chapter隐函数微分法PPT学习教案

1、会计学1chapter隐函数微分法隐函数微分法教学要求：1. 会求隐函数(包括由方程组确定的隐函数)的偏导数. 第1页/共29页 .问题引入问题引入一一 1 .隐函数存在定理隐函数存在定理二二 2 .隐函数存在定理隐函数存在定理三三 .方程组确定的隐函数方程组确定的隐函数四四第2页/共29页 .问题引入问题引入一一 ., 0),(则称方程确定了隐函数则称方程确定了隐函数存在存在有满足方程的有满足方程的给定给定yxyxF .,),(, 0),(则称方程确定了隐函数则称方程确定了隐函数存在存在有满足方程的有满足方程的给定给定zyxzyxF 并不是所有的方程都确定了隐函数., 0122 yx. 03

2、222 zyx如何求隐函数的导数与偏导数? 第3页/共29页 1 .隐函数存在定理隐函数存在定理二二;0),()3( ;0),()2( ;),(),()1( 00000 yxFyxFPUyxFy内有连续偏导数内有连续偏导数在在若若 .)2( );(),( ),(0),()1( 000yxFFdxdyxfyxfyPUyxF 有连续导数有连续导数且且连续函数连续函数内唯一确定了单值内唯一确定了单值在在则则 注意: (1) 证明从略, 求导公式推导如下:, 0)(, xfxF, 0 dxdyyFxF第4页/共29页, 0 dxdyFFyx即即, 0),(,)3(10 yFPU使得使得可知可知由由 .

3、yxFFdxdy .),(0),(, 0 .,0),( )2(xyxFFdydxyxxyxFFyxyxF 且且确定了确定了则则若若平等平等中中在在.,),( )3(则可求二阶导数则可求二阶导数有二阶连续偏导有二阶连续偏导若若yxF第5页/共29页 yxFFdxddxyd22yxFF xyxdxdyFFyFFxyxyx 2yyxxyxxFFFFF yxyyyxyxyFFFFFFF2.2322yxyyxyyxyxxFFFFFFFF 第6页/共29页., 0sin. 1222dxyddxdyxyeyexx求求设设 Method1.2sin),(xyeyyxFx 令令 ,2yeFxx xyyeydxd

4、yx2cos2 xyyeydxddxydx2cos222 22)2(cos)22sin)()2)(cos2(xyydxdyxydxdyyeyxyyedxdyyxx ,2cosxyyFy 第7页/共29页Method2.方程两边再对x求导得将一阶导数代入即可得二阶导数.0)2(cos2 yxyyeyyxx求导得求导得方程两边对方程两边对xeyyyy cos)(sin202)(2222 yxyyxyyyy第8页/共29页 2 .隐函数存在定理隐函数存在定理三三;0),()3( ;0),()2( ;),(),()1( 0000000 zyxFzyxFPUzyxFz内有连续偏导数内有连续偏导数在在若若

5、 .,)2( );,(),( ),(0),()1( 0000zyzxFFyzFFxzyxfzyxfzPUzyxF 有连续偏导数有连续偏导数且且连续函数连续函数内唯一确定了单值内唯一确定了单值在在则则 注意: (1) 证明从略, 求导公式推导如下:第9页/共29页, 0),(, yxfyxF, 0 xzFFzx, 0 yzFFzy, 0 zF又又. ,zyzxFFyzFFxz 则则若若, 0 2)( xF. ,xzxyFFzxFFyx (3) 也可求二阶偏导.第10页/共29页.,),( coscoscos. 2yzxzyxfzaxzzyyxex 求求确定了隐函数确定了隐函数设设Method1.

6、axzzyyxzyxF coscoscos),(设设,sincosxzyFx 则则 ,cossinzyxFy ,cossinxzyFz ,sincossincoszyxxzyFFxzzx .sincossincoszyxyxzFFyzzy 第11页/共29页Method2.axzzyyx coscoscos方程两边对x求偏导得0sincossincos xzxxzxzzyy .sincossincoszyxxzyxz 求偏导得求偏导得方程两边对方程两边对y, 0cossincossin xyzyzzyzyx.sincossincoszyxyxzyz 第12页/共29页,),(. 3222确定确

