7.“点的轨迹方程探讨”教学案例(王婷已改）

1、“点的轨迹方程探讨”教学案例1 教学设计1.1教学内容分析“曲线的方程”是解析几何中用代数方法研究几何问题的主要内容之一。求曲线的方程，教材介绍了直接法、待定系数法，同时在例习题中也出现了其它方法（如定义法、相关点代入法、参数法等），但学生对求轨迹方程的方法与技能的掌握有待进一步提高。因此，在小结复习课里，我以一道课本例题创设问题情境，利用多媒体辅助教学，设计了一节“点的轨迹方程探讨”课。 1.2教学目标提高学生探求曲线轨迹方程的能力；培养学生观察、类比、数形结合的能力；激发学生学习数学的兴趣。2教学过程2.1创设情境师：罗雪同学在学完课本例题（人民教育出版社高中数学教材第二册(上)的.80页

2、例6）“已知点P是圆上的一个动点，点A是x轴上的定点，坐标为（12，0）。当点P在圆上运动时，线段PA的中点M的轨迹是什么？”后，提出了如下的问题： 已知点P是定圆C：上的一个动点，点A是平面内的一个定点，当点P在圆上运动时，在下列条件下, 线段的中点的轨迹分别是什么?()定点在圆外；()定点在圆内；()定点在圆上师：用几何画板追踪点的轨迹功能进行探讨，你能帮助罗雪同学解决这个问题吗？ 图1学生1：线段的中点的轨迹仍然是一个圆。师：能证明吗？学生2：如图1.设点M（x,y）, 点（a,b），则点为(rcos,rsin)， 根据中点坐标公式，有 , (其中是参数)。 所以，无论点在圆外，圆内，还

3、是圆上，线段PA的中点的轨迹都是圆师：很好！就此例中探求点的轨迹问题，同学们还能提出哪些问题？2.2提出问题(1)如果定圆的圆心不在坐标原点，线段的中点的轨迹如何？(2)当点的坐标满足什么条件时，线段PA的中点M的轨迹分别和定圆相交，相切，相离？(3)如果把圆换成椭圆，点的轨迹如何？(4)如果把圆换成双曲线，点的轨迹如何？(5)如果把圆换成抛物线，点的轨迹如何？(6)如果点是线段的一个三等分点，点的轨迹如何？ 2.3解决问题师：现就同学们比较感兴趣的问题和问题进行探讨。演示问题：已知点P是定椭圆C上的一个动点，点A是平面内的一个定点，当点P在椭圆上运动时，在下列条件下, 线段的中点的轨迹是什么

4、?()定点在椭圆外； ()定点在椭圆内；()定点在椭圆上。学生：经过观察发现，点的轨迹仍然是椭圆。但从计算的结果看，却不能确定是不是椭圆。我选择的椭圆方程是，则点P为(4cos,3sin)。定点A (12,8) 则点M的参数方程为。从图上看是椭圆，但书上没有这种形式的椭圆方程。师：哪位同学能帮助他解决这个问题呢？学生：是椭圆，并且是以为长轴，为短轴的椭圆。师：那方程中“多出来”的6，4是什么呢？学生：(思考片刻)点（6，4）应该是椭圆的中心。学生5：他所求出来的方程就是椭圆的方程，是一个中心被平移过的椭圆。点(6,4)是平移后的椭圆中心。师：非常好！我们在教材上学的只是中心在坐标原点的椭圆，现

5、在同学们发现了中心不在坐标原点的椭圆。祝贺你们！我想知道，除了能用参数法求点的轨迹方程，还有其它方法吗？学生：我们小组用相关点代入法求解。我们选择的椭圆方程是设点（x,y）,点，则点为于是点的轨迹方程是。由作图知，点的轨迹是以为中心，以a为长轴、b为短轴的椭圆。图2学生：我们小组是用定义法求解的。在对罗雪同学的问题寻找答案的过程中，我们还发现这样一个规律：无论点在哪一个位置，线段PA的中点M的轨迹都是一个圆，它们的半径都相等，且圆心是线段CA的中点，半径是圆C半径的一半。于是在研究椭圆的时候我们利用这个规律，得到了如下的解答：如图2所示，连接及在和中，设分别是线段的中点由中位线定理可知又则所以

6、，点的轨迹是以、为焦点，以a为长轴的椭圆。 师：（其它同学露出赞许的目光）太美了！ 他从椭圆的第一定义的角度证明了点M的轨迹是椭圆。我也提一个问题:如果A不是一个定点，而是线段：x-y=1(x-5,5)上的一个动点，点M的轨迹又如何呢？教师演示点M的动态轨迹追踪，如图(第一秒）图4(两分钟后)阴影部份所示。图图43教学反思(1) 引导学生在情境中质疑、交流，构建相关知识本节课采用数学“情境问题”教学模式设计教学整节课形成了一个循环互动，有机开放的教学系统。从罗雪同学提出的问题引入课题，显得自然，亲切，激发了同学们的求知欲。随着问题的层层深入，学生的学习热情被充分调动起来，学生在相互交流、质疑、

7、碰撞中复习了探求点的轨迹方程的有关知识。(2)利用几何画板，丰富学生的想象空间选用了多媒体辅助教学，几何画板的追踪点的轨迹功能丰富了学生的视野，形象而生动地把曲线的方程、点的轨迹赋予了生命，让学生在短时间内能顺利的完成学习任务。(3)组织学生合作学习，提高学习效益小组合作学习便于形成学习的合力，提高学习的效率。在课前按照均衡、协作的原则，把学生分为8个协作学习小组，以数学学习能力好，兼顾配备计算机操作技能好和语言表达能力强的同学组成小组。从实际教学情况看，每组的学生代表给出的都是一个共同研讨出来的令人认可的答案。(4)意料之外，情理之中 这节课，通过设置的问题情境帮助学生巩固相关点代入法和参数

8、法，所以有意提了“课本例题（教材.80页例6）”，利用几何画板追踪点的轨迹功能，让学生体会到数学的美，确实触摸到点运动的轨迹。不料，第七组的同学利用探究圆问题时发现的规律，类比应用到椭圆中，发现了我没有预料到的用定义法求曲线的方程(闪光点)。让我情不自禁的脱口而出“太美了！”还有教材之外的“平移了的椭圆”的发现等等，无不让我为自己的学生感到自豪！ 参考文献1吕传汉,汪秉彝.论中小学“数学情境与提出问题”的数学学习J,数学教育学报，2001,10（4）,9-14;2吕传汉,汪秉彝.再论中小学“数学情境与提出问题”的数学学习J.数学教育学报,2001,11（4）：72-76;3 费岭峰.关于数学问题情境设计的几点思考.点 评:探求点的轨迹方程在数学学习中有重要的意义。作为复习课：“点的轨迹方程的探讨”，以合作形式的方式“提出问题解决问题总结提高”，不仅复习了轨迹的多种方法，而且充分调动学生的学习积极性。1问题情境引入自然。以罗雪同学对书本例题的思考入手，让学生体会到问题的提出和解决源自学习的需要。同时，该问题难度不大，解决方法多样，易于质疑探究，调动学生的积极性，形成和谐的课堂教学气氛。2有效的合作学习。课前的合理分组，学生优势互补，为学习提供了有利的