ch32微分中值定理PPT课件

1、3.2 微分中值定理微分中值定理 罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 三个中值定理之间的关系 中值定理的初步应用第1页/共35页一、罗尔(Rolle)中值定理证明：不妨设 是函数 在 内的最小值. 0 xf xf 0 xN则 xxfxf 00第2页/共35页当 时，0 x 000 xxfxxf 0lim0000 xxfxxfxfx当 时，0 x 000 xxfxxf则所以则 0lim0000 xxfxxfxfx 0000 xfxfxf第3页/共35页例如,32)(2 xxxf).1)(3( xx,3 , 1上连续上连续在在 ,)3 , 1(上可导上可导在在 , 0)3()1( ff且

2、且)3 , 1(1( , 1 取取. 0)( f),1(2)( xxf第4页/共35页几何解释:abxyo)(xfy .,水平的水平的在该点处的切线是在该点处的切线是点点上至少有一上至少有一在曲线弧在曲线弧CABC第5页/共35页证.)1(mM 若若,)(连续连续在在baxf.mM 和最小值和最小值必有最大值必有最大值.)(Mxf 则则. 0)( xf由此得由此得),(ba . 0)( f都有都有.)2(mM 若若),()(bfaf .取取得得最最值值不不可可能能同同时时在在端端点点),(afM 设设.)(),(Mfba 使使内至少存在一点内至少存在一点则在则在. 0)(f由费尔马定理知必有第

3、6页/共35页注意 (1)若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立.例如, (2) 定理指出了导函数 的零点问题第7页/共35页例1 .0,321实根实根有且仅有两个不相等的有且仅有两个不相等的证明方程证明方程设设 xfxxxxf证 ,)(内可导内可导在在 xf,2 , 1 )(上上连连续续在在则则xf0)2()1( ff且且由罗尔定理知. 0)(),2 , 1(11 f使使,)2 , 1()(内内可可导导在在xf同理可知. 0)(),3 , 2(22 f使使 ;0至少有两个不等实根至少有两个不等实根 xf ;,为为二二次次多多项项式式为为三三次次多多项项式式又又xfxf .0实实

4、根根有有且且仅仅有有两两个个不不相相等等的的所所以以 xf .0最最多多有有两两个个实实根根 xf第8页/共35页例2 设 ,01,1 , 0 fxf且且上上可可导导在在至少存在一点 .,1 , 0 ff 成成立立求证：分析： , ff 要证要证 ,0 ff即证即证 .0 xxfx亦亦即即证明： ,1 , 0,上可导上可导在在则则令令xFxxfxF 011,00 fFF且且由罗尔定理知至少存在一点 .0,1 , 0 F使使 , ff 所所以以第9页/共35页例3 若实数naaa,10满足关系式0113121210 nanaaa证明：02210 nnxaxaxaa至少有一个小于1的正根.分析：

5、132210113121nnxanxaxaxannxaxaxaa 2210第10页/共35页证明： 令 132210113121 nnxanxaxaxaxf , 00,1 , 0 fxf且且上可导上可导在在则则 01131211210 nanaaaf由罗尔定理知至少存在一点 .0,1 , 0 f使使02210 nnaaaa 即：所以02210 nnxaxaxaa至少有一个小于1的正根.第11页/共35页12罗尔定理的几何意义也一条切线平行于AB 弦 可以解释为: 至少存在问题:去掉 f (a) = f (b)的条件 , 此结论是否仍然成立?左图显示此结论是正确的第12页/共35页二、拉格朗日(

6、Lagrange)中值定理).()(:bfaf 去去掉掉了了与与罗罗尔尔定定理理相相比比条条件件中中注注意意).()()( fabafbf结论亦可写成结论亦可写成第13页/共35页abxoy)(xfy ABCD几何解释:.,ABCAB线平行于弦线平行于弦在该点处的切在该点处的切一点一点上至少有上至少有在曲线弧在曲线弧证分析:).()(bfaf 条条件件中中与与罗罗尔尔定定理理相相差差弦AB方程为).()()()(axabafbfafy ,)(ABxf减去弦减去弦曲线曲线., 两端点的函数值相等两端点的函数值相等所得曲线所得曲线ba第14页/共35页作辅助函数).()()()()()(axaba

7、fbfafxfxF ,)(满满足足罗罗尔尔定定理理的的条条件件xF. 0)(,),( Fba使得使得内至少存在一点内至少存在一点则在则在0)()()( abafbff即即拉格朗日中值公式注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.第15页/共35页,),(,)(内可导内可导在在上连续，上连续，在在设设babaxf).10()()()(000 xxxfxfxxf则有则有),(,00baxxx ).10()(0 xxxfy也可写成也可写成.的精确表达式的精确表达式增量增量 y 拉格朗日中值定理又称有限增量定理.拉格朗日中值公式又称有限增量公式.微分中值定

