可控性与可观性实用教案

1、现代现代(xindi)控制控制论中：论中：系统系统(xtng)复杂：复杂：MIMO，高阶，时变，非线性等，高阶，时变，非线性等系统系统(xtng)模型：状态方程输出方程模型：状态方程输出方程 输入是否使状态发生希望(xwng)的变化？ 可控性问题 要使状态发生某种变化，输入？ 最优控制问题由于由于 输出输出状态，状态状态，状态输入输入所以所以 要得到理想的输出，首先要得到理想的输出，首先要控制好状态要控制好状态 使输出随状态发生变化使输出随状态发生变化（1） 输入输入状态间的问题：状态间的问题：第1页/共99页第一页，共100页。（2） 输出输出状态间的问题：状态间的问题： 状态可否从输出得到

2、？状态可否从输出得到？ 可观测可观测(gunc)性问题性问题 如何从输出得到？如何从输出得到？ 最优估计问题最优估计问题C可控性、可观性为现代控制理论的基础，是现代可控性、可观性为现代控制理论的基础，是现代控制理论应用的前提条件！控制理论应用的前提条件！C 什么什么(shn me)(shn me)是可控性？可观测性？如何判断？是可控性？可观测性？如何判断？第2页/共99页第二页，共100页。可控性：可控性：系统系统(xtng)输入对系统输入对系统(xtng)状态的有状态的有效控制能力效控制能力可观可观(kgun)性：性：系统输出对系统状态的确切反映系统输出对系统状态的确切反映(fnyng)能力

3、能力状态可控？系统可控？状态可控？系统可控？状态不可控？系统不可控？状态不可控？系统不可控？状态可观测？状态可观测？ 系统可测观？系统可测观？状态不可观测？状态不可观测？ 系统不可观测？系统不可观测？问题：问题：第3页/共99页第三页，共100页。xxx11111001/yudtdxxx11101001/yudtdxxx01111001/yudtdxxx01011011/yudtd分析如下分析如下(rxi)4个系统的可控性和可观测性：个系统的可控性和可观测性：第4页/共99页第四页，共100页。xxx11111001/yudtd111x2xuy第5页/共99页第五页，共100页。xxx0111

4、1001/yudtd11yu1x2x第6页/共99页第六页，共100页。xxx11101001/yudtd11yu1x2x第7页/共99页第七页，共100页。xxx01011011/yudtd11yu1x2x第8页/共99页第八页，共100页。2.6.2 2.6.2 可控性定义可控性定义(dngy)(dngy)及及其判据其判据2.6.2.1可控性定义可控性定义(dngy)：线性时变连续线性时变连续(linx)系统的状态方程系统的状态方程为：为：)()()()()(tttttuBxAxfTt状态可控性状态可控性：对于线性时变连续系统，如果对取定初始时刻对于线性时变连续系统，如果对取定初始时刻 的

5、的一个一个非零非零初始状态初始状态 ， 存在一个时刻存在一个时刻 ，00)(xtxfTt 010,),(ttttufTt 1和一个和一个无约束无约束的容许控制的容许控制使状态由使状态由00)(xtx转移到转移到1t时的时的0)(1tx则称此则称此0 x在在0t是可控的。是可控的。01tt 第9页/共99页第九页，共100页。系统系统(xtng)可控可控性：性：对于线性时变连续系统，如果所有状态在对于线性时变连续系统，如果所有状态在 )(0fTt 则称系统在则称系统在都是可控的，都是可控的，0t时刻是完全可控的，也称系统在时刻是完全可控的，也称系统在 t0 是可控的。是可控的。0t系统系统(xt

6、ng)不不可控：可控：对于线性时变连续系统，取定初始时刻对于线性时变连续系统，取定初始时刻 如果状态空间中存在一个或一些非零状态在时刻如果状态空间中存在一个或一些非零状态在时刻是不可控的，则称系统在是不可控的，则称系统在 时刻是不完全可控的，时刻是不完全可控的，也称系统不可控。也称系统不可控。0t)(0fTt 0t0t第10页/共99页第十页，共100页。几点说明几点说明(shumng)：（1）未限制状态）未限制状态(zhungti)转移的轨迹。可控性只表征转移的轨迹。可控性只表征系统状态系统状态(zhungti)运动的一个定性特性运动的一个定性特性 。 fttiTttdtu,020（2）定义

