计算机控制技术7

1、计算机控制技术无纹波最小拍无差控制系统设计纹波产生的原因计算机控制技术如果系统进入稳态后，施加到被控对象如果系统进入稳态后，施加到被控对象Gp(s)的控制信号的控制信号u*(t)尽管是收敛的，但尽管是收敛的，但围绕自己的平均值波动，围绕自己的平均值波动，不为常值或零不为常值或零，那么输出，那么输出C(t)在稳态时在两采样点之间在稳态时在两采样点之间就会有纹波。就会有纹波。无纹波最小拍无差控制系统设计无纹波最小拍无差控制系统设计消除了采样点之间的纹波，在一定程度上减少了控制能量，但它仍然是针消除了采样点之间的纹波，在一定程度上减少了控制能量，但它仍然是针对某一种特定输入的最小拍误差系统。对某一种

2、特定输入的最小拍误差系统。数字控制器输出波形系统输出波形消除纹波的基本思路：消除纹波的基本思路：使系统的采样脉冲控制信号使系统的采样脉冲控制信号u u* *(t)(t)以最少的节拍进入稳态，其稳以最少的节拍进入稳态，其稳态值要么为零要么为某个恒值。态值要么为零要么为某个恒值。计算机控制技术即系统中控制信号即系统中控制信号u(z)的幂级数展开式的幂级数展开式1(1)0( )( )(0)(1).( )(1).kllkU zu k zuuzu l zu lz系统经过系统经过 L L个个采样周期到达稳态，无纹波系统要求采样周期到达稳态，无纹波系统要求u(l) (l)、u(l l+1)要要么为零，要么相

3、等么为零，要么相等.l设计无纹波系统的必要条件设计无纹波系统的必要条件计算机控制技术 除了使控制信号达到无纹波的要求外，为了使系统的被除了使控制信号达到无纹波的要求外，为了使系统的被控制量控制量(输出）在稳态过程中获得无纹波的平滑输出，被控对输出）在稳态过程中获得无纹波的平滑输出，被控对象象 必须有能力给出与系统输入相同的、平滑的输出，使必须有能力给出与系统输入相同的、平滑的输出，使得当得当 的直接输入是常值或零时，它的稳态输出也是要求的直接输入是常值或零时，它的稳态输出也是要求的输出。的输出。也就是说也就是说： 若系统参考输入是等速度输入，系统稳态输出也是等速输出若系统参考输入是等速度输入，

4、系统稳态输出也是等速输出，则，则 的传递函数中必须至少有一个积分环节（的传递函数中必须至少有一个积分环节（U(l)保持常保持常量，系统输出才能为等速输出）量，系统输出才能为等速输出）； 若系统参考输入是等加速度输入，系统稳态输出也是等加速若系统参考输入是等加速度输入，系统稳态输出也是等加速 输出，则输出，则 的传递函数中必须至少有两个积分环节；的传递函数中必须至少有两个积分环节； 对于参考输入是阶跃输入，对于参考输入是阶跃输入， 中可以不需要有积分环节。中可以不需要有积分环节。( )pGs( )pGs( )pGs( )pGs( )pGs如何获得希望的采样脉冲控制信号如何获得希望的采样脉冲控制信

5、号u u* *(t)(t)？计算机控制技术( )( )( )( )U zzR zG z根据系统结构建立采样脉冲控制信号与参考输入采样脉冲信号之根据系统结构建立采样脉冲控制信号与参考输入采样脉冲信号之间的脉冲传递函数间的脉冲传递函数为了使为了使 对参考输入的瞬态响应不产生任何波动，对参考输入的瞬态响应不产生任何波动，就应该使就应该使上式的上式的Z Z传递函数没有位于传递函数没有位于Z Z平面原点以外的任何极点。平面原点以外的任何极点。*( )u t讨论： 对于 如果有位于Z 平面单位上或单位圆外的极点（也即 有位于单位圆上或单位圆外的零点），那么 必然是发散和震荡的。 对于 如果有位于Z 平面单

