高等数学二重积分总结

1、高等数学二重积分总结第九章二重积分【本章逻辑框架】二重积分的概念与性质二重积分的计算在直角坐标系中二重积分的计算在极坐标系中二重积分的计算二重积分的应用【本章学习目标】理解二重积分的概念与性质，了解二重积分的几何意义以及二重积分与定积分之间的联系，会用性质比较二重积分的大小，估计二重积分的取值范围。领会将二重积分化为二次积分时如何确定积分次序和积分限，如何改换二次积分的积分次序，并且如何根据被积函数和积分区域的特征选择坐标系。熟练掌握直角坐标系和极坐标系下重积分的计算方法。掌握曲顶柱体体积的求法，会求由曲面围成的空间区域的体积。9.1 二重积分的概念与性质【学习方法导引】1 二重积分定义为了更

2、好地理解二重积分的定义，必须首先引入二重积分的两个“原型”，一个是几何的“原型”曲顶柱体的体积如何计算，另一个是物理的“原型”平面薄片的质量如何求。从这两个“原型”出发，对所抽象出来的二重积分的定义就易于理解了。1/11高等数学二重积分总结在二重积分的定义中，必须要特别注意其中的两个“任意”，一是将区域 D 成 n 个小区域1 , 2 ,L , n 的分法要任意，二是在每个小区域i 上的点 ( i , i )i 的取法也要任意。有了这两个“任意” ，如果所对应的积分和当各小区域的直径中的最大值0 时总有同一个极限，才能称二元函数f ( x, y) 在区域 D 上的二重积分存在。2明确二重积分的

3、几何意义。(1)若在D上 f ( x, y) ，则f (x, y)d表示以区域 D 为底，以0Df ( x, y) 为曲顶的曲顶柱体的体积。 特别地，当 f ( x, y) 1 时，f (x, y)dD表示平面区域 D 的面积。(2)若在 D 上 f (x, y) 0，则上述曲顶柱体在 Oxy 面的下方，二重积分( ,y)d 的值是负的，其绝对值为该曲顶柱体的体积f xD(3)若 f ( x, y) 在 D 的某些子区域上为正的，在 D 的另一些子区域上为负的，则f (x, y)d 表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和D(即在 Oxy 平面之上的曲顶柱体体积减去Oxy 平面之下的曲顶柱体的体

4、积 ).3二重积分的性质，即线性、区域可加性、有序性、估值不等式、二重积分中值定理都与一元定积分类似。有序性常用于比较两个二重积分的大小，估值不等式常用于估计一个二重积分的取值范围，在用估值不等式对一个二重积分估值的时候，一般情形须按求函数f ( x, y) 在闭区域D 上的最大值、最小值的方法求出其最大值与最小值，再应用估值不等式得到取值范围。2/11高等数学二重积分总结【主要概念梳理 】1.二重积分的定义设二元函数f(x,y) 在闭区域 D 上有定义且有界.分割用任意两组曲线分割 D 成 n 个小区域1,2,L,n 同，时用i 表示它们的 面积， i1,2,L , n. 其中任意两小块i

5、和j (ij )除边界外无公共点。i 既表示第 i小块 ,又表示第 i 小块的面积 .近似、求和 对任意点 ( i ,i ,作和式ni )f ( i ,i )i .i 1取极限若 i 为i 的直径，记max1, 2 ,L , n ,若极限nlimf ( i , i )i01i存在，且它不依赖于区域D 的分法，也不依赖于点( i , i ) 的取法，称此极限为 f(x,y)在 D 上的二重积分 . 记为nf (x, y)dlimf ( i , i ).D0i 1称f(x,y)为被积函数， D为积分区域， x、y为积分变元， d为面积微元(或面积元素 ).2. 二重积分( ,)d的几何意义f x

6、yD(1) 若在 D 上 f(x,y)0，则f ( x, y)d表示以区域 D 为底，以 f(x,y)D为曲顶的曲顶柱体的体积.(2) 若在 D 上 f(x,y)0，则上述曲顶柱体在Oxy 面的下方，二重3/11高等数学二重积分总结积分f (x, y)d的值是负的，其绝对值为该曲顶柱体的体积D(3) 若 f(x,y)在 D 的某些子区域上为正的， 在 D 的另一些子区域上为负的，则f (x, y)d表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和(即D在 Oxy 平面之上的曲顶柱体体积减去 Oxy 平面之下的曲顶柱体的体积).3 二重积分的存在定理3.1 若 f(x,y)在有界闭区域 D 上连续，则 f