7、中对控制量的每个分量的大小并未限制，只要求控）定义中对控制量的每个分量的大小并未限制，只要求控制量制量u是容许控制的，这表明控制量的每个分量应在时间区间是容许控制的，这表明控制量的每个分量应在时间区间(q jin)Tf上平方可积：上平方可积：（3）定义是相对于时间区间定义是相对于时间区间T Tf f中的一个取定时刻来定义的，中的一个取定时刻来定义的，对于线性时变系统是完全必要的，而对于线性定常系统，对于线性时变系统是完全必要的，而对于线性定常系统，系统的可控性与初始时刻的选取无关系统的可控性与初始时刻的选取无关。CC可控性仅与系统本身有关，与输入量无关！可控性仅与系统本身有关，与输入量无关！C

8、C t1=?第11页/共99页第十一页，共100页。（4）定义中规定由非零状态转移到零状态。如果将其）定义中规定由非零状态转移到零状态。如果将其变更变更(bingng)为由零状态转移到非零状态，则称这种为由零状态转移到非零状态，则称这种情况为状态可达或系统可达。对于线性定常系统，可情况为状态可达或系统可达。对于线性定常系统，可控性与可达性等价。控性与可达性等价。若系统在若系统在 ), 00t则系统在则系统在0t上完全可控。上完全可控。时刻是完全可控的时刻是完全可控的，), 00t(5)对线性定常连续(linx)系统：)()()(tttBuAxx0)0(xx0t第12页/共99页第十二页，共10

9、0页。2.6.2.2 可控性判据可控性判据(pn j)线性时变连续系统在线性时变连续系统在 01tt 使得使得Gram矩阵矩阵0t为非奇异的或是正定的。为非奇异的或是正定的。时刻可控的充要条件为：时刻可控的充要条件为：存在某个有限时刻存在某个有限时刻dtBBtttWTTttct),()()(),(),(110110（1）Gram矩阵判据(pn j)（判别原理？）CC 可控性仅与状态方程中的系统矩阵和控制可控性仅与状态方程中的系统矩阵和控制(kngzh)矩阵有关！矩阵有关！分析：第13页/共99页第十三页，共100页。线性定常连续系统线性定常连续系统 01t使如下定义的使如下定义的Gram矩阵矩

10、阵为非奇异的或是正定的。为非奇异的或是正定的。完全可控的充要条件为：完全可控的充要条件为：存在时刻存在时刻deBBetWtATttAtcT10)0 ,(1线性定常连续系统线性定常连续系统Gram矩阵矩阵(j zhn)判据：判据：第14页/共99页第十四页，共100页。（2）秩判据）秩判据(pn j)假设线性时变连续系统的假设线性时变连续系统的A(t)和和B(t) 的每个元素的每个元素分别是分别是n-2和和n-1次连续可微函数，并记次连续可微函数，并记 )()(1tBtB使得使得01tt 令令则该线性时变系统在则该线性时变系统在t0时刻完全可控。时刻完全可控。如果存在某个时刻如果存在某个时刻11

11、( )( )( )( ), 2,3,.iiiB tA t BtBtin )(.)()()(21tBtBtBtMntntrankMt)(1第15页/共99页第十五页，共100页。线性定常连续系统完全可控的充要条件为线性定常连续系统完全可控的充要条件为： 其中其中n为系数矩阵为系数矩阵A的阶次的阶次nBAABBrankn).(1线性定常连续系统线性定常连续系统(xtng)秩判据秩判据).(1BAABBMn系统系统(xtng)的可控性矩阵的可控性矩阵 ：CC n行行 nm列，如何确定列，如何确定(qudng)秩为多秩为多少？计算技巧？少？计算技巧？第16页/共99页第十六页，共100页。（3）PBH

12、判据(pn j)（Popov-Belevitch-Hautus判据(pn j)）线性定常连续系统完全可控的充分必要条件是对线性定常连续系统完全可控的充分必要条件是对系统矩阵的所有特征值系统矩阵的所有特征值 ),.2 , 1(nisinBAIsranki)(其中其中n为系数矩阵为系数矩阵A的阶次的阶次第17页/共99页第十七页，共100页。（4）约当规范(gufn)型判据),.2 , 1(nisiuBxsssxn0.0211） 若系统矩阵若系统矩阵A的特征值的特征值互异且互异且则线性定常连续系统完全可控的充要条件为矩阵则线性定常连续系统完全可控的充要条件为矩阵不包含全为不包含全为0的行。的行。B

13、第18页/共99页第十八页，共100页。),.2 , 1(nisi2）当）当 系统矩阵系统矩阵A的特征值的特征值 有相同的有相同的其中，设有其中，设有q-l个相同特征值个相同特征值uBxAx1s有有l个相同特征值个相同特征值qs其余为互异特征值其余为互异特征值第19页/共99页第十九页，共100页。nqqqqqsssssssssA0.001.10101.10121111q-ll第20页/共99页第二十页，共100页。小结（可控性判别要素）：小结（可控性判别要素）： （1）状态化成）状态化成(hu chn)零；零； （2）仅与状态方程有关；）仅与状态方程有关； （3）不是求出一个）不是求出一个

