二元函数的极限55003PPT学习教案

1、会计学1二元函数的极限二元函数的极限55003一、二元函数的极限 f2RD 0P定义1 设二元函数 定义在上, 为 D 的 一个聚点, A 是一实数. 若0,0, 使得当 0(;)PUPD 时, 都有 |()|,f PA 0lim( ).PPPDf PA 在对PD 不致产生误解时, 也可简单地写作 f0PP则称在 D 上当时以 A 为极限, 记作 第1页/共36页0lim().PPf PA 0P00( , ),(,)x yxy当 P, 分别用坐标 表示时, 上式也 常写作 00( ,)(,)lim( ,).x yxyf x yA 例1 依定义验证22( ,)(2,1)lim()7.x yxxy

2、y证 因为 227xxyy22(4)2(1)xxyy第2页/共36页|(2)(2)(2)2(1)(1)(1)|xxxyyyy|2|2|1|3|.xxyyy不妨先限制在点(2, 1)的方邻域 ( ,) |2|1, |1|1x yxy内来讨论, 于是有|3|14|1|45,yyy |2|(2)(1)5|xyxy|2|1|57.xy第3页/共36页2277|2|5|1|xxyyxy7 (|2|1|).xy0,min (1,),14 取取|2|, |1|xy 当( ,)(2,1)x y 且且 时, 就有 2277214.xxyy 这就证得 22( ,)(2,1)lim()7.x yxxyy所以第4页/

3、共36页例2 设 2222( ,)(0, 0),( ,)0,( ,)(0, 0),xyxyx yf x yxyx y， 证明( ,)(0,0)lim( ,)0.x yf x y 证(证法一) 0, 由由222222222202xyxyxyxyxyxy第5页/共36页222211(),22xyxy可知 222 ,0,xy 当当时时 便便有有22220,xyxyxy 故( ,)(0,0)lim( ,)0.x yf x y 注意 不要把上面的估计式错写成：2222222210(),22xyxyxyxyxyxyxy 第6页/共36页( ,)(0, 0)x y ( ,)(0, 0),x y 因为的过程只

4、要求 即 220,xy 0.xy 而并不要求 (证法二) 作极坐标变换 cos ,sin .xryr 这时 2222|( ,)0|xyf x yxyxy 2211|sin4|,44rr ( ,)(0, 0)x y 0r 等价于( 对任何 ). 由于 因此，220,2,rxy只须只须对任何 第7页/共36页都有 2( ,)(0,0)1|( ,)0|,lim( ,)0.4x yf x yrf x y 即即下述定理及其推论相当于一元函数极限的海涅归结原则(而且证明方法也相类似). 定理16.5 0lim( )PPP Df PA 的充要条件是：对于 D 的 任一子集 E,只要 仍是 E 的聚点,就有0

5、P0lim( ).PPP Ef PA 第8页/共36页1ED 01lim( )PPP Ef P 推论1 若, P0 是 E1 的聚点, 使 不存在, 则0lim( )PPP Df P 也不存在 001212lim( )lim( )PPPPP EP Ef PAf PA与与120,EED P 推论2 若 是它们的聚点，使得12AA 0lim( )PPP Df P 都存在，但, 则不存在第9页/共36页推论3 极限 0lim( )PPP Df P 存在的充要条件是：D 中任 一满足条件00lim,nnnnPPPPP 且且点点列列的的 它所 对应的函数列()nf P都收敛 下面三个例子是它们的应用 2

6、2( ,)xyf x yxy ( ,)(0, 0)x y 例3 讨论当时是否存在极限( 注: 本题结论很重要, 以后常会用到. ) 解 当动点 (x, y) 沿着直线 而趋于定点 (0, 0) ymx第10页/共36页时，由于2( ,)( ,)1mf x yf x mxm , 因此有 2( ,)(0,0)0lim( ,)lim( ,).1x yxymxmf x yf x mxm 这说明动点沿不同斜率 m 的直线趋于原点时, 对应 的极限值不相同，因而所讨论的极限不存在210,( ,)0yxxf x y ，, ,， 其其余余部部分分. .4例例设设第11页/共36页如图 16-15 所示, 当