7、(x,y)在 D 上的二重积分必存在 (即 f(x,y)在 D 上必可积 ).3.2 若有界函数 f(x,y)在有界闭区域 D 上除去有限个点或有限个光滑曲线外都连续，则 f(x,y)在 D 可积 .4 二重积分的性质二重积分有与定积分类似的性质 .假设下面各性质中所涉及的函数 f(x,y)，g(x,y)在区域 D 上都是可积的 .性质 1 有限个可积函数的代数和必定可积， 且函数代数和的积分等于各函数积分的代数和，即 f (x, y)g( x, y)df (x, y)dg(x, y)d.DDD性质 2被积函数中的常数因子可以提到积分号前面，即kf ( x, y)dk f (x, y)d为常数

8、(k).DD性质 3若 D 可以分为两个区域 D1,D2，它们除边界外无公共点，则f ( x, y)df ( x, y)df ( x, y)d.DD1D24/11高等数学二重积分总结性质 4若在积分区域D 上有 f(x,y)=1，且用 S(D)表示区域 D的面积，则dS(D).D性质 5若在 D 上处处有 f(x,y) g(x,y)，则有f ( x, y)dg( x, y)d.DD推论f ( x, y)df ( x, y) d .DD性质 6( 估值定理 )若在 D 上处处有 mf(x,y) M，且 S(D)为区域 D 的面积，则mS(D )f ( x, y)dMS(D ).D性质 7( 二重

9、积分中值定理 )设 f(x,y)在有界闭区域D 上连续，则在 D上存在一点 ( , ),使f ( x, y)df ( , ) S( D).D【基本问题导引】根据二重积分的几何意义或性质求解下列各题：1 a2dxdy，其中 D ( x, y) | x2y2a2 D2设 D 是由 x 轴， y 轴与直线 xy1所围成的区域，则I1( xy)2 d, I 2( xy) 3 d的大小关系DD是.【巩固拓展提高】1若 f(x,y)在有界闭区域 D 上连续，且在 D 的任一子区域 D*上有 f ( x, y)d 0 ，试证明在 D 内恒有 f(x,y)0D *2估计 I( x xy x2y 2 )dxdy

10、 的值，其中 D ( x, y) | 0 x 2,0 y 1.D5/11高等数学二重积分总结3设 f(x,y)是有界闭区域 D： x2y2a2 上的连续函数，则lim1f ( x, y) dxdy 的值为多少？a2a 0D【数学思想方法】二重积分是一元函数定积分的推广与发展， 它们都是某种形式的和的极限，即分割求和、取极限，故可用微元法的思想来理解二重积分的概念与性质。9.2 在直角坐标系中二重积分的计算【学习方法导引】本章的重点是二重积分的计算问题，而直角坐标系中二重积分的计算问题关键是如何确定积分区域及确定X 型区域还是 Y 型区域，这也是本章的难点。直角坐标系中二重积分计算的基本技巧：(

11、1)在定积分计算中，如果D 的形状不能简单地用类似1 ( x)y2 ( x) 或1( y)x2 ( y) 的形式来表示，则我们可以将 Da xbc yd分成若干块，并由积分性质f ( x, y)df ( x, y)df ( x, y)d .DD1D2对右端各式进行计算。(2)交换积分次序不仅要考虑到区域D 的形状，还要考虑被积函数的特点。如果按照某一积分次序的积分比较困难，若交换积分次序后，由于累次积分的积分函数(一元积分 )形式发生变化，可能会使新的积分次序下的积分容易计算，从而完成积分的求解。但是无论是先对x6/11高等数学二重积分总结积分，再对 y 积分，还是先对 y 积分，再对 x 积

12、分最终计算的结果应该是相同的。一般的处理方法是由积分限确定积分区域 D，并按照新的积分次序将二重积分化成二次积分。具体步骤如下：确定 D 的边界曲线，画出 D 的草图；求出 D 边界曲线的交点坐标；将 D 的边界曲线表示为x 或 y 的单值函数；考虑是否要将D 分成几块；用 x,y 的不等式表示 D.注：在积分次序选择时，应考虑以下几个方面的内容： ()保证各层积分的原函数能够求出； ()若 D 为 X 型(Y型),先对 x(y)积分；()若 D 既为 X 型又为 Y 型，且满足 ()时，要使对 D 的分块最少。(3) 利用对称性等公式简化计算设 f(x,y)在区域 D 上连续，则当区域 D