14、u(t1) ，而是判断其存在否！，而是判断其存在否！则系统则系统(xtng)可控的充要条件是：可控的充要条件是：(b)对应于对应于 互异特征值部分，互异特征值部分， 中没有元素全为零中没有元素全为零的行。的行。BA(a) 对应于对应于 的相同特征值部分，的相同特征值部分， 中与每个约当中与每个约当 块最后一行相对应的一行元素不全为零；块最后一行相对应的一行元素不全为零；BA第21页/共99页第二十一页，共100页。若在有限时间间隔若在有限时间间隔 ,10tt输出输出y(t1),则称此系统是输出完全可控。则称此系统是输出完全可控。内，存在无约束分段连续内，存在无约束分段连续函数函数u(t)，能使

15、任意初始输出，能使任意初始输出y(t0)转移到任意最终转移到任意最终2.6.2.3 输出输出(shch)可控性及其可控性及其判据判据定义定义(dngy) ：第22页/共99页第二十二页，共100页。判据判据(pn j)：)()()(ttytDuCxBuAxx线性定常连续线性定常连续(linx)系统的状态方程表达式为：系统的状态方程表达式为：系统输出完全系统输出完全(wnqun)可控的充分必要条可控的充分必要条件是：件是：).(1DBCACABCBMny的秩等于输出向量的维数，即的秩等于输出向量的维数，即mrankMy第23页/共99页第二十三页，共100页。 2.6.3 可观测性定义(dngy

16、)及其判据2.6.3.1 可观测可观测(gunc)性定义：性定义：设线性时变连续设线性时变连续(linx)系统的状态方程和输出方程系统的状态方程和输出方程为：为：A(t), B(t), C(t) ,D(t) : nnrn)()()()()()(ttttytttuDxCuB)xA(xfTt00)(xtxrmnm第24页/共99页第二十四页，共100页。系统系统(xtng)可观测性：可观测性：对于线性时变连续系统，如果对取定初始时刻对于线性时变连续系统，如果对取定初始时刻 fTt 010,tttfTt 1系统的输出系统的输出y唯一唯一确定确定状态向量的初值状态向量的初值则称系统在时间区间则称系统在

17、时间区间是完全可观测的是完全可观测的0 x存在一个时存在一个时刻可以根据可以根据10,tt简称系统可观测。简称系统可观测。CC 可观性反映可否通过可观性反映可否通过y(t) 确定确定(qudng)x(t)问题问题CC 如何如何(rh)确定确定?CC可观测可测量？可观测可测量？CC研究表明，系统可观性与输入无关！研究表明，系统可观性与输入无关！第25页/共99页第二十五页，共100页。系统不可系统不可(bk)观测：观测：对于线性时变连续系统，如果对取定初始时刻对于线性时变连续系统，如果对取定初始时刻 fTt 010,tttfTt 1系统的输出系统的输出y不能不能唯一唯一确定状态向量的初值确定状态

18、向量的初值则称系统在时间区间则称系统在时间区间是不完全可观测的是不完全可观测的)(0txi存在一个时刻存在一个时刻对于所有对于所有10,tt简称系统不可观测。简称系统不可观测。第26页/共99页第二十六页，共100页。2.6.3.2 2.6.3.2 可观测可观测(gunc)(gunc)性判性判据据（1）Gram矩阵(j zhn)判据（判别原理？）时刻可观测的充要条件为：时刻可观测的充要条件为：线性时变连续系统在线性时变连续系统在 01tt 使得使得Gram矩阵矩阵0t为非奇异的或是正定的。为非奇异的或是正定的。存在某个有限时刻存在某个有限时刻dtCCtttWttTTot),()()(),(),

19、(000110其中：其中：),(0tT为状态转移矩阵。为状态转移矩阵。第27页/共99页第二十七页，共100页。线性定常连续线性定常连续(linx)系统系统Gram矩阵判据：矩阵判据：01t使如下定义的使如下定义的Gram矩阵矩阵为非奇异的或是正定的。为非奇异的或是正定的。完全可观测的充要条件为，完全可观测的充要条件为，存在时刻存在时刻deCetWAtTttAoT101)0 ,(线性定常连续系统线性定常连续系统第28页/共99页第二十八页，共100页。（2）秩判据(pn j)假设线性时变连续系统的假设线性时变连续系统的A(t)和和B(t) 的每个元素的每个元素分别是分别是n-2和和n-1次连续

