第1章第3节古典概型与几何概型(2)综合讲练

1、概率论与数理统计 第1章 随机事件及其概率 第3节 古典概型与几何概型 综合讲练、全面学习基本内容（见教材、课件）、概括内容提要（见教材、课件）、归纳常见题型（必做题）题型二 几何概型的计算l 提示（1）计算公式确认该问题（试验）满足“无限性”及“均匀性”后，即可求出事件发生的概率为：（2）方法“画” ：先用集合表示该试验的样本空间及事件，并画出对应的区域及区域的草图，再计算出与【补例1.3.10】【补例1.3.13】【例7】（P14例5），【例8】（P15例6）；【习题13 EX12】（P17）；【总习题一 EX14】（P29）.一幅图胜过千句话 ！ 题型二 几何概型的计算l 提示（1）计算

2、公式确认该问题（试验）满足“无限性”及“均匀性”后，即可求出事件发生的概率为：（2）方法“画” ：先用集合表示该试验的样本空间及事件，并画出对应的区域及区域的草图，再计算出与l 辨析几何概型的假设条件（1）无限性： 随机试验的基本事件总数（对应于样本点总数）为无限不可列个，且随机试验的样本空间是中的一个可度量的区域（可求其长度、面积、体积等）；（2）均匀性：每一个基本事件出现相当于向区域中均匀地投掷一个样本点“”，即每一个样本点出现的可能性相同（对应于每一个基本事件出现的可能性相同），如图1.3-1所示.图1.3 - 1 ( 2 维空间中的区域 )样本点“” 落入区域中任意子区域的可能性与区域

3、的度量成正比，而与其位置形状无关【补例1.3.10】某公共汽车站每隔10min(分钟)有一辆汽车到达，一位乘客到达车站的时间（时刻）是任意的，求.（1）他到站后等候的时间不超过3min(分钟)的概率；（2）他到站后等候的时间超过3min(分钟)的概率；（3）他到站后等候的时间恰好为3min(分钟)的概率；（4）他到站后不用等车的概率.【解】（1）设事件= 他等候的时间不超过3min(分钟) 先用集合表示该试验的样本空间及事件，得（ 样本点 - 对应基本事件“每一个乘客到站的时刻为”，其中为上一班列车到站的时刻，可取；的单位：时分 ）( 1 维空间中的区域（区间）)于是，他到站后等候的时间不超过

4、3min(分钟)的概率为：同理，可得（2）他到站后等候的时间超过3min(分钟) （设为）的概率为：( 1 维空间中的区域（区间）)（3）他到站后等候的时间恰好为3min(分钟) （设为）的概率为：( 1 维空间中的区域（区间）)（4）他到站后不用等车的“人到车到” （设为）的概率为： ( 1 维空间中的区域（区间）)l 辨析 不可能事件的概率为0，即（概率的性质1）；但概率为0的事件不一定是不可能事件（ 反例： ） 必然事件的概率为1，即（公理1）；但概率为1的事件不一定是必然事件（ 反例： ） 两个事件相等则两个事件的概率相等（逻辑推断）；但两个事件的概率相等不能推出两个事件相等（ 反例：

5、 ）【补例1.3.11】两艘轮船都要停靠同一泊位，它们可能在一昼夜的任意时间到达，舌两船停靠泊位的时间分别为小时和小时，求一艘轮船停靠泊位时，需要等待空出码头的概率. 【解】设事件= 一艘轮船停靠泊位时，需要等待空出码头 轮船甲停靠泊位时，需要等待空出码头 + 轮船乙停靠泊位时，需要等待空出码头 = 轮船乙先到泊位，轮船甲需要等待小时后才能停靠泊位 + 轮船甲先到泊位，轮船乙需要等待小时后才能停靠泊位 先用集合表示该试验的样本空间及事件，得（ 样本点 - 对应基本事件“轮船甲、乙到达泊位的时刻分别为、” ，单位：时，）l 注意： ( 2 维空间中的区域（平面区域）)于是，所求事件的概率为：【补

6、例1.3.12】设某吸毒人员强制戒毒期满后在家接受监控，监控期为单位时间，该期间内随时可提取尿样化验，设该人员随时可能复吸且复吸后单位时间内尿样呈阳性反应，求该人员复吸并被检验出的概率.【解】设事件= 该人员复吸并被检验出 先用集合表示该试验的样本空间及事件，得（ 样本点 - 对应基本事件“该人员复吸的时刻、被检验出的时刻分别为、” ，、的单位：时分 ）( 2 维空间中的区域（平面区域）)于是，所求事件的概率为：【补例1.3.13】从区间内任取两个数，求这两个数的积小于等于的概率.【解】设事件= 从区间内任取两个数，求这两个数的积小于 先用集合表示该试验的样本空间及事件，得（ 样本点 - 对应

7、基本事件“从区间内任取两个数分别为、” ）( 2 维空间中的区域（平面区域）)于是，所求事件的概率为：【例7】（教材P15例5）【解】设事件= 他（她）等待的时间短于10分钟 先用集合表示该试验的样本空间及事件，得（ 样本点 - 对应基本事件“他（她）到站的时刻为”，其中为电台上一次报时的时刻，可取；的单位：时分 ）( 1 维空间中的区域（区间）)于是，他到站后等候的时间不超过3min(分钟)的概率为：【例8】（教材P16例5）【解】设事件= 两人能会面 先用集合表示该试验的样本空间及事件，得（ 样本点 - 对应基本事件“甲、乙两人到达指定地点的时刻分别为、” ，单位：分，）l 注意 ( 2 维空间中的区域（平面区域）)于是，所求事件的概率为：【习题13 EX12】（P17）【解】设事件= 甲乙同乘一辆车 （1）见车就乘 先用集合表示该试验的样本空间及事件，得（ 样本点 - 对应基本事件“甲、乙两人到达车站的时刻分别为、” ，单位：分（以1点为起始时刻），）( 2 维空间中的区域（平面区域）)于是，所求事件的概率为：（2）最多等一辆车 先用集合表示该试验的样本空间及事件，得（ 样本点 - 对应基本事件“甲、乙两人到达车站的时刻分别为、” ，单位：分（以1点为起始时刻），）( 2 维空间中的区域（平面区域）)于是，所求事件的概率为：【总习题一 EX14】（P29）【解】