2020年高考数学解析几何复习题2

1、第八节直线与圆锥曲线的位置关系基础达标一、选择题(每小题5分，共25分)1.不论k取何值，直线y=k(x-2)+b与曲线x2-y2= 1总有公共点，则实数b的取值范围 是()A.(-)B.-C.(-2,2)D.-2,21.B【解析】直线y=k(x-2)+b恒过点(2,b),所以只要满足22-b2>1,gp b203，解得-W bw.2.(2015石家庄二模)已知F是抛物线x2=4y的焦点，直线y=kx-1与该抛物线交于第一象限内的交点A,B,若|AF|二3|FB|,则k的值是A.B.C.D.2 .D 【解析】设 A(xi,yi),B(x2,y2),由消去 x 得 黄+(2-4片»

2、;+1 = 0，则 yi+y2=4k2-2 ,yiy2=1 ，又 |AF|=yi+1,|BF|=y2+1,由已知 yi + 1 = 3(y2+1) ，由得 yi = 3,y2=，代入得k= (A,B在第一象限，负值舍去).3 .(2015山东北镇中学模拟直线x-2y+2=0经过椭圆=1(a>b> 0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为()A.B.C.D.3 .C【解析】由题意可知椭圆的一个焦点为(-2,0)，一个顶点为(0,1),代入椭圆方程 得b=1,c=2,则a=,则该椭圆的离心率为.4 .(2015河南八市联考)|已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为

3、1,过点F的直线交抛物线于A,B两点，过点A作准线1的垂线，垂足为E,当A点坐标为(3,y。)时，9EF为正三角形，则此时AOAB的面积为()A.B.C.D.4 .A 【解析】如图所示，过点F作AE的垂线，垂足为点H,则H为AE的中点，因 为A点坐标为(3,y0),所以AE=3+,EH=p,所以2P=3+,所以p=2,所以y2=4x,此时 A(3,2),F(1,0),kAF二,所以直线AF的方程为y= (x-1),代入抛物线方程可得3(x-1)2=4x, 解得x=3或，所以y=2或-,所以BOB的面积S=Saqfb+Szofa=x1 X .5 .已知曲线y=ax2与其关于点(1,1)对称的曲线

4、有两个不同的交点 A,B,如果过这两 个交点的直线的倾斜角是45° ,则实数a的值是()A.2B.C.1D.-15.B【解析】曲线y=ax2关于点(1,1)对称的曲线方程为y=-a(x-2)2+2，设两个不同 的交点 A,B的坐标为 A(X1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是方程ax2=-a(x-2)2+2,即方程 ax2-2ax+2a-1=0的两根，. x+x2=2,二过两个交点的直线的倾斜角是450 ，.二=a(x1+x2)= 1,. a=.二、填空题(每小题5分，共15分)6.(2015宿迁质历椭圆C: =1(a>b>0)的右焦点为F,直线y=-x与椭圆C交

5、于A,B 两点，且AF± BF,则椭圆C的离心率为.6 . -1【解析】设左焦点为F',则四边形F'AFB是平行四边形，又AFLBF,所以四 边形F'AFB是矩形，则OA=OF=c,又/AOF=120。，所以AF=c,AF'=c ,由椭圆定义 可得 AF+AF'=c+c= 2a,即 c=a,则离心率 e=-1.7 .(2015绍兴质帚已知抛物线C：y2=4x,点M(-1,1)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点，若=0,则实数k的值为.7.2【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意可得直线AB的方程为y=k(x-1)，代入

6、抛物 线 C:y2=4x,整理得 k2x2-(2k2+4)x+k2=0,则 xi+X2=,xix2= 1,所 以 =(xi + 1)(x2+ 1)+(y1- 1)(y2- 1)=xix2+x 1+x2+y 1y2-(y1+y 2) + 2=x 1x2+x 1+x 2+k2(x1- 1)(x2-1)- k(x1+x2)+ 2k+ 2=(1+k2)x1x2+(1-k2-k)(x1+x2)+k2+2k+2=0, 所 以 1+k2+(1-k2-k) +k2+2k+2=0，解得 k=2.8 .已知圆M:x2+y2+2mx-3=0(m<0)的半径为2,椭圆C: =1的左焦点为F(-c,0),若垂 直

7、于x轴且经过F点的直线与圆M相切，则a的值为.8.2 【解析】圆 M:x2+y2+2mx-3=0(m<0)的半径为 2,二 m2+3=4,； m2= 1,m<0, .m=-1,.圆心M的坐标为(1,0),二.垂直于x轴且经过F点的直线l与圆M相切, :c=1, a2=1 + 3=4,a=2.三、解答题(共20分)9 .(10分)求过点P(,5)且与双曲线=1有且只有一个公共点的直线的方程.10 【解析】若直线的斜率不存在，则x=，此时仅有一个交点(,0)，满足条件.若直线的斜率存在，设直线的方程为y-5=k(x-)4U y=kx+5-k代入双曲线方程，得=1,gp (25-7k2)