20、可微函数，并记次连续可微函数，并记 )()(1tCtC使得使得01tt 令令则该线性时变系统在则该线性时变系统在t0时刻完全可观测。时刻完全可观测。如果存在某个时刻如果存在某个时刻,.3 , 2),()()()(11itCtAtCtCiii)(.)()()(21tCtCtCtNntntrankNt)(1第29页/共99页第二十九页，共100页。线性定常连续系统线性定常连续系统(xtng)秩判据：秩判据：N 称为系统称为系统(xtng)的可观测矩阵（几行几的可观测矩阵（几行几列？）。列？）。线性定常连续系统完全可观测的充要条件为：线性定常连续系统完全可观测的充要条件为： 其中其中n为系统矩阵为系

21、统矩阵A的阶次的阶次nCACACrankrankNn1.第30页/共99页第三十页，共100页。（3）Popov-Belevitch-Hautus判据(pn j)线性定常连续系统完全可观测的充分必要条件是线性定常连续系统完全可观测的充分必要条件是对系统矩阵的所有特征值对系统矩阵的所有特征值 ),.2 , 1(nisinAIsCranki其中其中n为系统矩阵为系统矩阵A的阶次。的阶次。第31页/共99页第三十一页，共100页。（4）约当规范(gufn)型判据),.2 , 1(nisixCyuBxsssxn0.0211） 系统矩阵系统矩阵A的特征值的特征值互异互异线性定常连续系统完全可观测的充分必

22、要条件为矩线性定常连续系统完全可观测的充分必要条件为矩阵阵不包含全为不包含全为0的列。的列。C第32页/共99页第三十二页，共100页。),.2 , 1(nisi2） 系统矩阵系统矩阵A的特征值的特征值有相同的有相同的其中，设有其中，设有q-l个相同特征值个相同特征值xCy1s有有l个相同特征值个相同特征值qs其余为互异特征值其余为互异特征值第33页/共99页第三十三页，共100页。mnmmnncccccccccC.212222111211(a) 中对应于中对应于A的相同特征值部分，其第一列元的相同特征值部分，其第一列元素不全为零；素不全为零；C(b) 中对应于中对应于A的互异特征值部分，没有

23、元素全的互异特征值部分，没有元素全为零的列。为零的列。C第34页/共99页第三十四页，共100页。2.6.4 2.6.4 对偶原理对偶原理2.6.4.1 线性定常系统线性定常系统(xtng)的对偶关的对偶关系系有两个线性定常系统，一个系统有两个线性定常系统，一个系统11111111,xCyuBxAx),(1111CBA另一个系统为另一个系统为),(2222CBA22222222,xCyuBxAx第35页/共99页第三十五页，共100页。),(1111CBA是一个是一个r维输入维输入，m维输出维输出的的 n阶系统阶系统是一个是一个m维输入维输入，r维输出维输出的的 n阶系统阶系统),(2222C

24、BATTTBCCBAA121212,若系统满足下述条件，则称若系统满足下述条件，则称互为互为对偶系统：对偶系统：),(1111CBA),(2222CBA注意注意(zh y)：第36页/共99页第三十六页，共100页。2.6.4.2 线性时变线性时变(sh bin)系统的对偶关系系统的对偶关系有两个线性时变系统，一个系统有两个线性时变系统，一个系统11111111)(,)()(xtCyutBxtAx另一个系统为另一个系统为22222222)(,)()(xtCyutBxtAx)(),(),(1111tCtBtA)(),(),(2222tCtBtA)()(),()(),()(121212tBtCtC

25、tBtAtATTT若系统满足下述条件，则称若系统满足下述条件，则称互为对偶系统：互为对偶系统：)(),(),(1111tCtBtA)(),(),(2222tCtBtA第37页/共99页第三十七页，共100页。若若), (01tt)(),(),(1111tCtBtA为系统为系统的状态转移矩阵的状态转移矩阵)(),(),(2222tCtBtA), (02tt为系统为系统的状态转移矩阵的状态转移矩阵互为对偶的两个系统的状态转移矩阵互为对偶的两个系统的状态转移矩阵互为转置逆，即互为转置逆，即),(), (0102ttttT第38页/共99页第三十八页，共100页。2.6.4.3 线性系统的对偶原理线性

26、系统的对偶原理若线性定常系统若线性定常系统是互为对偶的两个系统，则是互为对偶的两个系统，则),(1111CBA),(2222CBA系统系统),(1111CBA),(2222CBA的可控性等价于系统的可控性等价于系统的可观测性；的可观测性；系统系统),(1111CBA),(2222CBA的可观测性等价于系统的可观测性等价于系统的可控性。的可控性。反之亦然反之亦然第39页/共99页第三十九页，共100页。)(),(),(1111tCtBtA)(),(),(2222tCtBtA若线性时变系统若线性时变系统是互为对偶的两个系统，则是互为对偶的两个系统，则反之亦然反之亦然系统系统的可观测性等价于系统的可