7、(x, y) 沿任何直线趋于原点时, 相应的 ( ,)f x y都趋于 0, 但这并不表明此函数在 第12页/共36页( , )(0, 0)x y 时的极限为 0. 因为当 (x, y) 沿抛物线 2(01)ykxk ( ,)f x y 趋于点 O 时, 将趋于1. 所以极限 ( , )(0,0)lim( , )x yf x y不存在. ( , )xyf x yxy ( ,)(0, 0)x y 例5 讨论在 时不 存在极限 解 利用定理 16.5 的推论 2, 需要找出两条路径, 沿 着此二路径而使 ( ,)(0, 0)x y 时, 得到两个相异 的极限 第13页/共36页第一条路径简单地取,

8、yx 此时有 2( , )(0,0)0()limlim0.2x yxyxxyxxyx 第二条路径可考虑能使( , )xyf x yxy 的分子与 分母化为同阶的无穷小, 导致极限不为 0. 按此思路 的一种有效选择, 是取 2.yxx 此时得到 222( , )(0,0)00()()limlimlim(1)1,x yxxyxxxyx xxxxyx 第14页/共36页这就达到了预期的目的 ( 非正常极限 ) 的定义 定义2 设 D 为二元函数f的定义域， 000(,)P xy是 D 的一个聚点. 若 0,0,M 使得 0( ,)(; ),( , ),P x yUPDf x yM 都都有有0PP

9、则称 f在 D 上当 时, 有非正常极限 , 记作 00( ,)(,)lim( ,),x yxyf x y ( , )f x y 下面再给出当 时, 000( , )(,)P x yP xy第15页/共36页或 0lim( ).PPf P 仿此可类似地定义：00lim( )lim( ).PPPPf Pf P 与与例6 设 221( ,)23f x yxy . 证明 ( ,)(0,0)lim( ,).x yf x y 证 此函数的图象见图16 -16. 第16页/共36页第17页/共36页2222234()xyxy 0,M 因 , 故对只需取 2211,022xyMM 当当时时，就就有有2222

10、1123,.23xyMMxy 即即这就证得结果 二元函数极限的四则法则与一元函数极限相仿, 特 同, 这里不再一一叙述.( , )f x y( )f P看作点函数别把 时, 相应的证法也相 第18页/共36页二、累次极限是以任何方式趋于 这种极限也称为重 00(,),xy的的极限. 下面要考察 x 与 y 依一定的先后顺序, 相继趋 在上面讨论的00( ,)(,)lim( ,)x yxyf x y中, 自变量 ( , )x y0 x于 与 时 f 的极限, 这种极限称为累次极限. 0y定义3 ( , ),( , ),f x yx yDDxy设在轴、 轴上的投设在轴、 轴上的投000,.(),x

11、yX YyY yy分别是的聚点 若对每一个分别是的聚点 若对每一个,XY影分别为、即影分别为、即|( , ),|( , ),Xxx yDYyx yD第19页/共36页0( )lim( ,);xxyf x y 如果进一步还存在极限 0lim( ),yyLy 累次极限, 记作 0()xx0()yy则称此 L 为 先对 后对的 ( , )f x y0lim( ,)xxf x y，它一般与 y 有关, 记作 存在极限存在极限00lim lim( ,).yy xxLf x y 第20页/共36页类似地可以定义先对 y 后对 x 的累次极限: 00lim lim( ,).xx yyKf x y 注 累次极

12、限与重极限是两个不同的概念, 两者之间没有蕴涵关系. 下面三个例子将说明这一点. 22( ,)xyf x yxy ( , )f x y例7 设 . 由例 3 知道 当( , )(0, 0)x y 0y 时的重极限不存在. 但当时, 有 220lim0,xxyxy 第21页/共36页从而又有 2200limlim0.yxxyxy 同理可得 这说明 f 的两个累次极限都存在而且相等. 2200limlim0.xyxyxy 累次极限分别为 例8 设 , 它关于原点的两个 22( , )xyxyf x yxy第22页/共36页2220000limlimlimlim(1)1,yxyyxyxyyyyxyy