13、关于 x 轴对称若 f (x, y)f ( x, y) ，则f (x, y)d 0；D若 f (x, y)f ( x, y) ，则f ( x, y)d 2 f ( x, y)d，其中 D1为 D 在DD1x 轴上方部分。当区域 D 关于 y 轴对称若 f ( x, y)f ( x, y) ，则 f (x, y)d0；D若 f ( x, y)f ( x, y) ，则 f ( x, y)d2 f ( x, y)d，其中 D2为 D 在DD2y 轴右侧部分。当区域 D 关于 x 轴和 y 轴都对称7/11高等数学二重积分总结若 f (x, y)f ( x, y) 或 f (x, y)f ( x, y

14、) ，则f ( x, y)dD若 f (x, y)f ( x, y) f (x, y) ，则f ( x, y)d 4f (x, y)dDD1D 在第一象限部分。0；，其中 D1 为轮换对称式设 D 关于直线 yx 对称，则( ,)d( ,)d.f x yf y xDD【基本问题导引】一判断题1xydxdy= 4 xydxdy, D : x2y24; D1 : x2y 24, x 0, y 0 (DD12. 若 f 为连续函数，则1x222x1ydxf ( x, y)dydx0f ( x, y)dy0dyf ( x, y)dx(0012y【主要概念梳理 】直角坐标系中二重积分计算y当被积函数 f

15、(x,y)0且在 D上连续时,Dab1 (x)y2 (x)oy 1 ( x)若D为 X- 型区域D :xba)x则f ( x, y)d x d yb2 ( x )d xf ( x, y)d yDa1 ( x)若D为Y型区域D:1 ( y)x2 ( y) ,cyd则f (x, y)d xd yd2 ( y)d yf (x, y)d xDc1 ( y)yxdxc1 ( y)o2 ( y)x说明 :若积分区域既是X型区域又是 Y 型区域 , 则有f ( x, y)d x d yb2 (x )d2 ( y)d x1 ( x)f ( x, y)d yd yf (x, y)d xDac1 ( y)【巩固拓

16、展提高】1y1y1.(1992) 计算 I12dy 1yye xdx1dye xdx.422y8/11高等数学二重积分总结xx12.设 f ( x)e ydy ，计算 f ( x)dx .109.3 在极坐标系中二重积分的计算【学习方法导引】极坐标系中二重积分计算的基本技巧：(1)一般地，如果积分区域是圆域、扇形域或圆环形域，且被积函数为 f ( x2y2 ),f ( y ), f ( x ) 等形式时，计算二重积分时，往往采用极坐标系来计算。xy【基本问题导引】1.若二重积分的积分区域 D 是 1 x2y24, 则dxdy。D2设 D : x2y2a2 , x 0,( a 0). 将二重积分

17、 If ( x, y)dD形式的二次积分，则I3设 D : a2x2y2b2 ,0 a b. 将二重积分 If (x, y)dD形式的二次积分，则I化为极坐标.化为极坐标.【主要概念梳理 】利用极坐标系计算二重积分在极坐标系下 , 用同心圆 r=常数及射线=常数 , 分划区域 D 为k (k1, 2, L , n) 。则f ( x, y)dDf (r cos , r sin )r d r dD特别地D r2 ( )若 D :1( ) r 2 ( )r1( ),o则有f (r cos , r sin )r d r d2 ()df ( r cos , r sin )r d rD1 ( )r2 (

18、)9/11o高等数学二重积分总结0 r( )若 D :则有f (r cos( ), r sin ) r d r ddf (r cos , r sin ) r d rD00 r()若 D :20r ( )Do则有f (r cos, r sin ) r d r d2( ),r sin ) r d rdf (r cosD00【巩固拓展提高】1计算二重积分：|1x2y2 | d, 其中 D : x2y24.D2设 D : x2y21, x0, y0. 计算二重积分：ln( x2y 2 1)d .D9.4 二重积分的应用【学习方法导引】二重积分的应用主要在几何方面和物理方面。几何应用之一是求曲线所围成的面积， 应用之二是求曲面所围成的立体的体积；物理应用主要是平面薄片的质量。【主要概念梳理 】(1) 空间立体的体积 V设空间立体由曲面1 : zf ( x, y) 与2 : zg( x, y) 所围成，在 xoy面投影为平面区域D，并且 f ( x, y)g( x, y) . 则V f ( x, y)g( x, y)d或 Vdv .D(2) 曲面面积 S设