27、观测性等价于系统的可控性。的可控性。)(),(),(1111tCtBtA)(),(),(2222tCtBtA则系统则系统的可控性等价于系统的可控性等价于系统的可观测性；的可观测性；)(),(),(1111tCtBtA)(),(),(2222tCtBtA第40页/共99页第四十页，共100页。2.6.5 2.6.5 线性离散系统的可控性和可观测线性离散系统的可控性和可观测(gunc)(gunc)性性2.6.5.1 线性离散系统的可控性与可达性线性离散系统的可控性与可达性线性时变线性时变(sh bin)离散系统的状态方程离散系统的状态方程为：为：kTkkukBkxkAkx ),()()()() 1

28、(可控性：可控性：如果对初始时刻如果对初始时刻 和状态空间中的所有非零和状态空间中的所有非零状态状态 ，都存在时刻，都存在时刻 ，ml, 和对应的控制和对应的控制u(k), 使得使得x(m)=0，则称系统在时刻，则称系统在时刻l 完全可控。完全可控。kTl)(lxkTm第41页/共99页第四十一页，共100页。如果对初始时刻如果对初始时刻 和初始和初始x(l)=0，存在时刻，存在时刻 ，ml, 和相应的控制和相应的控制u(k), 使使x(m)可为状态空间中的可为状态空间中的任意非零状态，则称系统在时刻任意非零状态，则称系统在时刻l 完全可达。完全可达。kTlkTm可达性：可达性：可控性与可达性

29、等价可控性与可达性等价(dngji)条件：条件：（1）对线性时变系统，等价的充要条件是：对所）对线性时变系统，等价的充要条件是：对所有有 ，系统矩阵，系统矩阵A(k)为非奇异。为非奇异。（2）对线性定常系统，等价的充要条件是系统矩）对线性定常系统，等价的充要条件是系统矩阵阵A为非奇异。为非奇异。（3）若离散系统状态空间表达式是由相应的连续）若离散系统状态空间表达式是由相应的连续系统模型离散化得来，则恒等价。系统模型离散化得来，则恒等价。lmlk ,第42页/共99页第四十二页，共100页。线性定常离散系统可控性判据线性定常离散系统可控性判据(pn j)：记：记：BAABBMn-1 . 称称 M

30、 为系统的可控性矩阵为系统的可控性矩阵(j zhn)，则线性定常离散，则线性定常离散系统完全可控的充要条件是：系统完全可控的充要条件是：nMrank 因因 M 为为 n nr 矩阵矩阵(j zhn)，上面充要条件又等，上面充要条件又等价于：价于：0detTMMCC 由于由于 M 的行数总小于列数，因此在计算时只要的行数总小于列数，因此在计算时只要所选取的列能判定出其秩为所选取的列能判定出其秩为 n ，就不必将其余项都，就不必将其余项都列出。列出。第43页/共99页第四十三页，共100页。例题例题(lt)：011000 , 041020122BA2.6.5.2 线性离散系统的可观测线性离散系统的

31、可观测(gunc)性性线性时变线性时变(sh bin)离散系统的状态空间表达式离散系统的状态空间表达式为：为：kTkkDkxkCkykukBkxkAkx ),()()()()()()()() 1(第44页/共99页第四十四页，共100页。线性定常离散系统可观测线性定常离散系统可观测(gunc)性判据：性判据：系统系统(xtng)可观测性：可观测性：记：记：1.nCACACN如果对初始时刻如果对初始时刻 的任一非零初始状态的任一非零初始状态 ，都存在有限时刻都存在有限时刻 ，ml, 且可由离散时间区且可由离散时间区间间 内的输出内的输出 y(k) 唯一地确定唯一地确定 x0，则称系统，则称系统在

32、时刻在时刻l 完全可观测。完全可观测。kTl0)(xlxkTmml ,第45页/共99页第四十五页，共100页。称称 N 为系统的可观测为系统的可观测(gunc)矩阵，则线性定常矩阵，则线性定常离散系统完全可观测离散系统完全可观测(gunc)的充要条件是：的充要条件是：nNrank 例题例题(lt)：TCA112 , 203120101第46页/共99页第四十六页，共100页。2.6.6 2.6.6 在在ss平面上的可控性和可观测性判别平面上的可控性和可观测性判别(pnbi)(pnbi)方法方法2.6.6.1 状态状态(zhungti)空间表达式与传递空间表达式与传递函数（阵）函数（阵） 考虑

