )(1) ,( )1( )33eceG zzG zG zzzz 1231 333( )(1)( )zzzD zzHG z22239()(0)0, ( )0, (2 ), (3 ), (),222kTyy TyTTy TTy kT2111 3(1)2( )( )( )1)(eeTE zG zR zGzzzz例2-12 教材p.23已知被控对象的传递函数，若采样周期T=0.5s，试设计在单位速度输入时的数字控制器D(z)。解：采用零阶保持器，系统的广义对象的

7、脉冲传函为：2( )(1 0.5 )G sss222111 2121111112( )(1 0.5 )2(1)(1 0.5 )211211()22211(1)(1)110.368(1 0.718)(1)(1 0.368)TsTsTsTeHG zsssessessssssTzzzzezzzzzZ ZZ ZZZZZ 系统的输入为r(t)=t，误差传函选为则系统的输出序列为1 2( )(1)eG zz11111( )5.435(1 0.5)(1 0.368)( )( )( )(1)(1 0.718)eeG zzzD zG z HG zzz12( )1( )2ceG zG zzz 1121 22345

8、( )( )( )(2)(1)2345cTzY zG zR zzzzTzTzTzTz 上述中各项系数即为y(kT)在各个采样时刻的数值。即 输出响应曲线如图 2-15所示。 (0)0( )0(2 )2(3 )3(4 )4yy TyTTy TTyTT 例2-13 教材p.24在上例中求得D(z)的基础上，若输入信号改为单位阶跃和单位加速度时，求系统的输出序列并画出响应曲线。解（1）单位阶跃输入各采样时刻输出序列为：系统的输出响应曲线如图2-16(a)所示。12112341( )( ) ( )(2)12cY zG z R zzzzzzzz(0)0, ( )2, (2 )1, (3 )1,yy Ty

9、Ty T （2）单位加速度输入各个采样时刻的输出序列为：而输入序列系统的输入和输出响应曲线如图2-16(b)所示。222(0)0, ( )0, (2 ), (3 )3.5, (4 )7,yy TyTTy TTyTT2222(0)0, ( )0.5, (2 )2, (3 )4.5, (4 )8,yy TTy TTy TTy TT21112222324251 3( )( )( )(1)(2)3.5711.52(1)cY zG z R zT zzzzT zT zT zT zz 最少拍控制器中的最少拍是针对某一典型输入设计的，对于其它典型输入则不一定为最少拍，甚至引起大的超调和静差。 2.3.3 和

10、的选择按上述最少拍设计原则选择 和 时，没有考虑HG(z)对D(z)的影响，也没有考虑D(z)的可实现性和稳定性等因素。下面根据系统必须满足的约束条件，考虑 和 的选择原则。被控对象的HG(z)一般可写为：( )cG z( )cG z( )eG z( )eG z1111(1)( )(1)lriiniizz zHG zp z( )cG z( )eG z 则D(z)可表示为：式中， 为HG(z)的零点， 为 HG(z)的极点， 为 D(z)的超前环节。1111(1)( )( )(1)nricileiizp zG zG zz zizip(0)rzr ( )( )=( )( )ceG zD zG z

11、HG z 和 的选择原则1）保证调节时间最短： 包含 2）保证D(z)的可实现性： 包含有 项3）保证D(z)的稳定性： 包含 中|zi|1的零点项， 包含不稳定极点项 。4）保证 和 同阶( )cG z( )eG zrz1(1)iz z1(1)mz( )cG z( )cG z( )eG z( )cG z( )eG z( )eG z)1 (1zpi（教材p.25）-1111( )( )(1)( )(1)clriieniiG zD zzz zG zp z例2-14设最小拍控制系统如图2-17所示，设计单位速度输入时的最少拍数字控制器D(z)，采样周期T=1s。 解（1）求广义对象Z传递函数（2）

12、选择 ，因为HG(z)分子有 的因子，又有单位圆上的零点z=-1，故取：（3）选择 ，按单位速度输入， 中应含有 因子。所以：21111121 31 211(1)(1)( )(1)2(1)2(1)TseT zzzzHG zzsszzZ Z111( )(1)( )cG zzzF z1 2(1)z( )cG z1z( )eG z( )eG z （4） 和 阶次相同，设：比较同幂系统，可得到求出：( )eG z( )cG z1101( )()F zaa z，12( )(1)F zbz( )1( )ceG zG z 1111 2101(1)()1 (1) (1)zzaa zzbz 011.25,0.7