6、位内的极点（也即 有位于单位圆内的零点），那么 是稳定收敛的，但一旦有极点位于正实轴以外的区域都会引起 的较长时间的衰减震荡。 为了使 能在有限拍单调的衰减至零或某个常量，应使 不包含Z平面单位圆内、外及圆上的任何极点。 ( )/ ( )zG z( )G z*( )u t( )/ ( )zG z( )G z*( )u t*( )u t*( )u t( )/ ( )zG z计算机控制技术( )( ).(4)( )P zG zQ z那么那么，( )( )( ) ( ).(5)( )( )( )U zzz Q zR zG zP z为此，设广义对象设广义对象G(z)是关于是关于z-1的有理分式的有理分

7、式从式从式(5)可以看出，如果要使可以看出，如果要使U(z)/R(z)不包含任何极点，并且是关不包含任何极点，并且是关于于z-1的有限项多项式，那么希望的系统闭环脉冲传递函数的有限项多项式，那么希望的系统闭环脉冲传递函数 必须包含必须包含G(z)的分子多项式的分子多项式P(z)。即。即其中，其中， 是关于是关于z-1的多项式。的多项式。( ) z0( )( )( ).(6)zP zz0( ) z1111110( )(1).(1)(1).(1)( )ikzzzzzz计算机控制技术 也就是说，也就是说， 必须包含广义对象脉冲传递函数必须包含广义对象脉冲传递函数G(z)的所的所有零点，包括单位圆内、

8、单位圆上和单位圆外的零点。有零点，包括单位圆内、单位圆上和单位圆外的零点。 这样处理后，所得到无纹波系统比有纹波系统的调整时间要这样处理后，所得到无纹波系统比有纹波系统的调整时间要增加若干拍。增加的拍数等于增加若干拍。增加的拍数等于G（Z)在单位园内的零点数。在单位园内的零点数。1._( )ii个G z 位于单位圆上和单位圆外的零点1._kG(z)k个位于单位圆内的零点( ) z快速无纹波系统快速无纹波系统 的确定方法的确定方法计算机控制技术(1)、被控对象、被控对象Gp(s)中含有无纹波系统必须的积分环节数（必要条中含有无纹波系统必须的积分环节数（必要条件）。件）。(2)、满足有纹波系统的性

9、能要求和、满足有纹波系统的性能要求和D(z)物理可实现的约束条件。物理可实现的约束条件。(3)、 的零点包括的零点包括G(z)在在z平面上的所有零点。平面上的所有零点。确定快速无纹波系统希望闭环脉冲传递函数 ，必须满足以下要求：( ) z( ) z( ) z快速无纹波系统确定快速无纹波系统确定 的确定的一般方法的确定的一般方法计算机控制技术综合考虑闭环系统的稳定性、快速性、准确性和可实现性，无综合考虑闭环系统的稳定性、快速性、准确性和可实现性，无纹波系统闭环脉冲传递函数纹波系统闭环脉冲传递函数(z)必须选择为：必须选择为：式中：式中：m为系统广义对象为系统广义对象中所包含纯延迟环节数；中所包含

10、纯延迟环节数； 是是G(z)所有的所有的w个零点数；个零点数；式中式中v为广义对象为广义对象G(z) 在在 Z平面单位圆外及圆上的极点数平面单位圆外及圆上的极点数( z z =1的极点除外的极点除外)。q值的确定方法：值的确定方法： 典型的输入函数为阶跃、斜坡和加速度时，分别为典型的输入函数为阶跃、斜坡和加速度时，分别为q=1,2,311(1)0111( )(1) (.)wmq viq vizzbzzz 12.wbbb、01+v-1.q、( ) z计算机控制技术 1111111101011,2,zqqzqjdzdzqvdzdzajv个方程q+v个待定系数个待定系数 由下列方程组确定：由下列方程

11、组确定：01+v-1.q、例：对以下的系统对以下的系统计算机控制技术针对等速度输入设计快速无纹波系统针对等速度输入设计快速无纹波系统10( ),0.025(1)pmmG sTTss T s计算机控制技术解：被控对象解：被控对象 中有一个积分环节，满足无纹波设中有一个积分环节，满足无纹波设计条件。计条件。设计第一步：求广义对象脉冲传递函数设计第一步：求广义对象脉冲传递函数21101( )10(1)(1)(1)TsTsmmeG sess T ss T s2121( )10(1)()1mmmTTG zzssT s11110.092(10.718)( )(1)(10.368)zzG zzz(s)pG计

