北京市东城区2019届高三上学期期末教学统一检测数学文试题

1、北京市东城区 2019 届高三上学期期末教学统一检测数学文试题学校 _ 班级 _ 姓名 _ 考号 _本试卷分第卷和第卷两部分，第卷 1 至 2 页，第卷 3 至 5 页，共 150 分。考试时长分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。120第卷（选择题共 40分）一、本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（ 1）设集合 U 1,2,3,4,5， A1,2,3 ， B2,3,4，则 eU ( A I B) 等于(A) 2,3(B)1, 4,5(C)4,5(D) 1,5（ 2）复数2等于

2、1i（ A ） 1 i(B)1i( C)1i(D) 1i（ 3）已知 a为等差数列，其前n 项和为Sn，若a36，S3 12，则公差d等n 于（A ）1（B） 5（C） 2（D） 33（ 4）执行如图所示的程序框图，输出的k 的值为（A）4（B） 5（C） 6（D） 7（ 5）“ x22x3 0 成立”是“ x3 成立”的（ A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（ C）充要条件（D ）既不充分也不必要条件x 2 y8,2xy8,3x y 的最大值为（ 6）已知 x ， y 满足不等式组0,则目标函数 zxy0,32(B) 12(C) 8(D) 24(A)3（ 7）已知抛物线 y22 px

3、 的焦点 F 到其准线的距离是8 ，抛物线的准线与x 轴的交点为 K ，点 A 在抛物线上且 | AK |2|AF |，则AFK 的面积为（A）32（B）16（C）8（D）41/101（ 8）给出下列命题： 在区间 (0,) 上，函数 yx 1 , y x2 , y( x 1)2 , yx3 中有三个是增函数；若 logm 3log n 30，则 0nm1 ；若函数 f ( x) 是奇函数，则f ( x 1) 的图象关于点 A(1,0) 对称；若函数f (x)3x2 x3 ，则方程 f (x)0 有 2 个实数根，其中正确命题的个数为（A） 1（B） 2（C） 3（D） 4第卷 （共 110

4、分）二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分。（ 9 ）若向量 a ， b 满足 a1 ， b2 ，且 a ， b 的夹角为，则 a b =，3a b（ 10）若sin3tan0则 cos，且5,（ 11）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ 12）已知圆 C ： x2y26x 80，则圆心 C 的坐标为；若直线 ykx 与圆 C 相切，且切点在第四象限，则k（ 13）某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：第一次提价p% , 第二次提价 q% ；方案乙：每次都提价p q % ，若 pq0 ，则提价多的方案是.2（ 14）定义映射 f : AB ，其中A( m,

5、 n) m, nR BR，已知对所有的有序正整数对 (m, n)，满足下述条件 : f (m,1)1，若 nm ， f (m, n) 0 ； f (m1,n)n f (m, n)f (m, n 1)则 f (2,2)； f (n,2).三、解答题：本大题共6 小题，共 80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（ 15）（本小题共13 分）已知函数f (x)3 sin x cos xcos2 x （）求 f( x) 的最小正周期；2/10（）求f ( x) 在区间 , 上的最大值和最小值63（ 16）（本小题共13 分）已知 an 为等比数列，其前 n 项和为Snna*) .n(n N，

6、且S 2（）求 a 的值及数列 an 的通项公式；（）若 bnnan ，求数列 bn 的前 n 项和 Tn .（ 17）（本小题共13 分）如图，在菱形ABCD 中，MA 平面 ABCD ，且四边形ADNM 是平行四边形（）求证：AC BN；（）当点E 在 AB 的什么位置时，使得AN / 平面 MEC ，并加以证明 .NMDCAEB（ 18）（本小题共13 分）1322已知函数f (x）xmx3m x1， mR .3/10（）当 m1时，求曲线yf (x) 在点 (2, f (2) 处的切线方程；（）若f (x) 在区间 ( 2,3) 上是减函数，求m 的取值范围 .（ 19）（本小题共 1

7、4 分）已知椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上且过点 P(3, 1) ，离心率是3 22（）求椭圆C 的标准方程；（）直线 l 过点 E ( 1,0) 且与椭圆 C 交于 A ， B 两点，若EA2 EB ，求直线 l 的方程 .4/10（ 20）（本小题共14 分）已知实数组成的数组( x1 , x2 , x3 ,L , xn ) 满足条件：nn xi0 ；xi1 .i 1i1() 当 n2 时，求 x1 ， x2 的值；（）当 n3 时，求证：3x12x2x3 1；（）设 a1a2a3Lan ,且 a1an ( n 2) ，n1求证：ai xi(a1an ) .2i 1东城区 20