13、 2220000limlimlimlim(1)1.xyxxxyxyxxxxyx 当沿斜率不同的直线,( ,)(0, 0)ymxx y 时, 有 诉我们, 这个结果是必然的. ) 22( , )(0,0)1lim,1x yymxxyxymxym 因此该函数的重极限不存在. ( 下面的定理 16.6 将告 第23页/共36页例 设11( ,)sinsinf x yxyyx, 它关于原点的两 个累次极限都不存在. 这是因为对任何 0,y 而而当当0 x 时, f 的第二项不存在极限. 同理, f 的第一 项当 时也不存在极限. 但是由于 0y 11sinsin|,xyxyyx(,)(0, 0)lim

14、( ,)0.x yf x y 故按定义知道 时 f 的重极限存在, 且 ( , )(0,0)x y 第24页/共36页下述定理告诉我们: 重极限与累次极限在一定条件 下也是有联系的. 定理16.6 若 f (x, y) 的重极限 与 00( ,)(,)lim( ,)x yxyf x y累次极限 00lim lim( ,)xx yyf x y都存在, 则两者必定相等. 证 设 00( ,)(,)lim( ,),x yxyf x yA 0,0, 0( ,)(; )P x yUP 则使得当时, 有|( , )|.(1)f x yA 第25页/共36页00|(2)xx 的 x, 存在极限 另由存在累次

15、极限之假设, 对任一满足不等式 0lim( ,)( ).(3)yyf x yx |( )|.(4)xA 0yy回到不等式(1), 让其中, 由 (3) 可得故由 (2), (4) 两式, 证得0lim( )xxxA , 即0000( ,)(,)lim lim( ,)lim( ,).xx yyx yxyf x yf x yA第26页/共36页由这个定理立即导出如下两个便于应用的推论. 00lim lim( ,)xx yyf x y00lim lim( ,)yy xxf x y, 推论1 若重极限 和累次极限 00( ,)(,)lim( ,)x yxyf x y都存在, 则三者必定相等. 推论2

16、若累次极限0000lim lim( ,)lim lim( ,)xx yyyy xxf x yf x y与与都存在但不相等, 则重极限00( ,)(,)lim( ,)x yxyf x y必定 不存在. 第27页/共36页请注意: (i) 定理 16.6 保证了在重极限与一个累次 极限都存在时, 它们必相等. 但对另一个累次极限的 存在性却得不出什么结论, 对此只需考察本节习题 之 2(5). (ii) 推论 1 给出了累次极限次序可交换的一个充分条件. (iii) 推论 2 可被用来否定重极限的存在性(如例8 ). 第28页/共36页 0000( , )(,)()f x yP xyUP在点的某邻

17、域内在点的某邻域内 例10 设 ,:有有定定义义 且且满满足足0lim( ,)( );xxf x yy 00(i)(),UPyy 在内,对每个存在极限在内,对每个存在极限 0(ii)()UPx在内,关于一致地存在极限在内,关于一致地存在极限 0lim( ,)( ).yyf x yx 试证明: 0000lim lim( ,)lim lim( ,).xx yyyy xxf x yf x y 第29页/共36页证 01 (lim( )0,(ii),yyyA 证明存在由条件证明存在由条件00,0|(xyy 对对一一切切存存在在公公共共的的只只要要并并0( , )() ),x yUP 使便有使便有|(

18、, )( )|.2f x yx 00|,yy 于于是是当当时时 又又有有|( , )( ,)|( , )( )|f x yf x yf x yx |( ,)( )|.f x yx 第30页/共36页0,(i)xx再令由条件又得再令由条件又得|( )()|.yy 根据柯西准则, 证得0lim( ).yyyA 存在存在02 (lim( )0,xxxA 证明由证明由|( )|( )( , )|xAxf x y|( , )( )|( )| ,f x yyyA1 0( , )(),x yUPy 当且与当且与利用条件 (ii) 与结论 , 0y第31页/共36页,充分接近时 可使充分接近时 可使|( )( , )|, |( )|;33xf x yyA0,(i),0,0|,yxx再将固定 由条件当时再将固定 由条件当时又有00lim( )lim( ).xxyyxy |( )|,xA即即这就证得|( , )( )|;3f x yy 第32页/共36页注 本例给出了二累次极限相等的又一充分条件. 与 定理16.