12、算机控制技术设计第二步：设计第二步：确定系统希望的闭环脉冲传递函数确定系统希望的闭环脉冲传递函数11110.092(10.718)( )(1)(10.368)zzG zzz11(1)0111( )(1) (.)wmq viq vizzbzzz 由广义对象脉冲传递函数由广义对象脉冲传递函数G(z)可以看出：可以看出：m=1，w=1，q=2，v=0，也即，也即11101( )(10.718)()zzzz( ) z计算机控制技术设计第三步：设计第三步：求求 的待定系数的待定系数(1)1(1)011101( )(10.718)()zzzz011.4070.826 设计第四步：设计第四步：求求D(z)1

13、1111( )15.29(10.368)(10.587)( )( )1( )(1)(10.592)zzzD zG zzzz( ) z计算机控制技术设计第五步：设计第五步：求系统输出序列求系统输出序列234( )( ) ( )1.4134.C zz R zTzTzTz设计第六步：设计第六步：求控制器输出序列求控制器输出序列123( )0.380.020.09.U zzzz计算机控制技术C(z)21111 2112.1( )(1.252)0.265(12.78)(1 0.2)(1) (1 0.286)TseG zZssszzzzzr(t)TTR(z)T=1sT=1sD(z)e*(t)u*(t)u(

14、t)1Tses22.1(1.252)ss c(t)例：例：针对如下的系统求其对于单位阶跃输入的无纹波最小拍针对如下的系统求其对于单位阶跃输入的无纹波最小拍数字控制器数字控制器 D(z)D(z)解：系统被控制对象包含两个积分环节，满足无纹波前提条件。 首先确定系统希望的闭环脉冲传递函数( )z21111 2112.1( )(1.252)0.265(1 2.78)(1 0.2)(1) (1 0.286)TseG zZssszzzzz根据系统广义对象脉冲传递函数，可以确定：m=1、w=2、q=1、v=0，故-1-1-10( )= 1+2.78)(1+0.2)zzzz（ 确定数字控制器脉冲传递函数D(

15、z)-1-1-1-21( )0.83-)(1-0.28)( )=( )1( )1+0.78+1.226zzD zG zzzz（1 z根据也即，0(1)=1,=0.2可解的-1-1-10-1-1-1( )=1+2.78)(1+0.2)=0.221+2.78)(1+0.2)zzzzzzz（ 求解控制信号的z变换式U(z)-1-1-11 21111111( )0.221+2.78 )(1+0.2)(1) (1 0.286)( )( )( )(1)0.265(1 2.78)(1 0.2)0.83(1)(1 0.286)zzzzzzU zR zG zzzzzzz（ 求解系统输出的Z变换式Y(z)-1-1

16、-111( )( ) ( )0.221+2.78)(1+0.2)(1)Y zz R zzzzz（ 分别给出控制信号和系统输出的时间序列():0.83, 1.0676,0.2374,0,0.():0,0.22,0.8754,1,1,.U kTY kT( )y tt11( )u t-1计算机控制技术非最小拍控制系统设计采用非最小拍无差设计的原因采用非最小拍无差设计的原因计算机控制技术 最小拍无差系统及无纹波最小拍无差系统只适最小拍无差系统及无纹波最小拍无差系统只适用于特定的输入。用于特定的输入。 为了使系统能够对多种类型输入都能获得较为为了使系统能够对多种类型输入都能获得较为满意的效果，我们只有以

17、牺牲有限拍无差性质为满意的效果，我们只有以牺牲有限拍无差性质为代价。代价。采用非最小拍无差设计的原因采用非最小拍无差设计的原因计算机控制技术针对理想最小拍控制器设计针对理想最小拍控制器设计解决上述问题的基本思想解决上述问题的基本思想计算机控制技术令闭环误差脉冲传递函数不再是有限项多项式令闭环误差脉冲传递函数不再是有限项多项式而是将其修改为：而是将其修改为： *11( )1( )1zzz1*1( )( )1zzzz 为非最小拍误差控制系统希望的闭环脉冲传递函数。它为非最小拍误差控制系统希望的闭环脉冲传递函数。它也已经不是也已经不是 的有限项多项式。也即，系统是渐近地趋于稳的有限项多项式。也即，系

