chapter函数及其图形PPT学习教案

1、会计学1chapter函数及其图形函数及其图形教学要求：教学要求：1. 理解映射和函数的概念，掌握函数的表示法理解映射和函数的概念，掌握函数的表示法;2. 了解函数的有界性、单调性、奇偶性和周期性了解函数的有界性、单调性、奇偶性和周期性;3. 理解复合函数的概念，了解反函数的概念理解复合函数的概念，了解反函数的概念;4. 掌握基本初等函数的性质及其图形掌握基本初等函数的性质及其图形; 5. 会建立简单应用问题中的函数关系式会建立简单应用问题中的函数关系式. 重点：重点：掌握函数定义，搞清楚函数关系与数学解析式的掌握函数定义，搞清楚函数关系与数学解析式的 关系，分段函数是否是初等函数关系，分段函

2、数是否是初等函数.第1页/共47页1.3 映射与函数映射与函数一、映射的概念一、映射的概念二、函数的概念及其运算二、函数的概念及其运算三、函数的几种特性三、函数的几种特性四、函数应用举例四、函数应用举例第2页/共47页某校学生的集合某校学生的集合 学号的集合学号的集合 按一定规则查号某班学生的集合某班学生的集合 某教室座位某教室座位 的集合的集合按一定规则入座引例引例1. 一、映射的概念一、映射的概念第3页/共47页xxysinRxRy引例引例3.Oxy1QP1),(22yxyxC11), 0(yyY(点集)(点集)CP点向 y 轴投影YQ投影点xysinxy Oxy1x2xxxysin第4页

3、/共47页设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应规则 f , 使得,Xx有唯一确定的Yy与之对应, 则称 f 为从 X 到 Y 的映射映射, 记作.:YXf元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的像像, 记作).(xfy 元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的原像原像 . 集合 X 称为映射 f 的定义域定义域 ; Y 的子集)(XfRfXxxf)(称为 f 的 值域值域 . 注意注意: 1) 映射的三要素 定义域 , 对应规则, 值域. 2) 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一. XYfxy第5页/共47页对映射YXf:若YXf)(, 则称 f 为满射满射;

4、 XYf)(Xf若,2121xxXxx有 )()(21xfxf则称 f 为单射单射;若 f 既是满射又是单射, 则称 f 为双射双射 或一一映射一一映射. XY)(Xff引例引例2, 3引例引例2引例引例2第6页/共47页三角形)(三角形集合海伦公式bcaS面积),0(ex2. 如图所示,SxyOxyex),0 x对应阴影部分的面积),0S则在数集),0自身之间定义了一种映射(满射满射) ex3. 如图所示,xyO),(yxrcosrx sinry 2),(Ryxf)2,0),0),(r:f则有(满射满射) (满射满射) 第7页/共47页 .函数的概念及其运算二1. 定义定义设设x与与y是两个

5、变量，分别在实数集合是两个变量，分别在实数集合A与与B中取值中取值. 对每一个值对每一个值x A，按照某一法则，按照某一法则，y存在着唯一确定存在着唯一确定的值的值y B与之对应，记为与之对应，记为f(x)(xf(x),则称则称y是是x的函的函数，或称这种对应关系数，或称这种对应关系 f 为函数，记作为函数，记作)(|: : )(xfyxfBAfxfy 或或或或因变量因变量自变量自变量 数集数集A叫做这个函数的叫做这个函数的定义域定义域注意注意(1) 定义域和对应法则是函数的两要素定义域和对应法则是函数的两要素. 要判断两函数是要判断两函数是 否为同一函数也得从两要素入手否为同一函数也得从两要

6、素入手.第8页/共47页 .),( )2(称为函数的值域称为函数的值域函数值全体组成的数集函数值全体组成的数集AxxfyyW (3)单值函数与多值函数单值函数与多值函数 如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数；否则叫做值总是只有一个，这种函数叫做单值函数；否则叫做多值函数多值函数例如，例如，222ayx (4)只有一个自变量的函数，称为一元函数只有一个自变量的函数，称为一元函数. 2. 定义域定义域 (1)由实际问题决定由实际问题决定. 第9页/共47页(2)自然定义域自然定义域. 当函数由公式（表达式）