13、5,0.75aab 111( )(1)(1.250.75)cG zzzz1 21( )(1) (1 0.75)eG zzz 数字控制器D(z)为：数字控制器D(z)的输出表达式为：系统误差为：可见当 后，系统稳态误差1 21111 21111( )2 (1) (1)(1.250.75)( )( )( )(1) (1 0.75)(1)1 0.62.51 0.75ceG zzzzzzD zG z HG zzzzzz11111123450.543(1 0.5)(1 0.368)( )( ) ( )(1)(1 0.718)0.540.3190.3900.1190.246zzzU zD z E zzzz

14、zzzz111 2121 2( )(1 0.75)(1)0.75(1)TzE zzzTzTzz2k ()0e kT 最少拍控制系统只能保证在采样点上的输出跟踪输入，在采样点之间呈现纹波。原因：控制控制量不量不是恒定的是恒定的，而是不停波动的，而是不停波动的, ,使得使得系统输出系统输出产生纹产生纹波。波。 最少拍无纹波系统的设计 数字控制器和系统的输出波形可用扩展Z变换求解采样点之间的输出 2.3.4 最少拍无波纹控制系统的设计 数字控制器D(Z)的输出为若 是 的有限多项式，则经过有限个采样周期后， 可到达某个恒定值，系统的输出没有波纹。( )( ) ( )( )( ) ( )eU zD z

15、 E zD z G z R z( )( ) ( )eD z G z R z1z()u kT1111(1)( )( )( )( )( )(1)nirciecniip zG zD z G zG zzHG zz z(29) 当Gc(z)的零点包含HG(z)的全部零点，D(z)Ge(z)可能成为z-1的有限多项式。（有纹波系统只包括不稳定|zi|1的零点项）最少拍无纹波系统的设计 最少拍无波纹系统设计中， 和 设计原则： （1） 的确定 （与最少拍有纹波相同）选择 ，这样便可以满足快速性，又可抵消不稳定极点 的影响。Ge包含不稳定极点。( )cG z( )eG z( )eG z11()( )(1)mA

16、 zR zz，1111(1)( )(1)lriiniizz zHG zp z11( )(1)(1)( )meieG zp zzF zip1111(1)( )( )( )( )( )(1)nirciecniip zG zD z G zG zzHG zz z-1111( )( )(1)( )(1)clriieniiG zD zzz zG zp z （2） 的确定这样可确保D(z)的可实现性和稳定且无波纹的要求。Gc(z)包含HG(z)的全部零点。（3） 和 的确定根据 确定 和 ( )cG z( )eF z( )cF z( )cF z( )eF z( )1( )ceG zG z -1ic1(1)(

17、 )lrizz zF z1111(1)( )( )( )( )R(z)z)( ) ( )( )(1)nirciecniipzG zU zD z G zRG z R zzHG zz z（例2-15设广义被控对象Z传递函数为试设计单位阶跃输入时的最少拍无波纹数字控制器D(z)。解（1）选择误差传递函数 和闭环传递函数 ：输入为单位阶跃信号， HG(z)无不稳定的极点，取 ： HG(z) 有 的因子和零点 z=-0.718取：11110.368(1 0.718)( )(1)(1 0.368)zzHG zzz( )eG z( )cG z( )eG z11( )(1)(1)eG zzbz11( )(10

18、.718)cG zazz( )cG z1z 则由 即：可以解出：（2）求数字控制器D(z)( )1( )ceG zG z 1111(1 0.718)1 (1)(1)azzzbz 0.582,0.418ab1111111111( )0.582(1 0.718)(1)(1 0.368)( )( )( )(1)(1 0.418)0.368(1 0.718)1.582(1 0.368)(1 0.418)ceG zzzzzD zG z HG zzzzzzz （3）系统分析误差：控制量：输出量：11111( )( ) ( )(1)(1 0.418)1 0.4181eE zG z R zzzzz 11111.582(1 0.368)(1 0.418)( )( )( ) ( )(1 0.418)1.5820.582ezzU zD z G z R zzz 误差、控制和输出量的波形如图2-18所示。由图可见，当 时，