动量和动量守恒定律解题技巧

1、动量和动量守恒定律解题技巧(一) 动量及动量定理【例1】质量为m的小球从高处由静止开始落下，经t1秒落在 泥塘上， 在泥塘中下落 t2 秒后停住 求小球在泥塘中所受平均阻力分析与解答 取小球为研究对象，研究从下落到停在泥塘中的 全过程此过程中小球受重力冲量和阻力冲量根据动量定理，有：可求出小球在泥塘中所受平均阻力为：【例2】滑块A和B用轻细线连接在一起后放在水平桌面上，水 平恒力F作用在B上，使A、B 一起由静止开始沿水平桌面滑动，如 图5 -4所示.已知滑块A B与水平桌面之间滑动摩擦系数均为 .力 F作用t秒后A B间连线断开，此后力F仍作用于B.试求：滑块A 刚刚停住时，滑块B的速度多大

2、？滑块 A B的质量分别为mA mB分析与解答(1)取滑块A B为研究对象，研究A、B整体作加速运动的过程，根据动量定理，有：F 卩(mA+ mB)gt = (mA + mB)v 0(2) 研究滑块A,研究A作匀减速运动的过程，根据动量定理， 有：卩 mAgf = 0 mAv将v代入上式，可求得滑块A作匀减速滑行时间为：(3) 研究滑块A、B整体.研究从力F作用开始直至A停住的全过 程此过程中物体系统始终受到力 F 及摩擦力的冲量， 根据动量定理， 有F 卩(mA+ mB)g(t +1 ' ) = mBvB将t '代入上式，可求出滑块 A刚停住时滑块B的速度为 上面例 1、例

3、2既可以用牛顿运动定律求解，也可以用功和能观 点求解此处用动量定理求解，使解题过程简化通过对例题1、 2 分析，请读者体会前面所讲的几个方面应注意的问题 这里进一步说 明的是，动量定理的研究对象可以是一个物体 （质点） ，也可以是物体 系统（质点组）例 1 的研究对象是一个物体， 例 2 则是以研究物体系 统为主 不论研究对象是物体还是物体系统， 研究对象的动量变化都 是由研究对象所受外力的冲量产生的 因此正确确定研究对象， 正确 分析研究对象所受力的冲量及其动量的变化，是应用动量定理分析、 解决问题的基础【例3】由高压水枪中竖直向上喷出的水柱，将一个质量为 m的 小铁盒开口向下倒顶在空中，如

4、图 55 所示已知水以恒定速率 v0 从横截面积为S的水枪中持续不变喷出，向上运动并冲击铁盒后，以 不变的速率竖直返回，求稳定状态下铁盒距水枪口的高度 h分析与解答 由水枪喷出的水作竖直上抛运动，当水柱上升到h高单位时间内，由水枪喷出的水的质量为 m = p vOS水柱喷射到铁盒上时，由于速度v减小，水柱与铁盒接触面积S'>S.由于水柱持续喷出，有SvO = S ' v,所以单位时间内喷射到铁盒上水的质量保持 m二p vOS不变.取质量为的水为研究对象，研究与铁盒相互作用的过程.由于水中每一水滴与铁盒作用时间极短， 可忽略作用过程中 每一水滴所受重力影响.取向上为正方向,

5、根据动量定理,有：f ' t = 2 p vOSv由于 t = 1秒，可得的水受铁盒作用力为：f' = 2 p vOSv铁盒所受水的冲击力f = f' =2p vOSv,处于稳定状态时， 铁盒所受合外力为零,有 2p vOSv = mg.将 v 代入上式，解得： </PGN0123.TXT/PGN> 对于较复杂的问题， 不仅仅要应用到动量定理的知识， 还要涉及 到所学的其它物理知识 综合运用所学知识解决问题是这部分知识的 较高要求（二）动量守恒定律物体间发生相互作用的过程中， 如果没有外力作用， 那么相互作 用物体的总动量保持不变， 这就是动量守恒定律 动量

6、守恒定律是宏 观世界和微观世界都遵守的共同规律， 应用非常广泛 动量守恒定律 的适用条件是相互作用的物体系统不受外力， 当然，世界上真正满足 不受外力的情况几乎是不存在的， 应用动量守恒定律的主要是如下三 种情况：系统受到的合外力为零.系统所受的外力比相互作用力 （内力）小很多，以至可以忽略外力的影响， 认为系统的总动量守恒 系统总体上不满足动量守恒的条件， 但在某一特定的方向上， 系统不 受外力，或所受的外力远小于内力，则系统沿这一方向的分动量守 恒.碰撞是指两物体间的短暂作用，由于相互作用的时间极短，相互 作用力很大，即使系统还受有摩擦、空气阻力等外力作用，也能满足 相互作用的内力远大于外