7、给出时，使公当函数由公式（表达式）给出时，使公 式有意义的自变量的取值范围式有意义的自变量的取值范围. 如：如：分式的分母不为分式的分母不为0； ;0)(, )(2 xfnxfn要求要求为正整数为正整数 ;0)(, 10),(log xfaaxfa且且要求要求 ; 1)(),(arccos),(arcsin xfxfxf要求要求 . 0)(,)()( xfxfyxg要求要求(3)定义域的表示法：定义域的表示法：不等式法，集合法，区间法，叙述法与图示法不等式法，集合法，区间法，叙述法与图示法. 第10页/共47页区间区间: :是指介于某两个实数之间的全体实数是指介于某两个实数之间的全体实数.这两

8、个实数叫做区间的端点这两个实数叫做区间的端点.,baRba 且且bxax 称为开区间称为开区间,),(ba记作记作bxax 称为闭区间称为闭区间,ba记作记作oxaboxab第11页/共47页bxax bxax 称为半开区间称为半开区间,称为半开区间称为半开区间,),ba记作记作,(ba记作记作),xaxa ),(bxxb oxaoxb有限区间有限区间无限区间无限区间区间长度的定义区间长度的定义: :两端点间的距离两端点间的距离(线段的长度线段的长度)称为区间的长度称为区间的长度.第12页/共47页邻域邻域: :. 0, 且且是两个实数是两个实数与与设设a).,( aU记作记作,叫做这邻域的中

9、心叫做这邻域的中心点点a.叫叫做做这这邻邻域域的的半半径径 . ),( axaxaUxa a a ,邻域邻域的去心的的去心的点点 a. 0)(),( axxaUaU,邻域邻域的的称为点称为点数集数集 aaxx 第13页/共47页ex1. 已知函数 1,110,2)(xxxxxfy解解:)(21f及. )(1tf写出 f (x) 的定义域及值域, 并求f (x) 的定义域 ),0D值域 ),0)(Df21212)(f2)(1tf10 t,11t1t,2txyOxy2xy11第14页/共47页ex2. 求函数的定义域求函数的定义域1142 xxySolution. 01042xx要求要求21 x所

10、以函数的定义域为所以函数的定义域为(1,2. .11111)(:. 3xxfex求定义域Solution. 0 x011 x01111 x .21, 1, 0 x第15页/共47页ex4. 函数函数 f 与与 g 是否是同一函数？是否是同一函数？3334221)(,)()3()(,)()2(lg2)(,lg)()1( xxxgxxxfxxgxxfxxgxxf3. 函数的图形函数的图形.)(),(),(的图形的图形函数函数称为称为点集点集xfyDxxfyyxC oxy),(yxxyWD 第16页/共47页4. 分段函数分段函数对于自变量的不同值（或在不同区间上），函数的表对于自变量的不同值（或在

11、不同区间上），函数的表达式不同，这种函数称为分段函数达式不同，这种函数称为分段函数.(1) 绝对值函数绝对值函数 0 ,0 ,xxxxxyoxy(2) 符号函数符号函数 0, 10, 00, 1sgnxxxxy11xyo第17页/共47页(3) 取整函数取整函数 y=xx表示不超过表示不超过x的最大整数的最大整数 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo(4) (Dirichlet)狄利克雷函数狄利克雷函数 是无理数时是无理数时当当是有理数时是有理数时当当xxxDy01)(有理数点有理数点无理数点无理数点1xyo第18页/共47页(5) 取最值函数取最

12、值函数)(),(maxxgxfy )(),(minxgxfy yxo)(xf)(xgyxo)(xf)(xg(6) 整标函数整标函数)0( ,1 nny以自然数为自变量的函数以自然数为自变量的函数:图形为一些离散的点构成图形为一些离散的点构成. 第19页/共47页4. 反函数与复合函数反函数与复合函数(1) 反函数的概念及性质若函数)(:DfDf为单射, 则存在一新映射习惯上,Dxxfy, )(的反函数记成)(,)(1Dfxxfy称此映射1f为 f 的反函数 ., 其反函数(减)(减) .1) yf (x) 单调递增,)(1存在xfy且也单调递增 性质: ,)(:1DDff使,)(, )(1xy

13、fDfy其中,)(yxf第20页/共47页2) 函数)(xfy 与其反函数)(1xfy的图形关于直线xy 对称 .例如 ,),(,exyx对数函数),0(,lnxxy互为反函数 ,它们都单调递增, 其图形关于直线xy 对称 .指数函数xyO)(xfy )(1xfyxy ),(abQ),(baP第21页/共47页反函数的求法：反函数的求法：(1)一般先从方程一般先从方程y=f(x)中解出中解出x, 然后再将所得结果中的然后再将所得结果中的 x与与y互换位置即可互换位置即可;(2)对分段函数对分段函数,只要分段求出反函数便得只要分段求出反函数便得. 第22页/共47页 例 设函数 y=2x3，求它

