福建省龙岩市民主中学2020年高三数学理上学期期末试卷含解析

1、福建省龙岩市民主中学2020年高三数学理上学期期末试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知集合m=x|x2x2=0，n=1，0，则mn=（）a1，0，2b1c0d?参考答案：a【分析】化简集合m，根据并集的定义写出mn【解答】解：集合m=x|x2x2=0=x|x=2或x=1=1，2，n=1，0，则mn=1，0，2故选：a【点评】本题考查了并集的运算问题，是基础题2. 复数，i是虚数单位，则z的虚部为（    ）a.1     

2、60;   b.4        c.1        d. 4参考答案：c由题意，复数，所以复数的虚部为，故选c. 3. 已知函数的部分图象如图所示，则函数的一个单调递增区间是（  ）a         b       c    

3、0;  d参考答案：d    4. 如图，已知点是抛物线上一点，以为圆心，为半径的圆与抛物线的准线相切，且与轴的两个交点的横坐标之积为5，则此圆的半径为（   ）a          b5       c        d4参考答案：d由抛物线定义得与轴的两个交点必有一个为焦点（1，0），所以另一个交点为（5，0）.

4、因此选d. 5. 设函数与的图象的交点为，则所在的区间是(      )      参考答案：b略6. 执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的j=（    ）a. 1b. 3c. 5d. 7参考答案：c【分析】根据框图流程，依次计算运行的结果，直到不满足条件，输出j值【详解】由程序框图知：n=4，第一次运行， i1，j1,j=2i-j=1,满足i<4，第二次运行i2，j=2i-j3；满足i<4，第三次运行i3，j=2i-j3；满足i<4，第四次

5、运行i4，j=2i-j5；不满足i<4，程序运行终止，输出j5故选：c【点睛】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图流程依次计算运行结果是解答此类问题的常用方法7. 已知定义在r上的函数满足：对任意实数都有，且时，则的值为（   ）    a3         b2      c. 2        d3参考答案：b对任意实数都有,可得到函数

6、的周期是6，即函数为偶函数，则,根据奇偶性得到=-2.故答案为：b. 8. 若纯虚数满足，（是虚数单位，是实数），则（a）8   （b）   （c）   （d）参考答案：b因为是纯虚数，所以设，则，即，根据复数相等，得，所以，选b.9. 过边长为2的正方形中心作直线l将正方形分为两个部分，将其中的一个部分沿直线l翻折到另一个部分上。则两个部分图形中不重叠的面积的最大值为 （    ）a.2b.2(3)c. 4(2)d. 4(32)参考答案：d10. 已知变量满足约束条件，则目标函数的最小值是（&

7、#160;  ）a4         b3       c2       d1参考答案：d二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知椭圆c：（ab0）的上顶点为a，右焦点为f，椭圆c上存在点p使线段op被直线af平分，则椭圆c的离心率的取值范围是_    _ 参考答案：(0,12. 抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，

8、沿平行于抛物线对称轴的方向射出.现有抛物线，如图一平行于x轴的光线射向抛物线，经两次反射后沿平行x轴方向射出，若两平行光线间的最小距离为4，则该抛物线的方程为_参考答案：【分析】先由题意得到必过抛物线的焦点，设出直线的方程，联立直线与抛物线方程，表示出弦长，再根据两平行线间的最小距离时，最短，进而可得出结果.【详解】由抛物线光学性质可得：必过抛物线的焦点，当直线斜率存在时，设的方程为，由得：，整理得，所以，所以；当直线斜率不存在时，易得；综上，当直线与轴垂直时，弦长最短，又因为两平行光线间的最小距离为4，最小时，两平行线间的距离最小；因此，所求方程为.故答案为【点睛】本题主要考查直线与抛物线位

9、置关系，通常需要联立直线与抛物线方程，结合韦达定理、弦长公式等求解，属于常考题型.13. 函数的值域为,则实数的取值范围是_.参考答案：14. 已知点a（2，3）在抛物线c：y2=2px的准线上，过点a的直线与c在第一象限相切于点b，记c的焦点为f，则|bf|=参考答案：10【考点】k8：抛物线的简单性质【分析】由题意先求出准线方程x=2，再求出p，从而得到抛物线方程，写出第一象限的抛物线方程，设出切点，并求导，得到切线ab的斜率，再由两点的斜率公式得到方程，解出方程求出切点，再由两点的距离公式可求得【解答】解：点a（2，3）在抛物线c：y2=2px的准线上，即准线方程为：x=2，p0，=2即

10、p=4，抛物线c：y2=8x，在第一象限的方程为y=2，设切点b（m，n），则n=2，又导数y=2，则在切点处的斜率为，=，即m+2=23，解得： =2或（舍去），切点b（8，8），又f（2，0），|bf|=10故答案为：1015. 如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为          .参考答案：16. 设为锐角，若，则参考答案：17. 已知f（x）=|log3x|，若f（a）=f（b）且ab则的取值范围是        

11、;    参考答案：2，+）【考点】对数函数的图像与性质 【专题】函数的性质及应用【分析】根据题意，先求函数f（x）的定义域，再由f（a）=f（b）可得|log3a|=|log3b|，由对数的运算性质分析可得ab=1，又由a、b0且ab，结合基本不等式的性质，可得=b+2，即可得答案【解答】解：根据题意，对于f（x）=|log3x|，有x0，若f（a）=f（b），则|log3a|=|log3b|，又由ab，则有log3a=log3b，即log3a+log3b=log3ab=0，则ab=1，又由a、b0且ab，=b+2，当且仅当b=取等号，即的取值范围是2，+）；故