33、单输入单输出线性定常系统，其状态(zhungti)空间表达式为 假设初值为零，上式两边取拉氏变换假设初值为零，上式两边取拉氏变换xxxCybuA,)()()()()(1sCXsYsbUAsIsX第47页/共99页第四十七页，共100页。u-x间的传递函数为：间的传递函数为：bAsIsUsXsGux1)()()()(u-y间的传递函数为：间的传递函数为： bAsICsUsYsG1)()()()(第48页/共99页第四十八页，共100页。由于由于(yuy) AsIAsIadjAsI)()(1因此因此(ync)，u-x间与间与u-y间的传递函数可写为间的传递函数可写为 AsIsD)(CC 二者拥有相

34、同的分母，二者拥有相同的分母，为系统特征式为系统特征式 AsIbAsIadjsUsXsGux)()()()(bAsIadjCAsIsUsYsGuy)(1)()()(第49页/共99页第四十九页，共100页。考虑多输入考虑多输入(shr)多输出线性定常系统，其状态空间多输出线性定常系统，其状态空间表达式为表达式为 假设假设(jish)初值为零，上式两边取拉氏变换初值为零，上式两边取拉氏变换uxuxxDCyBA)()()()()()()(11sDUsBUAsICsYsBUAsIsX第50页/共99页第五十页，共100页。u-x间的间的传递函数阵传递函数阵为为 BAsIsUsXsWux1)()()(

35、)(u-y间的间的传递函数阵传递函数阵为为 DBAsICsUsYsW1)()()()()(),(sWsWux为传递函数阵为传递函数阵 第51页/共99页第五十一页，共100页。)(1)()()(AsIDBAsICadjAsIsUsYsWAsIBAsIadjsUsXsWux)()()()(C二者也拥有相同的分母，为系统特征式二者也拥有相同的分母，为系统特征式 。C 同一系统，不同状态同一系统，不同状态(zhungti)空间表达式，同空间表达式，同一传递函数阵！一传递函数阵！u-x间与间与u-y间的传递函数又可写为间的传递函数又可写为 ：第52页/共99页第五十二页，共100页。2.6.6.2 可

36、控、可观测可控、可观测(gunc)系统的传递函数（阵）系统的传递函数（阵）特性特性或传递函数阵或传递函数阵 中不出现相约现象。中不出现相约现象。 系统状态完全可控的充分必要条件是在传递函数系统状态完全可控的充分必要条件是在传递函数 )(sGux)(sWux如果相约，则在被约去的模态中，系统不可控。如果相约，则在被约去的模态中，系统不可控。或传递函数阵或传递函数阵 中不出现相约现象。中不出现相约现象。 系统状态完全可观测的充分必要条件是在传递函数系统状态完全可观测的充分必要条件是在传递函数 )(sG)(sW如果相约，则在被约去的模态中，系统不可观测。如果相约，则在被约去的模态中，系统不可观测。例

37、题例题(lt)（书上）（书上） 原因？原因？ （见系统分解部分！）（见系统分解部分！）第53页/共99页第五十三页，共100页。2.6.7 可控规范可控规范(gufn)型和可观测规范型和可观测规范(gufn)型型状态变量选择状态变量选择(xunz)不同不同经相似（非奇异经相似（非奇异(qy)）变换变换状态空间表达式不同状态空间表达式不同 规范型规范型可观测规范型可观测规范型可控规范型可控规范型约当规范型约当规范型对角矩阵对角矩阵CC前两种便于计算状态转移矩阵和判断系统可控性、可观测前两种便于计算状态转移矩阵和判断系统可控性、可观测性；性；CC后两种便于系统综合和辨识；后两种便于系统综合和辨识；

38、第54页/共99页第五十四页，共100页。2.6.7.1 可控规范可控规范(gufn)型型单输入单输出单输入单输出n阶线性定常系统阶线性定常系统(xtng)状态空间表达状态空间表达式为：式为： xuxxCybA如果如果(rgu) 系统是状态完全可控的，系统是状态完全可控的，则满足则满足nbAAbbMrankn).( 1CC相似（非奇异）变换不改变系统的可控性、可观测性相似（非奇异）变换不改变系统的可控性、可观测性；C只有系统状态完全可控只有系统状态完全可控/ /可观测，才能化成可控可观测，才能化成可控/ /可观测规范型可观测规范型。CC 本节只讨论单输入本节只讨论单输入/ /单输出系统单输出系

39、统。第55页/共99页第五十五页，共100页。（1） 可控规范可控规范(gufn)I型型若系统是可控的，则存在若系统是可控的，则存在(cnzi)线性相似变换线性相似变换 11xxcT其中其中(qzhng)：1.1.101.12121211nnnncbbAbAT第56页/共99页第五十六页，共100页。使使xuxxCybA111111xxxCyubA其中其中(qzhng)12101111.10.00.00.0000.10nnccATTA1.00111bTbc11011.ncCTC可可控控规规范范(gufn)I型型第57页/共99页第五十七页，共100页。为如下为如下(rxi)特征多项式的各项特征