7、定由由设设 xyxfzyxyxzzexMethod1. xyxfzyxzyxF222),(令令 ,22zfxyxfxz zyfyz22 22242)2(212zyzyfxfzyz ,2fxyfxFx ,2fyFy zFz2 .,)(22yzxzuf 求求可微可微其中其中第13页/共29页Method2.方程两边对x求偏导得fxyfxzzx 22 zxfxyfxz22 同理方程两边对y求偏导得fyzzy 22 xyxfzyx222再对y求偏导得fxyzzyz 12)(22222.22yzyz 代入上式即可得代入上式即可得将将第14页/共29页. ,0,),(. 4xyzyzyxzxxzyyzxF

8、yxzzex 证明证明所确定所确定由由函数函数 xzyyzxFzyx,),(令令 2212211,FxzFxzFFx 2122211,FFyzyzFFy Method1.第15页/共29页 21211111,FxFyxyFFz ,)()(21122FyFxxFxFzyxzzx )()(21221FyFxyFyFzxyzzy 代入所证等式的左边即可得结论.第16页/共29页Method2.0, xzyyzxF等式两边对x求偏导得： 0111,221 xzxzxxzyFF 0)1()11(221 xzxzxFxzyF即即 xz 0)11()1(221 yzxFyzyzyF同理可得同理可得yz 代入

9、所证等式左边即可得结论成立.第17页/共29页.,ln.5dzyzzxex求求设设 Method1.)(ln)(:yzdzxd 原原式式两两边边微微分分得得 22yzdyydzzyzxdzzdx 即即 )(dyyzdxzxzdz 整整理理得得 Method2.也可先求偏导再代入全微分公式得所求.)(2dyyzxzdxzxz 第18页/共29页.,),(. 6zyyxxzxyzzyxfzex 求求设设Method1.,),(),(zxyzzyxfzyxF 令令,21yzffFx 则则,21xzffFy , 121 xyffFzzxFFxz 12121 xyffyzff;12121xyffyzff

10、 xyFFyx ;2121yzffxzff yzFFzy 21211xzffxyff .12121xzffxyff 第19页/共29页Method2.,为自变量为自变量为函数为函数时时求求yxzxz 求偏导得求偏导得两边对两边对xxyzzyxfz),( xz )1(1xzf ),(2xzxyyzf ;12121xyffyzffxz .,为自变量为自变量为函数为函数时时求求zyxyx 求偏导得求偏导得两边对两边对yxyzzyxfz),( )1(01 yxf),(2yxyzxzf 第20页/共29页;2121yzffxzffyx .,为自变量为自变量为函数为函数时时求求zxyzy 求偏导得求偏导得

11、两边对两边对zxyzzyxfz),( )1(11 zyf),(2zyxzxyf .12121xzffxyffzy Method3. 利用两边全微分也可得到所求.第21页/共29页 .方程组确定的隐函数方程组确定的隐函数四四在此举例说明求偏导的方法, 方程组确定的隐函数一般有以下几种情形: 0),(0),( . 1zyxGzyxF确定了两个一元函数. 0),(0),( . 2vuyxGvuyxF确定了两个二元函数. ),(),(),( . 3vuzzvuyyvuxx确定了一个以u,v为中间变量x,y为自变量的二元函数.第22页/共29页.,10. 7yvxvyuxuxvyuyvxuex 求求设设

12、 Solution.方程组两边对x求导得 00 xvxvxuyxvyxuxu ,22yxyvxuxu 从从而而 22yxxvyuxv ., yvyuy 求求导导可可得得同同理理方方程程组组两两边边对对 第23页/共29页yzxzvuzvuyvuxex ,. 83322求求设设Solution. 2233vuyvuxvuz确定了一个以u,v为中间变量x,y为自变量的二元函数.方程组两边对y求偏导得 yvvyuuyz2233yvyu 0yvvyuu 221.,yzyuyu 再代入即得再代入即得与与先求出先求出第24页/共29页同样地:求偏导得求偏导得两边对两边对也可由也可由xvuzvuyvux 3

13、322 xvvxuuxzxvvxuuxvxu22332201 xz第25页/共29页., 0, 0 ,),(. 9dxduxzeyezyxfuexzxy求求且且有有连连续续偏偏导导数数设设 Solution.dxdzfdxdyffdxdu321 xyxyxyxeyedxdyye 10得得由由 xyy 12xezdxdzxzezz 得得由由0)1( zxz.)1(13221fzxzfxyyfdxdu 第26页/共29页注意:., 0, 0 ,),(.10dxduxyezezyxfuexzxy求求且且有有连连续续偏偏导导数数设设 Solution. 求导可得求导可得两边对两边对由由xxyezezyxfuzxy 00),( dxdzfdxdyffdxdu3210)( dxdzdxdy