一个不容忽视的基本图形

1、一个不容忽视的基本图形“几何几何，急得我无可奈何！ ”许多同学在学习数学时都有一 种感觉：有时遇到一个问题百思不得其解，一经别人点拨就立刻豁 然开朗、茅塞顿开，才知如此简单。那么，为什么会产生这样的感 觉呢？其实，解决数学问题，关键是要抓住问题的本质属性。笔者 近日在执教苏科版数学八年级上册“勾股定理”时，遇到这样一个 内容：1876年4月1日，伽菲尔德在新英格兰教育日志上发表了他 对勾股定理的这一证法（如图1）。1881年，伽菲尔德就任美国第 二十任总统。后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、 简捷、易懂、 明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法。其实，从总统证法的图形来看，实际上就是出现了

2、三个“垂直”，即/b=Zc=Zaed=90,进而产生了abeAecd,我们可以 把这个图形称为“三垂直”基本图形（如图2）。这一基本图形在我们的几何学习中频频出现，应用非常广泛，命 题者也经常以此为背景，命制出一批构思巧妙，立意新颖的试题。一、基于“三垂直”，寻找全等形例1.正方形abcd中，点p是cd延长线上一动点，连接ap,分 别过b、d两点作be丄ap,df丄ap,垂足为e、f,如图3请你通过 观察或测量be、df、ef的长度，然后猜想它们之间的数量关系.并tnii学朮友叢网论文发表专家一匸交发表专家一LB 国学朮发叢网加以证明。解析：由be丄ap,df丄ap,得/bea二/afd=90

3、 ,abe+Zbae=90,又因为正方形abcd，所以/bad=90, 所以/daf+Zbae=90,所以Zabe=Zdaf， 在正方形abcd中，ab二ad,所以abedaf(aas),可得基本图形2,所以df=ae,be=af，而由图可知，af=ef-ae，所以be=ef-df.评析：本题主要考查了全等三角形的判定，根据基本图形图2,寻找通过全等三角形得出线段相等是解题的关键。二、基于“三垂直”，寻找相似形例2.(2009年广东省中考题)如图4,正方形abcd边长为4,m n分别是bc、cd上的两个动点，当m点在bc上运动时，保持am和mn垂直。(1) 证明：rtabmrtmen(2) 设

4、bm=x梯形abcn的面积为y，求y与x之间的函数关系 式；当m点运动到什么位置时，四边形abcn的面积最大，并求出 最大面积；(3)当m点运动到什么位置时，rtabm rtamn求此时x的值.解析：(1)因为Zmab+Zamb= 90,Znmc+Z amb= 90,所以Zmab=Znmc,又因为Zb=Zc=90,所以abmAmcn.可得基本图形2。匸交发表专家一LB 国学朮发叢网www,qikanwa ng.nEt(2) 又厶abmAmen得二，所以二，解得cn二.于是y=s梯形abcn=(4+)=-x2+2x+8=-(x-2)2+10因此，当x=2时，y取最大值，最大值为10.(3) 由图

5、4,因为/b=Zamn= 90，要使abmAamr,必须 有，二由厶abmAmen,知,二.因此bm=mc所以， 当点m运动到be的中点时，abmAamr.评析：这是一道关于动点运动型的综合性较强的试题，本题把相 似三角形的内容与二次函数的内容巧妙地结合起来，对于第(1)问，利用基本图形2,易证得两个三角形相似，这一对相似三角形 是解决后两个问题的必要条件；利用这一对相似三角形中的比例线 段，问题(2)得解；尤其是第(3)问，逆向思考，再结合原相似 三角形中的比例线段，从而形成本问的巧解。三、构造“三垂直”，解决函数题例3.如图5,梯形abed中，ad/be,/abc=90,ad=9, bc=12,ab=10,在线段be上任取一点p,作射线