40、多项式的各项系数系数1A其中其中中元素中元素) 1,.,1 , 0(nii0111.sssAsInnnCbbAbCbbAbACnnnnnn11212110)(.).(1C中元素中元素为为) 1,.,1 , 0(nii相乘的结果相乘的结果:1,cTC第58页/共99页第五十八页，共100页。由可控规范由可控规范I型的状态空间表达式可直接型的状态空间表达式可直接(zhji)求得求得系统传递函数为：系统传递函数为：01110122111111.)()(ssssssbAsICsGnnnnnnnCC系统系统传函分母多项式的系数与矩阵传函分母多项式的系数与矩阵 最后一行元最后一行元素对应；素对应；CC系统

41、系统传函分子多项式的系数与矩阵传函分子多项式的系数与矩阵 元素对应。元素对应。1A1C第59页/共99页第五十九页，共100页。Examplexxx100112020113021yu求下列系统求下列系统(xtng)的可控规范的可控规范I型状态空间表达式和型状态空间表达式和传递函数传递函数:第60页/共99页第六十页，共100页。312218611642 2rankbAAbbrankrankM（a）判定）判定(pndng)系统系统的可控性的可控性系统系统(xtng)状态完全可状态完全可控控第61页/共99页第六十一页，共100页。290201130210000003sssssAsI（b）计算）计

42、算(j sun)系统特征多系统特征多项式项式则则2, 9, 0012第62页/共99页第六十二页，共100页。0921000101000102101A（c）确定）确定1A1C12)(3)(2211220CbbAbCbAbbAC12311cCTC1.00111bTbc第63页/共99页第六十三页，共100页。（d）写出规范型状态）写出规范型状态(zhungti)空间表达空间表达式式111111xxxCyubA111123100092100010 xxxyu第64页/共99页第六十四页，共100页。（2） 可控规范可控规范(gufn)II型型若系统是可控的，则存在线性相似若系统是可控的，则存在线性

43、相似(xin s)变换变换 22xxcT其中其中(qzhng).12bAAbbTnc使状态空间表达式转化成使状态空间表达式转化成222222xxxCyubA第65页/共99页第六十五页，共100页。0.01122bTbc*1*022.1ncCTC121021221.000.00.0.010.00nnccATTA第66页/共99页第六十六页，共100页。2A其中其中中元素中元素为如下特征多项式的各项系数如下特征多项式的各项系数) 1,.,1 , 0(nii0111.sssAsInnnbCAbCACbnnnn1*12*2*0.2C中元素中元素为为) 1,.,1 , 0(*njj相乘的结果相乘的结果

44、2,cTC第67页/共99页第六十七页，共100页。Examplexxx100112020113021yu求下列系统的可控规范求下列系统的可控规范II型状态型状态(zhungti)空间表达空间表达式式第68页/共99页第六十八页，共100页。（a）判定）判定(pndng)系统系统的可控性的可控性系统系统(xtng)状态完全可控状态完全可控312218611642 2rankbAAbbrankrankM第69页/共99页第六十九页，共100页。290201130210000003sssssAsI（b）计算系统）计算系统(xtng)特征多项特征多项式式则则2, 9, 0012第70页/共99页第七

45、十页，共100页。0109012001001002102A（c）确定）确定2A2C12212*2*10bCACAbCb122122cCTC001122bTbc第71页/共99页第七十一页，共100页。（d）写出规范）写出规范(gufn)型状态空间表达式型状态空间表达式222222xxxCyubA2221221001010901200 xxxyu第72页/共99页第七十二页，共100页。2.6.7.2 可观测可观测(gunc)规范型规范型仍考虑单输入仍考虑单输入(shr)n阶线性定常系统，其状阶线性定常系统，其状态空间表达式为态空间表达式为 xuxxCybA如果系统如果系统(xtng)状态是完全

46、可观测的，则满状态是完全可观测的，则满足足nCACACrankrankNTTnTTTT)(.1第73页/共99页第七十三页，共100页。（1） 可观测可观测(gunc)规范规范I型型若系统是可观测的，则存在若系统是可观测的，则存在(cnzi)线性相似线性相似变换变换 11xxoT其中其中(qzhng)1111.noCACACNT第74页/共99页第七十四页，共100页。使得使得(sh de)xuxxCybA111111xxxCyubA其中其中(qzhng)12101111.10.00.00.0000.10nnooATTA*1*1*0111.nobTb0.0111oCTC可可观观测测(gunc)

