变化率问题电子教案

1、变化率问题 通过阅读引言我们知道：1.随着对函数的深入研究产生了微积分随着对函数的深入研究产生了微积分,它是数学发展史它是数学发展史上的一个具有划时代意义的伟大创造，被誉为数学史上的一个具有划时代意义的伟大创造，被誉为数学史上的里程碑上的里程碑.2.微积分的创立者是牛顿和莱布尼茨微积分的创立者是牛顿和莱布尼茨.他们都是著名的科学家，我们应该认识一下.牛顿（牛顿（Isacc Newton,1642 - 1727)是英国数学家、天文学家和物理学家是英国数学家、天文学家和物理学家是世界上出类拔萃的科学家。是世界上出类拔萃的科学家。 5 . 00t21 t答：速度。答：速度。 1.计算高台跳水运动员在

2、下 面两个时间段里的平均速度（h(t)=-4.9t2+6.5t+10）smhh2 .812) 1 ()2(smhh05. 405 . 0)0()5 . 0(vv问题一问题一平均速度反映物体在某时间段里速度的平均变化情况平均速度反映物体在某时间段里速度的平均变化情况.思考：运动员从思考：运动员从t1到到t2时间段里的平均速度的计算式？时间段里的平均速度的计算式？1212)()(ttththv在现实生活中还有许多平均变化率的问题如气球膨胀率，那么我们接着“夯实地基”.问题一问题一问题二问题二 气球膨胀率我们大都吹过气球，同学回想在吹气球的过程我们大都吹过气球，同学回想在吹气球的过程中，随着气球内空

3、气容量的增加我们看到的现中，随着气球内空气容量的增加我们看到的现象是？象是？2.看到的现象是： 随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加的越来越慢.3.从数学的角度,如何描述这一现象呢?问题二问题二 气球膨胀率我们知道，气球的体积v（单位：L）与半径 r（单位:dm）之间的函数关系是 如果将半径表示为体积的函数，那么 334)(rrv43)(3vvr现象也就是：随着气球体积的增大随着气球体积的增大,当气球体积当气球体积增加量相同时增加量相同时,相应半径的增加量越来越小相应半径的增加量越来越小.也就是也就是( ) 和和 ( )的比值越来越小的比值越来越小.半径的增加量半径的增加量体积的增加量体积

4、的增加量这个比值就是气球的平均膨胀率这个比值就是气球的平均膨胀率用数值来说话用数值来说话当空气容量从0增加到1时，气球半径增加了 气球的平均膨胀率为 类似地，当空气容量从1增加到2时，气球的平均膨胀率约为0.16（dm/L） )(62. 0)0() 1 (dmrr)(62. 001)0() 1 (Ldmrr分别计算空气容量从0到1,从1到2的半径增加量和气球的平均膨胀率问题二问题二 从上面的数值，可以看出，随着气球从上面的数值，可以看出，随着气球体积逐渐变大，它的平均膨胀率逐渐变小体积逐渐变大，它的平均膨胀率逐渐变小, 解决了问题解决了问题.思考？思考？当空气容量从当空气容量从V1增加到增加到

5、V2时，气球的平均膨胀时，气球的平均膨胀率是多少？率是多少？1212)()(VVVrVr气球的平均膨胀率，反映了气球半径增加气球的平均膨胀率，反映了气球半径增加的快慢程度的快慢程度.函数的平均变化率的定义函数的平均变化率的定义 一般地,函数 中，式子 称为函数 从 到 的平均变化率。其中 令 ， ， 则)(xfy 1212)()(xxxfxf1x2x12xxx)()(12xfxfy)(xfyxyxxxfxf1212)()(说明：说明：1.式子中的 , 值可正可负，但是 值不可以为0， 值可为0. 3.变式：yxxxxfxxfxxxfxfxy)()()()(1112122.计算步骤一般是先求函数

6、值的增量再求比值.y1.甲用5年时间挣到10万元，乙用6个月时间挣到2万元，如何比较和评价甲乙两人的经营成果？2.已知函数f(x)=2x，计算f(x)在区间 上的平均变化率2, 3练一练练一练 思考思考? 观察函数观察函数f(x)的图象的图象平均变化率平均变化率 表示什么表示什么? ?121)()f xyxxx2f(xOABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=xf(x2)-f(x1)=y例题分析.)21()21()(2 xyyxBAxxxf，则，则，及附近一点及附近一点，的图像上的一点的图像上的一点已知函数已知函数例例1:.02附近的平均变化率附近的平均变化率在在求求xxx

7、y 例例2. 1 . 11 3)(; 5 . 11 2)(; 21 1)( BABABAxxxxxx，.1)( 2割割线线，求求割割线线的的斜斜率率两两点点作作、上上经经过过曲曲线线BAxxf 例4：.)33(312中中相相应应的的而而平平均均速速度度为为，则则在在时时间间）质质点点运运动动规规律律为为（tts 练习：.443)(22附近的平均变化率附近的平均变化率求在求在的规律作直线运动，的规律作直线运动，）物体按）物体按（sttts .1 . 0)11()1 , 1()(33时割线的斜率时割线的斜率当当，做曲线的割线，求出，做曲线的割线，求出，和和上两点上两点）过曲线）过曲线（ xyxQPxxfy气球膨胀高台跳水平均变化率问题小结小结1.我们这节课讲了什么问题2.用了几个实例3.得到一个什么数学定义4.求函数平均变化率的步骤：（1）求函数值的变化量 （2）求比值)()(12xfxfyxy函数平均变化率定义1212)()(xxxfxfxy作业作业2.用今天讲的内容各小组自编1-2个生活中的平均变化率问题（例如平均每年增长的房价，平均每分钟股指下跌的点数等）。3.小组写一篇变化率在生活中的应用短文。1.课本第10页第一题。4