14、的反函数 .得解出 xxy32解)3(21 yx).3(2132,xyxy的反函数为得函数再交换变量记号第23页/共47页gR(2) 复合函数 fDuufy),(,),(DxxgufgDR 且则Dxxgfy, )(设有函数链称为由, 确定的复合函数 , u 称为中间变量. 注意: 构成复合函数的条件 fgDR 不可少. 例如, 函数链 :,arcsinuy ,cosxu ,cosarcsinxy R Rx但可定义复合函数21xu时, 虽不能在自然域 R下构成复合函数,可定义复合函数 1, 1, )1arcsin(2xxy当改DgfDfyux第24页/共47页两个以上函数也可构成复合函数. 例如

15、, 0,uuy可定义复合函数:,2cotxy ,) 12( ,2(kkxZk02cot,22xkxk时),2, 1, 0(,cotkkvvu),(,2xxv约定约定: 为简单计, 书写复合函数时不一定写出其定义域, 默认对应的函数链顺次满足构成复合函数的条件.第25页/共47页复合函数的求法：复合函数的求法：(1)对于非分段函数常用直接代入的方法；对于非分段函数常用直接代入的方法；(2)对于分段函数常用讨论的方法对于分段函数常用讨论的方法. 第26页/共47页所以 可以复合, 复合函数为的定义域为 值域为所以使 可以复合, 应满足 其复合函数为例 求下列函数的复合函数1)2(xuuy，xuuy

16、lnsin) 1 (，解 (1)由于 的定义域为),(uysin), 0 xuln),(xuuyln,sinxylnsin (2)由于 的定义域为),(uy 1 xu的定义域为 值域为),(1xuuy,1xy), 01x)(1x第27页/共47页例 下列函数是由哪几个函数复合而成.xylnarccos) 1 (xeysin)2() 1(lnsin)3(3xy解 所讨论的复合函数由下列函数复合而成xuuy,arccos) 1 (xvvueyu,sin,)2(1,ln,sin)3(3xttvvuuy复合函数的复合与分解关系)(),(xuufy)(xfy函数复函数复合合函数分函数分解解函数由里到函数

17、由里到外外函数由外到函数由外到里里第28页/共47页).(),(11)(xfffxffxxf，求设例xxffxfff111111)()()()(xfxff11 解, 0111xxx1111.,01xx 第29页/共47页 .函数的几种特性三1. 函数的单调性函数的单调性 ,),()(上有定义上有定义开或闭开或闭有限或无限有限或无限在区间在区间设函数设函数Ixfy 有有若若对任意对任意, , 2121xxIxx )()( )()(2121xfxfxfxf 或或则称则称 f(x)在在I上严格单调上升或严格单调增（严格单调上严格单调上升或严格单调增（严格单调降下或严格单调减）降下或严格单调减）.有有

18、若若对任意对任意, , 2121xxIxx )()( )()(2121xfxfxfxf 或或则称则称 f(x)在在I上单调上升或单调增上单调上升或单调增(单调降下或单调减单调降下或单调减).第30页/共47页以上函数统称为单调函数，以上函数统称为单调函数，I称为单调区间称为单调区间. 由有限个单调函数组成的函数，称为分段单调函数由有限个单调函数组成的函数，称为分段单调函数. 如如 xy 2. 函数的有界性函数的有界性,)(, 0,成立成立有有若若MxfXxMDX .)(否则称无界否则称无界上有界上有界在在则称函数则称函数Xxf,)(, 0,11成立成立有有即若即若MxfXxMDX .)(上上无

19、无界界在在则则称称函函数数Xxf通常函数的有界性与区间有关，通常函数的有界性与区间有关，,1 2xy 如如.)1 ,101,)1 , 0(上有界上有界而在而在内无界内无界在在第31页/共47页3. 函数的奇偶性函数的奇偶性偶函数图形关于偶函数图形关于y轴对称轴对称有有对于对于关于原点对称关于原点对称设设,DxD )()(xfxf yx)( xf )(xfy ox-x)(xf;)(为偶函数为偶函数称称xf有有对于对于关于原点对称关于原点对称设设,DxD )()(xfxf .)(为奇函数为奇函数称称xf奇函数图形关于原点对称奇函数图形关于原点对称)( xf yx)(xfox-x)(xfy 第32页