8、19 学年度第一学期期末教学统一检测高三数学参考答案及评分标准（文科）一、选择题（本大题共8 小题，每小题5 分，共 40分）（ 1）B（2）D（3）C（4） A（ 5）B（6）B（ 7）A（8） C5/10二、填空题（本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分）（9） 17（ 10）4（ 11） 545（ 12） (3,0)2（13）乙（14） 22n24注：两个空的填空题第一个空填对得3 分，第二个空填对得 2 分三、解答题（本大题共6 小题，共 80分）（ 15）（共 13 分）解：（） f (x)31cos2 xsin 2x22sin(2 x)14 分. 所以 T626 分（）因为6

9、x，3所以2x5666所以1sin(2 x)1 10 分26当 x6时，函数 f (x) 的最小值是0 ，当 x6时，函数 f ( x) 的最大值是3 13 分2（ 16）（共 13 分）解：（）当 n 1时， S1a12a0 . 1 分当 n2 时， anSnSn 12n1. 3 分因为 an 是等比数列，所以 a12a 21 11 ，即 a11. a1 . 5 分所以数列 ann2n1*) .6( nN分 的通项公式为 a（）由（）得 bnnan n 2n1，设数列 bn 的前 n 项和为 Tn .则 Tn11223224 23 L n 2n 1 .6/102Tn122223 23L (n

10、 1) 2n 1n 2n .- 得Tn1112122L12n 1n 2n 9 分1(222L2n 1 ) n 2n12(12n1)n2n 11 分(n1)2n1 .12 分所以 Tn(n1)2n1 .13 分（ 17）（共 13 分）解：（）连结 BD ，则 ACBD .由已知 DN平面 ABCD ，因为 DNI DBD ，所以 AC平面 NDB .又因为 BN平面 NDB ，所以 ACBN .6 分（）当 E 为 AB 的中点时，有AN/平面 MEC.7分NCM 与BN交于 F，连结 EF.M由已知可得四边形BCNM 是平行四边形，FF 是 BN 的中点，因为 E 是 AB 的中点，D所以

11、AN / EF . 10 分C又 EF平面 MEC ，AEBAN 平面 MEC ，所以 AN / 平面 MEC . 13 分（ 18）（共 13 分）解：（）当 m1时， f ( x)1 x3x23x1 ，3又 f'(x)x22x3 ，所以 f '(2)5 .又 f(2)5，35所以所求切线方程为y5( x2) ，即 15x3 y250 .3所以曲线 yf ( x) 在点 (2, f (2) 处的切线方程为15 x3y250 . 6 分（）因为f '( x）x 22mx3m 2 ，7/10令 f '( x）0 ，得 x3m 或 xm . 8 分当 m0 时， f

12、 '(x） x 20 恒成立，不符合题意.9 分当 m0时， f (x) 的单调递减区间是( 3m,m) ，若 f ( x) 在区间 (2,3) 上是减函数，3m2,3 . 11 分则3.解得 mm当 m0 时， f ( x) 的单调递减区间是 (m,3m) ，若 f ( x) 在区间 ( 2,3)上是减函数，m2,，解得 m2 .则3.3m综上所述，实数m 的取值范围是m3 或 m2 .13 分（ 19）（共 14 分）解：（）设椭圆 C 的方程为 x2y21 (ab0).a2b2c3a,2由已知可得31，3 分a24b21a2b2c2 .解得 a24， b21.故椭圆 C 的方程为

13、 x2y21 6 分4（）由已知，若直线l 的斜率不存在，则过点 E( 1,0) 的直线 l 的方程为 x1 ，此时 A( 1， 3 )，B( 1， -3 )22，显然 EA2 EB 不成立7 分若直线 l 的斜率存在，则设直线l 的方程为 yk (x1) 2x2y1，yk (x1).8/10整理得 (4k21)x28k 2 x 4k24 0 9 分由(8k 2 )24(4 k21)(4k 24)48k2160设 A( x1， y1 )， B( x2， y2 ) 故 x1 x28k2x1 x24k24 102，21分4k14k因为 EA2 EB，即 x12x23 15联立解得k13 分6所以直线 l 的方程为15 x6 y150 和15 x6y150 14 分（ 20）（共 14 分）x1x20,(1)( )解：x1x21.(2)由（ 1）得 x2x1 ，再由（ 2）知 x10 ，且 x20 .x11 ,当 x10 时， x20 .得 2x11，所以22 分1x2.2x11 ,当 x10 时，同理得2 4 分x21.2（）证明：当n3 时，由已知 x1x2x30 , x1x2x3 =1.所以 3x12x2x3x12(x1x2x3 )x39/10x1x3x1x31 .9 分（）证明：因为a1aian ，且 a1an (