2-3函数的奇偶性与周期性

1、第第3课时函数的奇偶性与周期性课时函数的奇偶性与周期性(一一)考纲点击考纲点击1结结合具体函数，了解函数奇偶性的含义合具体函数，了解函数奇偶性的含义2会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性3了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简简 单函数的周期性单函数的周期性(二二)命题趋势命题趋势1本本节内容是高考的热点之一，考查时，常将奇偶性、节内容是高考的热点之一，考查时，常将奇偶性、周期性与单调性综合在一起周期与三角函数结合比较周期性与单调性综合在一起周期与三角函数结合比较明显，也常出现在抽象函数中，多为求值问题

2、明显，也常出现在抽象函数中，多为求值问题2题型多以客观题为主，一般为容易题，但有时难度也题型多以客观题为主，一般为容易题，但有时难度也会很大会很大 1函数的奇偶性函数的奇偶性奇偶奇偶性性定义定义图象特图象特点点偶函偶函数数如果对于函数如果对于函数f(x)的定义域内的定义域内任意一个任意一个x，都有，都有 ，那么函数那么函数f(x)是偶函数是偶函数关于关于 对称对称f(x)f(x)y轴奇奇函函数数如果对于函数如果对于函数f(x)的定义域内的定义域内任意一个任意一个x，都有，都有 ，那么函数那么函数f(x)是奇函数是奇函数关于关于 对称对称f(x)f(x)原点(3)设函数设函数f(x)x3cos

3、x1.若若f(a)11，则，则f(a)_.解析：解析：观察可知，观察可知，yx3cos x为奇函数，且为奇函数，且f(a)a3cos a111，故，故a3cos a10，则，则f(a)a3cos a11019.答案：答案：92周期性周期性(1)周周期函数：对于函数期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数，如果存在一个非零常数T，使得当使得当x取定义域内的任何值时，都有取定义域内的任何值时，都有f(xT) ，那，那么就称函数么就称函数yf(x)为周期函数，称为周期函数，称T为这个函数的周期为这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一

4、的所有周期中存在一个个 的正数，那么这个的正数，那么这个 正数就叫做正数就叫做f(x)的最小正周的最小正周期期f(x)最小最小 对点演练对点演练 (教材习题改编教材习题改编)已已知定义在知定义在R上的奇函数上的奇函数f(x)，满足，满足f(x4)f(x)，则，则f(8)的值为的值为() A1 B0 C1 D2 解析：解析：f(x)为奇函数且为奇函数且f(x4)f(x)， f(0)0，T4. f(8)f(0)0. 答案：答案：B1非零的常函数都是非零的常函数都是 ；函数；函数f(x)0，xR(或或x(a，a)等等)既是既是 ，又是，又是 ；定义域不关于原点对称的；定义域不关于原点对称的函数是函数

5、是 2判断判断(或证明或证明)函数奇偶性的步骤：函数奇偶性的步骤：(1)求函数求函数f(x)的定义域、并判断其是否关于原点对称；的定义域、并判断其是否关于原点对称；(2)判断判断f(x)f(x)是否成立是否成立偶函数奇函数偶函数既不是奇函数也不是偶函数3函数奇偶性的性质：函数奇偶性的性质：(1)若奇函数若奇函数f(x)在在x0处有定义，则处有定义，则f(0)0；若；若f(x)为为偶函数偶函数f(|x|)f(x)(2)设设f(x)，g(x)的定义域分别是的定义域分别是D1，D2，那么在它们，那么在它们的公共定义域上：的公共定义域上：奇奇奇，奇奇奇奇，奇奇偶，偶偶偶，偶奇偶，偶偶偶，偶偶偶偶，奇偶

6、，奇偶奇偶奇特别地，若特别地，若f(x)、g(x)都不是常函数都不是常函数0，且，且f(x)，g(x)中一奇一偶，则中一奇一偶，则f(x)g(x)不具有奇偶性不具有奇偶性相同原点相反相同2a (2)若若f(x)同时关于同时关于xa与与xb对称对称(ab)，则，则f(x)是周期函是周期函数，数， 是它的一个周期；若是它的一个周期；若f(x)关于关于xa对称同时关于对称同时关于点点(b,0)对称对称(ba)，则，则 是它的一个周期；若是它的一个周期；若f(x)关关于点于点(a,0)对称，同时关于点对称，同时关于点(b,0)对称，则对称，则f(x)为周期函数，为周期函数，且且 是它的一个周期是它的一

7、个周期2(ba)4|ab|2|ab| 【归纳提升归纳提升】1.奇偶函数的性质：奇偶函数的性质： (1)若奇函数在原点处有意义，一定有若奇函数在原点处有意义，一定有f(0)0. (2)f(x)是偶函数是偶函数f(x)f(x)f(|x|) 2奇偶性与单调性：奇偶性与单调性： 奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反关于原点对称的区间上的单调性相反题型三函数的周期性及其应用题型三函数的周期性及其应用 设设f(x)是定义在是定义在R上的奇函数，且对任意实数上的奇函数，且对任意实数x，恒有恒有f(x2)f(x)，当，当x0,2时，时，f(x)2xx2.(1)求证：求证：f(x)是周期函数；是周期函数；(2)当当x2,4时，求时，求f(x)的解析式；的解析式；(3)计算计算f(0)f(1)f(2)f(2 014)【易误警示】 (1)忽视函数定义域， 误认为 f(x)在 x0 处有定义，利用 f(0)0，计算得 a1，而致误当不明确所代自变量的值是否在定义域内时，不能用特值法计算，而应用定义法求解(2)本题应在定义域基础上将式子化简或变形，否则会被表面形式所