47、规规范范I型型第75页/共99页第七十五页，共100页。1A其中其中中元素中元素为如下特征多项式的各项系数：为如下特征多项式的各项系数：) 1,.,1 , 0(nii0111.sssAsInnnbCAbCACbnnnn1*12*2*0.1b中元素中元素为为) 1,.,1 , 0(*njj相乘的结果相乘的结果bTo,11第76页/共99页第七十六页，共100页。（2） 可观测可观测(gunc)规范规范II型型若系统若系统(xtng)是可观测的，则存在线性相似变换是可观测的，则存在线性相似变换 22xxoT其中其中(qzhng)CCACACATnnnno.1.01.1.121121212第77页/

48、共99页第七十七页，共100页。使得使得(sh de)xuxxCybA222222xxxCyubA其中其中(qzhng)1.0012oCTC可可观观(kgun)规规范范 II型型121021221.000.00.0.010.00nnooATTA1210122.nnobTb第78页/共99页第七十八页，共100页。2A其中其中中元素中元素为如下特征多项式的各项系数：为如下特征多项式的各项系数：) 1,.,1 , 0(nii0111.sssAsInnnCbbAbCbbAbACnnnnnn11212110)(.).(2b中元素中元素为为) 1,.,1 , 0(nii相乘的结果相乘的结果bTo,12第

49、79页/共99页第七十九页，共100页。CC可观测可观测(gunc)I型与可控型与可控II型型对偶对偶CC可观测可观测(gunc)II型与可控型与可控I型对型对偶偶TTTbCCbAA121212,TTTbCCbAA212121,分析分析(fnx)：第80页/共99页第八十页，共100页。2.6.8 2.6.8 线性定常系统结构的规范线性定常系统结构的规范(gufn)(gufn)分解分解系统系统(xtng)的状的状态变量态变量系统系统(xtng)分割成相应分割成相应子系统子系统(xtng)不可控不可观测不可控不可观测不可控可观测不可控可观测可控不可观测可控不可观测可控可观测可控可观测特殊相似变换

50、特殊相似变换目的：目的： CC研究系统结构对系统特性的影响研究系统结构对系统特性的影响； CC便于系统校正和控制便于系统校正和控制！第81页/共99页第八十一页，共100页。2.6.8.1 按可控性分解按可控性分解(fnji)设不可设不可(bk)控系统的状态空间表达式为控系统的状态空间表达式为xuxxCyBA系统系统(xtng)可控性矩可控性矩阵为阵为.1BAABBMn若可控性矩阵的秩为若可控性矩阵的秩为nlrankM第82页/共99页第八十二页，共100页。经相似经相似(xin s)变换：变换：xPxc1变换成下列变换成下列(xili)规范表达式规范表达式xxxCyuBA其中其中(qzhng

51、)ccxxxl维可控状态维可控状态(n-l)维不可控状态维不可控状态第83页/共99页第八十三页，共100页。22121110AAAAPPAcc(n-l)行行l行行01BBPBc(n-l)行行l行行(n-l)列列l列列第84页/共99页第八十四页，共100页。(n-l)列列l列列m行行xxxCyuBA21212211211yyCCyAuBAAcccccccxxxxxxx211CCCPCc第85页/共99页第八十五页，共100页。ccccCyuBAAxxxx1111211cccCyAxxx2222可控可控部分部分(b fen)不可控部分不可控部分(b fen)CC输入只能输入只能(zh nn)通

52、过可控子系统传递到输出，与不可通过可控子系统传递到输出，与不可控子系统无关！控子系统无关！21212211211yyCCyAuBAAcccccccxxxxxxxCCGuy(s)只描述可控部分特性，不能反映不可控部只描述可控部分特性，不能反映不可控部分特性！分特性！第86页/共99页第八十六页，共100页。1cP 构成方法：构成方法： 先从系统可控性矩阵先从系统可控性矩阵M中选出中选出l个线性无关的列个线性无关的列向量向量p1, p2, , pl; 然后任意选取尽可能简单的然后任意选取尽可能简单的(n-l)个个列向量列向量pl+1, pl+2, pn, 后者与前后者与前l个向量线性无关，则个向量线性无关，则得：得：nllcpppppP.1211CC可控性规范分解可控性规范分解(fnji)不唯一！不唯一！第87页/共99页第八十七页，共100页。2.6.8.2 按可观测按可观测(gunc)性分性分解解设不可观测系统的状态设不可观测系统的状态(zhungti)空间空间表达式为：表达式为：xuxxCyBA系统系统(xtng)可观测性可观测性矩阵为矩阵为若可观测性矩阵的秩为若可观测性矩阵的秩为nhrankN1.nCACACN第88页/共99页第八十八页，共100页。则经相似则经相似(xin s)变换变换xPxo1可变换