20、/共47页注意：注意：(1) 若若f(x)的定义域关于原点不对称，则的定义域关于原点不对称，则f(x)一定不是奇一定不是奇 函数或偶函数函数或偶函数.则则上的任意函数上的任意函数对于对于),()0)(,()2(xfaaa ,)()()(为偶函数为偶函数xfxfxg ,)()()(为奇函数为奇函数xfxfxh ),()(21)(xhxgxf 从而从而即即f(x)可表示为一个偶函数与一个奇函数之和可表示为一个偶函数与一个奇函数之和. (3) 奇偶函数的性质奇偶函数的性质 偶函数的和与差仍是偶函数，偶函数的和与差仍是偶函数，奇函数的和与差仍是奇函数；奇函数的和与差仍是奇函数；第33页/共47页两个奇

21、（或偶）函数的商是偶函数；两个奇（或偶）函数的商是偶函数；奇函数与偶函数的积（或商）是奇函数；奇函数与偶函数的积（或商）是奇函数；有限个偶函数的积仍是偶函数；有限个偶函数的积仍是偶函数；偶数个奇函数的积是偶函数偶数个奇函数的积是偶函数. 4. 函数的周期性函数的周期性.,)(),()( , 0,)(为周期为周期为周期函数为周期函数则称则称都有都有若若上有定义上有定义在在设函数设函数TxfxfTxfDxTDxfy 任一周期函数都有无穷多个周期任一周期函数都有无穷多个周期. 若在无穷多个周期若在无穷多个周期中，存在一个最小的正数，则这个正数称为最小周中，存在一个最小的正数，则这个正数称为最小周期，

22、简称周期期，简称周期.第34页/共47页四、函数应用举例课本例题1.13-1.15第35页/共47页1.4 初等函数及其图形初等函数及其图形一、基本初等函数一、基本初等函数二、初等函数二、初等函数三、双曲函数与反双曲函数三、双曲函数与反双曲函数四、本章复习题四、本章复习题第36页/共47页1.基本初等函数基本初等函数(1)常数函数常数函数.),( ,为常数为常数cxcy (2)幂函数幂函数)( 是常数是常数 xyoxy)1 , 1(112xy xy xy1 xy 第37页/共47页(3)指数函数指数函数)1, 0( aaayxxey (4)对数函对数函数数)1, 0(log aaxyaxyln

23、 (5)三角函数三角函数正弦函数正弦函数xysin xycos 余弦函数余弦函数正切函数正切函数xytan xycot 余切函数余切函数正割函数正割函数xysec xycsc 余割函数余割函数(6)反三角函数反三角函数xyarcsin 反反正正弦弦函函数数xyarccos 反余弦函数反余弦函数第38页/共47页xyarctan 反正切函数反正切函数xycot 反余切函数反余切函数arc 幂函数幂函数,指数函数指数函数,对数函数对数函数,三角函数和反三角函数和反三角函数统称为三角函数统称为基本初等函数基本初等函数.2.初等函数初等函数由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次由常数和基本初等

24、函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示一个式子表示的函数的函数,称为称为初等函数初等函数.并非所有的函数都是初等函数并非所有的函数都是初等函数,分段函数一般不是初等函数分段函数一般不是初等函数. 但也有例外但也有例外!3.双曲函数与反双曲函数双曲函数与反双曲函数-都是初等函数都是初等函数.第39页/共47页 . 4 本章复习题 . 1求下列函数的定义域ex 49)3ln(1)(1)(2xxxf Solution. 13030492xxx由由 2377xxx得得)3 , 2()2 , 7 故所求定义域为故所求定义域为 )2(sin,)(10

25、)2(的定义域的定义域求求有定义有定义时函数时函数设设xfufu Solution., 12sin0: x依题意要求依题意要求由此可求得由此可求得x的取值范围，即为定义域的取值范围，即为定义域.第40页/共47页 21 , 210 ,0 ,11)()3(xxxxxxfSolution.易知该函数的定义域为：易知该函数的定义域为： 2 , 0()0 ,().1(, 35) 1(. 22242xfxxxfex求设Solution.13312)1(2242 xxxxf1)1(3)1(222 xx13)(2 xxxf1)1(3)1()1(2222 xxxf故故. 324 xx第41页/共47页).2(cos,cos1)2(sin. 3xfxxfex求设Solution.因为因为2cos2cos1)2(sin2xxxf )2sin1(22x 所