刘三阳线性代数第二版第一章答案

1、刘三阳线性代数第二版第一章 答案本章需要掌握的是：1）矩阵的定义，以及矩阵的运算（加.减、数乘和乘法）；2）方阵的幕和多项式，以及矩阵转置的性质；3）逆阵的定义，以及逆阵的4条性质；4）分块矩阵的运算规则；5）矩阵的三种初等变换及行阶梯矩阵和行最简矩阵；6）三种初等矩阵，以及定理14 （左乘行变，右乘列变）> 1.5> 1.6和1.7；7）求逆阵的方法：定义法和初等变换法。1、设方阵 A 满足2003A2 = 5A + 16E,求（A - E）"1-题型分析：此类题型考核的知识点是逆阵的定 义，即AB = BA = E t A" = B, B"1 =

2、A。因此 无论题中给出的有关矩阵A的多项式（如本题是 2003A2 = 5A+ 16E）多么复杂，只需要把该多 项式配方成“（所求逆的表达式）* （配方后的因 子）二E”即可，即本题是要配成（A-E） *（?）二E。解： 2003A2-5A-16E = 02003A2 一 2003A + 1998A - 16E = 0%配出2003A可提取的(A-E)2003A(A - E) + 1998A 1998E +1982E = 0%配出1998可提取的（A-E）2003(A -E) + 1998(A - E) + 1982E = 0%提取公因式(A-E)(A E)(2003A + 1998E) =

3、-1982E%将只有单位阵的那一项移至等式右端(A_E)(2003A+1998E)-1982%写成“AB二BA二E”的形式(2003A+1998E)-1982(A - E) = E(A 一 E)"=(2003A+1998E)-1982义可知%由逆阵定巩固练习:教材第38页第13题2、设A=C求A*。其中k为正整数。题型分析：此类题型考核的知识点是矩阵的乘法和幕运算。解题思路为依次计算A2,A3,最多到Ah通常这时已经可以看出规律，依此规 律解题即可。解：A2胡翟? = 2：2弭宀 2：2翟? = 2：3 7因此推论心 ：:,用数学归纳法证明如下：1）当 k=l 时，A = 2：成立；

4、2）假设当k=n-l时，上式成立，即An-i =1则有2 * (n - 1)1J,人如当k=n 1An _ ah-1a Ab(n_l)1 02 * n 1时所以Ak =1 02k 1也成立。巩固练习:教材第41页二、填空题(3)2、设A=E-uf, E为n阶单位阵，u为n维非零列向量，为u的转置，证明:1) AA的充要条件是uTu=l；2) 当u£=l时，A是不可逆的。题型分析：这道题综合了矩阵这一章的大部分知 识点，是个综合题，对于刚学了第一章的同学们 来说也是一道难题。解题思路首先要明确u为n 为非零向量是指u是一个只有一行或一列的矩 阵，题中有1% = 1即告诉我们u是一个n*

5、l阶u1 u 1 = 0,即uiu = 12)反证法由1)可知，当uTu=l时, A2=A,则如果A可逆，有A-A-iA,则有A二E,这与已知矛盾。所以A不 可逆。巩固练习:教材第42页二、填空题(15)3、®A = J 2 ,g(x) = x2 + 2x-3,<Rg(A)o题型分析：此类题型考核的知识点是矩阵的多项 式，要熟练掌握矩阵多项式的各项性质，尤其是 多项式中的常数项在矩阵多项式中必须乘以數 陛！否则矩阵与数无法相加。解：g(A)=A2+2A-3E%关键点在于常数项的变化！；2lti胡十毗71-3E 3嵋单的矩阵运算 0 -80 0巩固练习:教材42页二、第14题4、

6、设n维行向量a二0,0,£),矩阵A = E- aTa,B = E + 2aTa,其中E为n阶单位阵，求AB。 题型分析：此类题型考核的知识点是矩阵乘法， 一般这种题型都是有简化的计算，不可能是一一 代入求解，虽然这也能求出结果，但是计算量很 大。所以通常解题思路是先把AB的表达式求出, 看表达式里有何规律可寻。解 :AB = (E aTa) (E + 2aTa) = E + a1 a 一 2aTaaTa % a是行向量，则要知道Qa是n阶方阵，而acJ是个数rln110, -,0 -22 AB = E + ala 2aaaaE + aTa 2 * -aTa = E2巩固练习:教材第