18、统是渐近地趋于稳态。但可使系统对输入类型的敏感程度却因此降低。态。但可使系统对输入类型的敏感程度却因此降低。 1( )1( )(1)( )mezzzF z *( ) z惯量因子1z通过一个例子可说明通过一个例子可说明 的作用的作用计算机控制技术设广义对象传递函数如下，试按等速度输入设计设广义对象传递函数如下，试按等速度输入设计 时的时的非非 最小拍控制。最小拍控制。10.6476( )1 0.1353G zz第一步：广义对象传递函数只有一个单位圆内的极点，单位速第一步：广义对象传递函数只有一个单位圆内的极点，单位速度输入下最小拍无差系统的希望闭环脉冲传递函数为度输入下最小拍无差系统的希望闭环脉

19、冲传递函数为0.512( )2zzz 这里这里 是一个设计参数，为了保证系统稳定，必须使是一个设计参数，为了保证系统稳定，必须使 1。再通过适当的选择再通过适当的选择 可对不同类型的输入都可获得较好的效果可对不同类型的输入都可获得较好的效果。计算机控制技术112*11( )1.5( )11 0.5zzzzzzz0.5第二步：为了适应不同类型的输入，将第二步：为了适应不同类型的输入，将 并令并令*( )( )z改变成z第三步：根据第三步：根据 确定控制器脉冲传递函数确定控制器脉冲传递函数D(z)D(z)*( ) z*11*1 21( )1.544(1.5)(1 0.1353)( )( )1( )

20、(1)zzzD zG zzz计算机控制技术第四步：求系统单位阶跃响应和单位速度输入响应第四步：求系统单位阶跃响应和单位速度输入响应*1234( )( ) ( )1.51.251.1251.0625.C zz R zzzzz单位阶跃响应*2345( )( ) ( )1.52.753.8754.9375.C zz R zzzzz可见：在第一拍时，输入超调为可见：在第一拍时，输入超调为50%，比起不修正闭环脉，比起不修正闭环脉冲传递函数的时候，超调量变小。原来的超调量是冲传递函数的时候，超调量变小。原来的超调量是100%。这表明，修正闭环脉冲传递函数后，系统更好地适应了单这表明，修正闭环脉冲传递函数

21、后，系统更好地适应了单位阶跃输入。位阶跃输入。单位速度输入响应可见：在第五拍就已非常接近期望值可见：在第五拍就已非常接近期望值计算机控制技术 采用未使用惯量因子修正的设计办法，系统对输入采用未使用惯量因子修正的设计办法，系统对输入敏感，只有在针对特定输入的时候，才能得到好的控敏感，只有在针对特定输入的时候，才能得到好的控制效果。制效果。 采用惯量因子修正的设计办法后，虽然使特定输采用惯量因子修正的设计办法后，虽然使特定输入下的响应变差，但却降低了系统对输入的敏感度。入下的响应变差，但却降低了系统对输入的敏感度。这样的非最小拍无差系统设计方法也被称为惯量因子这样的非最小拍无差系统设计方法也被称为

22、惯量因子法法最小均方误差系统最小均方误差系统最小均方误差系统对于不同典型输入可使其均方误差2=0=()kJe kT2-1-1= 01=()=( )()2kcJe kTE z E zz dzj系统的均方误差可由下式计算得到式中的封闭积分曲线c 为Z平面的单位圆。达到最小。计算机控制技术 最小均方差设计是一种工程设计的方法，是在有限拍设计的最小均方差设计是一种工程设计的方法，是在有限拍设计的基础上，对系统误差闭环脉冲传递函数基础上，对系统误差闭环脉冲传递函数 和系统闭环脉冲和系统闭环脉冲传递函数传递函数 都引入一个极点都引入一个极点 （ ），以改善其瞬），以改善其瞬态响应过程。态响应过程。1( )