7、力的条件， 因此各碰撞过程都可应用动量守 恒定律求解.【例4】有N个质量均为m的人，站在质量为M的平板车上，开 始时人与车均静止于光滑水平地面上.若这N个人都从平板车的后端 以相对平板车为 u 的水平速度从车上跳下， 车向前方反冲前进. 第一 种情况是N个人同时跳车，第二种情况是N个人依次跳下，试求这两 种情况中平板车最终行驶速度多大？分析与解答 第一种情况中，设人跳车时车的速度为 V,则人 跳车时人相对地的速度v = u V跳车过程中，人与车系统动量守恒，根据动量守恒定律，有 MV Nmv = 0第二种情况中，N个人依次跳车，第一个人跳车过程有M+ (N 1)mV1mv1 = 0v1 = u

8、 V1由上面两式解出第一个人跳车后，车的反冲速度为V1 = mu/(M+ Nm)第二个人跳车过程有：M + (N 2)mV2 mv2 = M + (N 1)mV1v2 = u V2依次分析每个人跳车过程，可得： 将上面各结果相加，可得第二种情况中平板车最终的反冲速度 为：由例 4 的分析可以看出，应用动量守恒定律解题时，各物体初、 末速度都应是相对地面的 若题目中给出物体间相对速度， 最好单独 列出相对速度关系式， 而在动量守恒定律中应列出对地的速度， 避免 由于速度关系引起混乱而出错误对类似例 4 这种有多次相互作用的物理过程， 要注意分析每一过 程的特点及规律， 还要找出前后过程之间的联系

9、， 才能对整个物理过 程有全面掌握根据对第二种情况的分析， 读者可以进一步体会、 类比质量连续 变化的火箭发射问题.由例4的结果对比可知VvVN读者可以由此 结果体会在发射人造航天器时，为什么要采用多级火箭依次点火加 速，而不采用这些多级火箭发动机同时点火加速的方式.【例5】人和冰车的总质量为M另有一个质量为m的坚固木箱.开 始时人坐在冰车上静止不动， 某一时刻人将原来静止在冰面上的木箱 以相对冰面的速度 v0 推向前方的固定弹性挡板，同时冰车反向滑 动.木箱与挡板碰撞后又反向弹回. 设碰撞挡板过程中木箱无机械能 的损失，人接到木箱后再以同样相对于冰面的速度vO推向挡板如此往复多次， 试分析人

10、推出木箱多少次后将不可能再接到木箱？已 知M： m = 31 : 2,不计冰车及木箱与冰面之间的摩擦.分析与解答 解法 1：取人、冰车及木箱系统为研究对象.不 论是第一次推出木箱, 还是以后每次接到木箱再将其推出的过程, 系 统的动量都是守恒的.根据动量守恒定律,有：第一次推出木箱的过程O = MV1mvO第二次推出木箱的过程MV1mvO = MV2mvO第三次推出木箱的过程MV2mvO = MV3mvO第n次推出木箱的过程v/PGN0125.TXT/PGN>MVn-1mvO = MVnmvO 将以上各式相加,得到：(n 1)mvO = MVnnmvO即(2n 1)mv0 = MVn当V

11、nvO时，木箱追不上冰车，即人无法再接到木箱，此时2n1 = MVn/m v0> M/m取n二9时，即人推出木箱9次后将不会再接到木箱.解法 2：取人、冰车及木箱为研究对象，考虑研究对象与挡板之 间的作用.木箱每碰挡板一次，其动量变化 2mv0即得到2mv0的冲 量作用对于研究对象，木箱每碰挡板一次，系统动量将增加2mv0设人推出木箱n次后，冰车速度Vnv0,则此后人无法再接到 木箱.研究人推出木箱 n 次的全过程， 此过程中木箱共碰挡板 （n 1） 次，系统所受冲量为（n - 1）2mv0,根据动量定理有：2（n 1）mv0 = （MVn mv0）0可以导出（2n -1）mv0 = M

12、Vn以下分析与解法 1 相同，故略去.同是一个问题， 解法 1 用动量守恒定律求解， 解法 2用动量定理 求解，请读者体会其中的差异：在解法 1 中，我们研究系统内物体之 间相互作用过程，每次接到又推出木箱的过程中系统的动量是守恒 的；在解法 2 中，我们并不考虑物体系统内的相互作用，而是考虑系 统所受外界物体 （挡板）的作用（这恰好是解法 1 中所没有考虑的 ），考 虑了研究对象与外界物体作用的全过程. 由以上例题分析应该重点体 会、理解应用物理规律分析问题的方法和思路.【例6】一条质量为M长为L的小船静止在平静的水面上，一 个质量为m的人站立在船头.如果不计水对船运动的阻力，那么当人 从船

13、头走到船尾时，船的位移多大？分析与解答 本题中人从船头走向船尾，不是匀速运动，但不 管人的运动多么复杂， 人与船组成的系统在水平方向上是满足动量守 恒条件的 （水对船的阻力不计 ） .开始时人与船都静止，总动量为零， 人运动过程中，船向相反方向运动，最后人停止在船尾，船也静止在 水中.画出图5-6所示的示意图，人相对船的位移是 L,但人对地的 位移不是L.设船发V/PGN0126.TXT/PGN生的位移是X,由图中可以 看出人对地的位移是 L- x设人运动过程中对地的速度(平均速度)是v,船对地的速度是V, 根据动量守恒定律,有mvMV = 0两边同乘以运动时间 t ,得mvt MVt = 0