8、x2-7 X2kx(5-k)-7(5-k)2-7X25= 0,当卜二时，方程无解，不满足条件；当k二时,2X5xM0=875,则方程有一解，满足条件,直线方程为y=-x+ 10；当k2却寸，令 &14«5*)2+4(25-7彳)7(5*)2+175 = 0化简后k无解,所以不满足条 件；所以满足条件白直线有两条，分别是乂=和丫=双+10.10.(10分)(2015重庆三诊)|如图，椭圆C: =1(a>b>0)的离心率为，Fi,F2为其左、右焦点，且|FiF2|=2,动直线l:y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点.求椭圆C的方程；(2)过F1,F2分别作直线l的垂

9、线，垂足分别为P,Q,求四边形PF1F2Q面积的最大值.10.【解析】(1)由题知c=1,e=，故a=,b=1,故椭圆C的方程为+y2=1.当k=0时，=2;当 k加时，令|PF1|=d1,|QF2|=d2,则 d1= ,d2=,|PQ|=.由得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,由题知 &16k2m2-4(1 + 2k2)(2m2-2)=0，即 m2=1 + 2k2,所以(d1+d2) |PQ|=二,又 m2=1 + 2k2,故|m|> 1,所以=|=< 2;综上，当k=0时，取得最大值2.高考冲关1.(5分)(2015哈尔滨三中二归)已知直线y=k(x+2)(

10、k>0)与抛物线C:y2=8x相交于A,B两点,F为C的焦点，若|FA|二3|FB|,则k=()A.B.C.D.1 .A 【解析】由抛物线定义可得 |FA|=xa+2,|FB|=xb+2,贝U xa+2=3(xb+2),xa=3xb+4 .将直线 y=k(x+2),k>0 代入抛物线 C:y2=8x 整理得 k2x2+(4k2-8)x+4k2=0,则 xa+xb=-4+,xaxb=4,与联立解得 xa=6,xb=(舍负),/=,又 k>0,所以 k=.2 .(5分)(2015江苏盐城中学阶段检测)已知椭圆=1(a>b>0),M,N是椭圆上关于原点对称的两点，P是椭

11、圆上任意一点，且直线PM,PN的斜率分别为ki,k2(kik2刃)，若 椭圆的离心率为，则|ki|+|k2|的最小值为.2.1 【解析】设 P(x0,y0),M(xi,yi),N(-xi,-yi),则 kik2=,g|为两式相减得=-=-=- 1+=-, 所以|k1|+|k2|>2=1，当且仅当|k1|=|k2尸时取等号，所以|k1|十|k2|的最小值为1.3 .(5分)已知正方形的一条边 AB在直线y=x+4上，顶点C,D在抛物线y2=x上，则 该正方形的边长为.3.3或5【解析】设CD所在直线白方程为y=x+b (b<0),由消去x得y2-y+b= 0, 设 C(x1,y1),

12、D(x2,y2),则 y1+y2=1,y1y2=b, ； |CD|=,又 AB 与 CD 的距离 d=，由四边形 ABCD为正方形有，解得b=-2或b=-6,正方形的边长为3或5.4 .(12分)(2015北京昌平区模ftQ已知椭圆C: =1(a>b>0),右焦点F(,0)，点A在椭圆 上.(1)求椭圆C的标准方程；若直线y=kx+m(k用)与椭圆C有且只有一个公共点 M,且与圆O:x2+y2=a2+b2 相交于P,B两点，问kOM kPB=-1是否成立？请说明理由.4 .【解析】(1)因为椭圆C的右焦点F(,0),经过点A,所以解得a2=4,b2=1, 所以椭圆C的方程是+y2=

13、1.不成立.由(1)知圆 O:x2+y2=5,因为直线与椭圆C有且只有一个公共点M,所以方程组(*)有且只有一组解，由(* )得(4k2+ 1)x2+ 8kmx+4m2-4= 0,从而 U0,即 16(4k2-m2+1)=0,化简得 m2= 1 + 4k2,xM =-,yM=kxM+m=.所以点 M 的坐标为 .因为kpB=k为，由可知 m迫所以koMXpB=xk=-*1,所以kOM kPB=- 1不成立.5 .(13分)设抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,准线为l,A为C上一点，已知以F为 圆心 ,FA 为半径的圆 F 交 l 于 B,D 两点 .若/ BFD= 90° ,AABD的面积为4,求p的值及圆F的方程；若A,B,F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求 坐标原点到 m,n 距离的比值.5.【解析】(1)由已知可得BFD 为等腰直角三角形,则 |BD|=2p,圆 F 的半径 |FA|二p.由抛物线定义可知 A 到 l 的距离 d=|FA|=p.因为 ABD 的面积为 4,所以 |BD| d=4,即 2p p=4,解得p=-2(舍去),p=2.所以F(0,1)，圆F的方程为x2+(y-1)2=8.因为A,B,F三点在同一直线m上，所以AB为圆F的直径，/ADB=