23、ez( ) zz也即，使也即，使*1( )( )1eezzz*111( )( )( )11ezzzzz计算机控制技术*( )( ) ( )eE zz R zE(z)里便包含参数里便包含参数 ，从而有，从而有对系统误差闭环脉冲传递函数对系统误差闭环脉冲传递函数 引入极点引入极点 后，后，系统系统误差传递函数的误差传递函数的z变换为变换为 ( )ezz由于2-1-1= 01=()=( )()2kcJe kTE z E zz dzj( )( )E zf于是有2=0=()( )kJe kTf上式说明选择不同的 值，便可得到不同系统均方误差。通过一个具体的例子说明最小均方误差系统的设计方法计算机控制技术

24、设系统对象传递函数设系统对象传递函数10( ),0.8(1 0.1 )(1 0.05 )pGsTssss系统输入为单位阶跃和单位速度输入信号，设计系统数字控制器系统输入为单位阶跃和单位速度输入信号，设计系统数字控制器使系统为一最小均方误差法系统使系统为一最小均方误差法系统，试确定参数试确定参数 值。值。1111110.76(1 0.046)(1 1.13)( )(1)(1 0.135)(1 0.018)zzzG zzzz广义脉冲传函在单位圆上有一个极点广义脉冲传函在单位圆上有一个极点z=1，单位圆外有一零点，单位圆外有一零点-1.13，没有单位圆外极点。也即，没有单位圆外极点。也即，m=1,u

25、=1,q=2,v=0解：首先确定系统先确定系统广义脉冲传递函数广义脉冲传递函数计算机控制技术 对于速度输入设计最小拍无差系统闭环脉冲传递函数对于速度输入设计最小拍无差系统闭环脉冲传递函数 和系和系统闭环误差脉冲传递函数统闭环误差脉冲传递函数11(1)0111( )(1)(.)umq viq vizzb zzz 11112( )1( )(1 1.13)()ezzzzbb z 1211( )1( )(1) (1)ezzza z m=1,u=1,q=2,v=0( ) z( )ez根据以上闭环脉冲传函的一般表达式可得到计算机控制技术将将 可确定上两式中的参数可确定上两式中的参数b1，b2和和a1112

26、0.811 0.2811.1890.7190.7180.249abb 1 21*11-1(1) (1)1( )( )=11-eza zzzzz111*121-1(1 1.13)()( )( )1-( )=11-ezzbb zzzzzz分别构造分别构造 如下：如下：*( )( )ezz和*( )( )ezz代 入计算机控制技术 求取系统在等加速输入下最小均方误差求取系统在等加速输入下最小均方误差 1 211111111 21(1) (1)(1)( )( ) ( )1(1)1eza zTza zTzE zz R zzzz 11(1)()1Tza zE zz2110121112111( )= ()(

27、 ) ()2(1)(1)12(1)(1)()(1)2()(1)ckccJe kTE z E zz dzja za zTdzjzzzzaa zTdzjz zz22110()(1)= ()2()(1)ckzaa zTJe kTdzjz zz( )J计算机控制技术iz为闭合积分曲线包围的为闭合积分曲线包围的F(z)的全部的全部n个极点。系统均方误差个极点。系统均方误差可利用留数定理进行计算可利用留数定理进行计算11( )Re ( ( )2iniz zF z dzs F zj根据留数定理22110221110,()(1)= ()2()(1)()(1)=TRe()(1)ckizzaa zTJe kTdz

28、jz zzzaa zsz zzC为单位圆封闭积分曲线， 是被积函数在单位圆内的两个极点。 =0,z=z计算机控制技术22110221111022221111122()(1)( )= ()2()(1)()(1)()(1)()()(1)()(1)()(1)121.0620.(1)7111kzzzaa zTJe kTdzjz zzzaa zzaa zTzTzz zzz zzT aTaaaaT由上式，可计算系统均方误差由上式，可计算系统均方误差 如下如下：( )J计算机控制技术再求在单位阶跃输入时的系统最小均方误差再求在单位阶跃输入时的系统最小均方误差1 2111*11111(1) (1)(1)(1)1( )( ) ( )111eza zza zE zz R zzzz同理，对同理，对，2110211222110211221()= ()( )()2()(1) (1)12()(1)()(1) (1)()(1) (1)Re Re ()(11.691).270()(1).41kzzJe kTE z E zzdzjzaza zdzjzzzzaza zzaza