8、理第16页/共35页.)(,)(上是一个常数上是一个常数在区间在区间那末那末上的导数恒为零上的导数恒为零在区间在区间如果函数如果函数IxfIxf推论1推论2微分中值定理公式：xfxfxxf )()()(00 微分公式：xxfxfxxf )()()(000之间之间与与介于介于xxx 00 .)()(,)()(上最多相差一个常数上最多相差一个常数在区间在区间和和那末那末内的导数相等内的导数相等在区间在区间和和如果函数如果函数IxgxfIxgxf第17页/共35页,)(xxf 设设例4 ,4 , 0 x求拉格朗日中值定理中的.解： ,4 , 0,4 , 0)(内内可可导导在在上上连连续续在在xxf

9、所以, )4 , 0( 使2104)0()4()( fff 由xxf21)( 2121)( f知1 第18页/共35页例5).11(2arccosarcsin xxx证明证明证1 , 1,arccosarcsin)( xxxxf设设)11(11)(22xxxf . 0 1 , 1,)( xCxf0arccos0arcsin)0( f又又20 ,2 .2 C即即.2arccosarcsin xx第19页/共35页例6.)1ln(1,0 xxxxx 时时证明当证明当证),1ln()(xxf 设设, 0)(上满足拉氏定理的条件上满足拉氏定理的条件在在xxf)0(),0)()0()(xxffxf ,1

10、1)(, 0)0(xxff 由上式得,1)1ln( xxx 0又又x 111, 11111 x,11xxxx .)1ln(1xxxx 即即第20页/共35页21若曲线由参数方程 ( 其中 atb ) 给出 ,则在曲线 上 , 存在某点 C ( 设其参数为) , 在 C 处所作的切线与AB 弦平行 CA( g (a) , f (a) 、 B( g (b) , f (b) ) , 如果设 A 、B 点的坐标为即应有第21页/共35页三、柯西(Cauchy)中值定理第22页/共35页几何解释:xoy)(agA)(bgBCD.),(),(ABfgCAB弦弦该该点点处处的的切切线线平平行行于于在在一一点

11、点上上至至少少有有在在曲曲线线弧弧 证作辅助函数).()()()()()()()()(aFxgaFbgafbfafxfx ,)(满满足足罗罗尔尔定定理理的的条条件件x 第23页/共35页, 0)()()()()()( gagbgafbff即即.)()()()()()( gfagbgafbf . 0)(,),( 使使得得内内至至少少存存在在一一点点则则在在ba,)(xxg 当当, 1)(,)()( xgabagbg)()()()()()( gfagbgafbf ).()()( fabafbf第24页/共35页例7 若 f (x) 在 a , b 上连续 , 在( a , b )内可导 ( a0)

12、 ,证明: 在 ( a , b ) 内至少存在一点, 使成立解上式等价于设则由 a 0 知 , f (x) , g (x) 满足柯西中值定理的条件 , 即 存在 ( a , b ) , 使第25页/共35页例8设 f (x) 在 x1 , x2 上可微 , 且 x1x2 0 , 证明: 存在 ( x1 , x2 ) 使 解原式故取由 x1 x2 0 ,可知 F(x) , G(x) 在 x1 , x2 上满足柯西中值定理条件第26页/共35页 存在 ( x1 , x2 ) 使 应用柯西中值定理 , 结论成立第27页/共35页例7).0()1(2)(),1 , 0(:,)1 , 0(,1 , 0)

13、(fffxf 使使至少存在一点至少存在一点证明证明内可导内可导在在上连续上连续在在设函数设函数证分析: 结论可变形为 2)(01)0()1(fff.)()(2 xxxf,)(2xxg 设设, 1 , 0)(),(条条件件上上满满足足柯柯西西中中值值定定理理的的在在则则xgxf有有内至少存在一点内至少存在一点在在,)1 , 0( 2)(01)0()1(fff).0()1(2)(fff 即即第28页/共35页分析：即证 cos2)1(sin2 xxx即21cos122sinsin xx .cos21sin ,2,2: 82 xxxxx使使必存在必存在时时在在证明证明例例第29页/共35页亦即证明：

14、取,1)(sin)(ttgttf 在则 tgtf和和,2,2内内可可导导在在上上连连续续 xx 使21cos212sinsin xx即 cos)2()1(sin2 xxx21cos2112sinsin xx知，存在,2 x 由Cauchy定理第30页/共35页四、三个中值定理之间的关系Rolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；注意定理成立的条件；注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.第31页/共35页五、五、中值定理的初步应用证明： 且且内可导内可导在在上连续上连续在在,1 , 0,1 , 0 x . 010 由罗尔定理知， ,1 , 0 使 ,0 .0 1 ,