7、41页二、填空题5.设3阶方阵扎B满足关系式A1BA = 6A + BA，求矩阵B,其中rl3A= 0题型分析：此类题型类似求解矩阵方程，考核的 知识点主要是逆阵的定义与性质，尤其是对角矩 阵的逆阵也是对角矩阵，其主对角线上的元为原 对角矩阵主对角线元的倒数。解题思路是先将矩 阵方程化简成所求矩阵的表达式，再代入具体矩阵求解。如本题中应将方程化成B二？。注意一般不会是代入求解，那样计算量就大了。解：A"BA = 6A + BAA"BA BA = 6A%第一步将含矩阵B的所有项移到方程左端,其他移到右端。（A-1 一 E）BA = 6A%想办法将所求矩阵B提取公因式因为A可逆

8、，所以在方程两边同时右乘A'1,则有（A"1 _ E）B = 6E300又因为A-1 =040则.007.200A" - E =030是对角矩阵也可逆。006.(A“ - E)B = 6E的两边同时左乘（A-Ef1,有B = 6（A" _ E）"1200-1300=6030=020%最006-001终化成B=6(A-1-E)'再代入求解 有多种解法，同学们也可以尝试在原式两边同时 右乘A"看看。巩固练习:教材41页二、(8)6.设A, B均为n阶对称矩阵.且矩阵A和矩阵E+AB都可逆，试证(E+AB) "A 题型分析：

9、此题为综合性题，考核的知识点即对 称矩阵和逆阵的定义与性质，熟练掌握有关对称 和逆阵的所有性质就容易求解此题。对称阵涉及 转置，而题中又涉及到逆阵，所以一定会用到将 逆阵和转置联系在一起的那条性质，即(At) = (A-1) T 。以 及(A + B)t = At + Bt , (AB)t = BtAt ,(AB)-1 = BA1 等。一定要注意(A + B)-1丰A1 + B1 I证明：根据对称阵的定义，即要证明(E + AB) 5卩=(E +AB) _1A,将左式展 开，有(E +AB)= AT(E +AB)"17%转置的性质(AB) T = BtAt因为A, B均为对称阵，据定

10、义有At = A, B1 = B,又(AT T = (A'1) *则At(E + AB)"11 = A(E + AB)1-1%转置的性质%转置的性质=AEt + (AB)1-1T(A+ B) = At + Bt=A(E + BtAt)_1(AB) T = BtAt=A(E + BA)“% a, b 为对称阵大部分同学卡在这里，怎样证明 A(E + BA)"1 = (E + AB)"A呢？想办法把左式 中的A移到括号后方，怎么移？逆阵性质里有 (AB)-1因此将左式化成：A(E + BA)-1 =(A")7(E + BA)-1=(E + BA)A1

11、)-1=(EA"1 + BAA-1)-1进括号=(A-1 + B)"1=A1(E +AB)-1当公因子提取至左端=A_1(E +AB)-1逆阵性质(AB)-1 =(E +AB) 一A%将A '乘%把人一1%仍利用(E + AB) 一"= (E +AB) _1A,根据对 称阵的定义可知，(E+AB) _1A为对称阵。证明二：简写如下:(E + AB) “A 二 (AA-1 + AB)二A(A_1 + B)“A = (A-1 + B)7a*A二(A" + B)"1(E +AB)TAT(A" + B)-11' = (A&qu

12、ot; +(A-i)t + BT”二(A“ + B)7二(E +AB) _1A所以（E + AB） tA是对称阵。巩固练习:教材37页第7题8、1）设A,B都可逆，求；黑的逆;2）利用分块矩阵，求下面矩阵的逆。_00 0 '00"2 0000 .g.00 0A =Jt|,ai0(i = l,2,-,n)题型分析：此类题型考核的知识点是分块矩阵和 逆阵的相关性质。第一小题只要找到一个2*2阶 的分块矩阵和:相乘后得单位阵即可，可用 初等变换法求逆，也可用定义求。第二小题很明 显是第一小题的延伸题，根据第一小题的结论可 以直接推出第二题的答案。解：1）方法一：用定义M1STLK:

13、馳驚畀,则展开有NB MAI = E 0KB LAJ 一 b E% A,B为子矩阵，所以表示成:岂，而不是所以有 NB=E, MA=O, KB=O, LA=E又因为A, B皆可逆，则A, B均不为零矩阵 所以 N二L二At 令 M二0, K二0,则%这里不太严密的一点是AB=0,并不能说明A=0 或B=0,所以我们令M=0,K=00A'-10B"1B0A-10方法二：初等变换法A： E0：0用初等行变换E 0： 0B-10 E J A-1 O处左乘了0A.二 B" 0 O A"1对角矩阵的逆,所以0A'-10B"1B0A-10%初等列变换也同此，不过是右乘，同学们可以 自己试试。矩阵,'0q00