12、答案为：【点评】本题考查基本不等式的运用，注意ab的条件属于基础题三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 某校新、老校区之间开车单程所需时间为t，t只与道路通畅状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：t（分钟）25303540频数（次）20304010（）求t的分布列与数学期望et；（）刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列【分析】（）求t的分布列即求出相应时间的频率

13、，频率=频数÷样本容量，数学期望et=25×0.2+30×0.3+35×0.4+40×0.1=32（分钟）；（）设t1，t2分别表示往、返所需时间，事件a对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”，先求出p（）=p（t1=35，t2=40）+p（t1=40，t2=35）+p（t1=40，t2=40）=0.09，即p（a）=1p（）=0.91【解答】解（）由统计结果可得t的频率分布为t（分钟）25303540频率0.20.30.40.1以频率估计概率得t的分布列为t25303540p0.20.30.40.1从而数学期望et=25×0.

14、2+30×0.3+35×0.4+40×0.1=32（分钟）（）设t1，t2分别表示往、返所需时间，t1，t2的取值相互独立，且与t的分布列相同，设事件a表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件a对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”p（）=p（t1+t270）=p（t1=35，t2=40）+p（t1=40，t2=35）+p（t1=40，t2=40）=0.4×0.1+0.1×0.4+0.1×0.1=0.09故p（a）=1p（）=0.91故答案为：（）分布列如上表，数学期望et=32（分钟）（）0.9

15、119. 如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd为矩形，平面pcd平面abcd，bc=1，ab=2， pc=pd=，e为pa中点（）求证：pc平面bed；（）求二面角apcd的余弦值；（）在棱pc上是否存在点m，使得bmac？若存在，求的值；若不存在，说明理由参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质【分析】（）设ac与bd的交点为f，连结ef，推导出efpc由此能证明pc平面bed（）取cd中点o，连结po推导出pocd，取ab中点g，连结og，建立空间直角坐标系oxyz，利用向量法能求出二面角apcb的余弦值（）设m是棱pc上一点，则存在0，1使得

16、利用向量法能求出在棱pc上存在点m，使得bmac此时， =【解答】（共14分）证明：（）设ac与bd的交点为f，连结ef因为abcd为矩形，所以f为ac的中点在pac中，由已知e为pa中点，所以efpc又ef?平面bfd，pc?平面bfd，所以pc平面bed （）取cd中点o，连结po因为pcd是等腰三角形，o为cd的中点，所以pocd又因为平面pcd平面abcd，po?平面pcd，所以po平面abcd取ab中点g，连结og，由题设知四边形abcd为矩形，所以ofcd所以poog如图建立空间直角坐标系oxyz，则a（1，1，0），c（0，1，0），p（0，0，1），d（0，1，0），b（1，1

17、，0），o（0，0，0），g（1，0，0）=（1，2，0），=（0，1，1）设平面pac的法向量为=（x，y，z），则，令z=1，得=（2，1，1）平面pcd的法向量为=（1，0，0）设的夹角为，所以cos=由图可知二面角apcd为锐角，所以二面角apcb的余弦值为（）设m是棱pc上一点，则存在0，1使得因此点m（0，1），=（1，1，1），=（1，2，0）由，得1+2（1）=0，解得因为0，1，所以在棱pc上存在点m，使得bmac此时， =         20. (本小题满分12分)如图，几何体是四棱锥，为正三

18、角形，.(1)求证：；(2)若，m为线段ae的中点，求证：平面.参考答案：(i)设中点为o，连接oc，oe，则由知，2分 又已知，所以平面oce. 分所以，即oe是bd的垂直平分线，所以.分 (ii)取ab中点n，连接，m是ae的中点，分 是等边三角形，.由bcd120°知，cbd30°，所以abc60°+30°90°，即，所以ndbc，1分所以平面mnd平面bec，故dm平面bec. 12分 21. 已知f（x）=|x1|+|x+a|，g（a）=a2a2（1）若a=3，解关于x的不等式f（x）g（a）+

19、2；（2）当xa，1时恒有f（x）g（a），求实数a的取值范围参考答案：【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法【分析】（1）若a=3，f（x）=|x1|+|x+3|，g（3）=4，f（x）g（a）+2化为|x1|+|x+3|6，即可得出结论；（2）当xa，1时恒有f（x）g（a），1+aa2a2，即可求实数a的取值范围【解答】解：（1）a=3时，f（x）=|x1|+|x+3|，g（3）=4，f（x）g（a）+2化为|x1|+|x+3|6，x3时，x+1x36，x4，3x1时，x+1+x+36，无解，x1时，x1+x+36，x2综上所述，x4或x2，不等式的解集为x|x4或x2；（2）xa，1，f（x）=1+a，f（x）g（a），化为1+aa2a2，a22a30，a3或a1，a1，a1，a322. 已知函数f（x）=lnx2ax，ar（1）若函数y=f（x）存在与直线2xy=0平行的切线，求实数a的取值范围；（2）设g（x）=f（x）+，若g（x）有极大值点x1，求证：a参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】函数思想；转化法；导数的综合应用【分析】（1）求出函数的导数