14、由于Vt = X , vt = L - X即m(L - X) MX = 0其中负号是表示方向的.说明 本题主要想说明应用动量守恒定律解题时参照物必须明 确和统一,一般情况下,都以地面为参照物,各物体的始末速度都是 对地的,如果忽略了这一点,不作如图 5-6所示的分析,是解决不 了这个问题的.【例7】一列火车在水平直铁轨上做匀速运动，总质量为 M速 度为v，某时刻车后部有质量为 m的一节车厢脱钩，司机并未发觉， 又继续行驶了一般距离， 这期间机车的牵引力保持不变， 并且火车各 部分所受的阻力跟运动速度无关. 当司机发现时, 后面脱钩的车厢的 速度已减分析与解答 火车原在铁轨上做匀速直线运动,说明

15、它受力平 衡,即牵引力与所受阻力大小相等.一节车厢脱钩后,由于牵引力保 持不变,前面部分将做加速运动,后面部分将做减速运动,如果两部 分分开考虑,将很繁琐,而做为一个系统,仍满足“合外力为零”的 条件,因此可以应用动量守恒定律求解.设火车前面部分末速度为v，根据动量守恒定律，有说明：选择本题是想说明动量守恒定律决不只限制在碰撞一类问 题中应用，任何一个系统 （ 包括像本题这样已经脱离接触、不再相互 作用的系统 ） ，只要满足动量守恒的条件，总动量就守恒（三） 碰撞 碰撞是两个物体在很短时间内发生相互作用的物理过程 不论是 宏观物体间还是微观粒子间， 碰撞现象是普遍存在的 由于碰撞的作 用时间极

16、短（例如两个钢V/PGN0127.TXT/PGN球碰撞相互作用的时间 约为 10-4 秒），物体间相互作用力又非常大，通常物体所受外力 （如 重力、摩擦力 ）在这段时间内的影响可以忽略不计此过程中参与相 互碰撞作用的物体系统的总动量守恒， 这就是我们对碰撞现象的基本 认识之一由于物体间作用力很大， 而相互作用时间很短， 碰撞时物体间相 互作用力 （通常称之为冲力 ）对物体作用效果的两个显著特点是使物 体速度发生骤变而其位置变化极其微小以至我们认为其位置没有变 化这是我们对碰撞现象的另一基本认识根据碰撞前后物体系统能量变化特点， 碰撞可以分为完全弹性碰 撞、完全非弹性碰撞和非弹性碰撞在完全弹性碰

17、撞中，系统动能在 碰撞前后是不变的 而在完全非弹性碰撞和非弹性碰撞中， 碰撞后系 统总动能比碰撞前要减少， 其中在完全非弹性碰撞中， 系统损失的动 能多于一般非弹性碰撞中系统损失的动能【例8】一个质量是M二0.5kg的斜面体A原静止在光滑的水平 面上，一个质量 m二40g的小球B以水平速度v0二30m/s撞到A的 斜面上，碰撞时间很短，碰后变为竖直向上运动，求物体 A碰后的速 度分析与解答B与A的碰撞时间很短，说明碰撞过程中相互作用力很大，但A与B组成的系统总动量并不守恒，因为A与桌面间有 弹力作用，这个弹力(支持力)属于反应力，在B与A相互作用的短暂 过程中，支持力要发生很大变化，它不满足“

18、外力 内力”的条件， 但这个外力是沿竖直方向的，在水平方向上，由于水平面是光滑的， 因此A与B组成的系统，在水平方向上不受外力，水平方向上动量守 恒设A碰后的速度为v,而B碰后的水平分速为0,根据动量守恒 定律，有0mv0 = Mv0, 说明：本题是为了说明应用动量守恒定律解决问题的一般思路, 首先要把相互作用的物体组成一个系统, 看这个系统是否满足动量守 恒的条件,然后分析相互作用前、后两个状态各自的动量,再列方程 求解【例9】质量为M的木块放在水平地面上，处于静止状态，木块 与地面间摩擦系数为 卩.一颗质量为m的子弹水平射入木块后，木 块沿水平地面滑行了距离 s 后停住,如图 58 所示,试求： </PGN0128.TXT/PGN>(1) 子弹射入木块前速度 v0 多大？(2) 若子弹射入木块的深度为d,子弹与木块之间相互作用力多 大？分析与解答 (1) 子弹射入木块的过程时间极短暂, 子弹与木块 相互作用力远远大于木板所受摩擦力, 子弹与木块系统动量守恒, 有 mv0 = (mM)v.子弹射入木块后以共同速度v在水平地面上滑行了距离为s,研(2) 子弹射入木块并停在其中，相互作用中系统动量守恒由于 相互作用过程中有摩擦力做功， 系统动能减少 根据动量关系及动能