哈尔滨市-学年高二下学期期末数学(理)试题含答案

1、哈尔滨市第六中学2018 2018 学年度下学期期末考试高二（理科）数学试题考试时间： 120 分钟满分： 150 分一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的x1. 已知集合 Ax | x 11 , Bx | y12 ，则ACRB （）2A.1,0B.1,0C.2, 1D.2, 12.sin160 sin10cos 20cos10的值是（）A.1B.1C.3D.322223. 下列命题错误 的是（ ）A. 命题“若 x23x20 ，则 x1 ”的逆否命题为“若 x1，则 x23 x 20 ”B. 若 p q 为假命题，则p,q 均为假命题

2、C. 对于命题 p :xR , 使得 x 2x1 0，则p 为：x R ，均有 x 2x10D. “ x2 ”是“ x 23x 20 ”的充分不必要条件4. 在 ABC 中，内角 A, B , C 的对边分别为 a,b, c ，若 a18, b24, A45，则这样的三角形有（）A.0个B. 两个C. 一个D . 至多一个5. 已知函数f ( x) 的定义域为 ( 1,0)，则函数 f (2 x 1) 的定义域为（）A. ( 1,1)B.1,1C. (1,0)D. 1,1226. 函数 y2sin3xcos6x x R 的最小值等于（）A. 3B.2C .1D.57. 已知命题 p : 函数

3、y2a x 1 的图象恒过定点1,2 ；命题 q : 函数 yfx1 为偶函数，则函数 yfx 的图象关于直线x1 对称，则下列命题为真命题的是（）A. p qB. p qC.p qD . pq8. 为得到函数 ycos 2x 的图像，只需将函数ysin 2 x 的图像（）35A. 向左平移个长度单位C. 向左平移 5个长度单位62x 21,x09.已知函数 f x, g xx 2, x0B. 向右平移5个长度单位12D . 向右平移5个长度单位6x22x, x 01 , x，则函数 f g x 的所有零点之0x和是（）A.1313C . 13D .132B.22210. 已知定义在R 上的奇

4、函数 f ( x) 满足 f ( x2)f (x) ，且 f (1) 2，则 f (2017) 的值是（）A. 2B. 0C .1D.211. 已知函数 fx sinx 和函数 g xcosx 在区间1,2 上的图象交于A、B、C三点，则ABC 的面积是（）A.2B.3 2C .2D.5 2244kxk (1a2 )， x0，其中 aR ，若对任意非零实数12. 已知函数 f (x)(a 2a) 2 ， xx24a) x(30x1 ，存在唯一实数 x2 ( x1x2 ) ，使得 f ( x1 )f (x2 ) 成立，则实数 k 的最小值为 ( )A.4B. 4C .6D . 8二、填空题：本大

5、题共4 小题，每小题5 分13. 已知a,b, c 分别是ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边，若 a1,b3, AC2B，则 sin C_.14.已知,3, s i3,1 ，2则4nsin5413c o s_ 415.已 知 函 数 f x2x2axln x 在 其 定 义 域 上 不 单 调 ， 则 实 数 a 的 取 值 范 围是16.f ( x)ex , x 1， g ( x)kx1 ，若方程 f ( x)g ( x )0 有两个不同的实根，则f (x1), x1实数 k 的取值范围是 _.三、解答题：本大题共70 分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤17.( 满分

6、 10 分 )已知函数 f (x)2x 1 x 2（1）解不等式f (x) 0 ；（2）若存实数x 使得 f ( x) xa ，求实数 a 的取值范围 .x 12t18( 满分 12 分 ) 已知直线 l 的参数方程为（ t 为参数），以坐标原点为极点， xy2t正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是sinsin 21（1）写出直线 l 的极坐标方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）若点 P 是曲线 C 上的动点，求P 到直线 l 距离的最小值，并求出此时P 点坐标19. (满分 12 分)设ABC 的内角 A，B， C 的对边分别为 a, b, c .已知 sin( AB)b c

7、.sin( AB)c（1）求角 A 的大小；（2）当 a 6时，求ABC 面积的最大值，并指出面积最大时ABC 的形状 .20. ( 满分 12 分 ) 已知函数fxsin2 x2 3 sin x cos xsinxsinx.44（）求fx 的最小正周期和单调增区间；（）若 xx00x0为 fx 的一个零点，求cos2x0 的值 .221 ( 满分 12分 ) 已知函数fx kx, gxln x.xln x的单调区间；（1）求函数 g xx（2）若不等式f x gx在区间，0,内恒成立，求实数k 的取值范围。22. ( 满分 12分 ) 已知函数 f xx2ax ln x, aR （1）若函数

8、f x 在 1,2 上是减函数，求实数 a 的取值范围；（2）令 g xf x x 2 ，是否存在实数 a ，当 x0,e （ e是自然常数） 时，函数 g x的最小值是 3 ，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由；（3）当 x0,e 时，证明： e2 x25 xx1 ln x 2高二理科数学答案ACBBB CDABD CD 13.114.5615.a 4 16. e 1 ,11,e 1652x11x0x017.(1） fx022或或12xx2 01 2 x x 2 01 2 x x 2 0解得 x3 或 x1, 解集为, 31,.-5分（2） f xx a2x 1 2 x 2 a1x 1a

9、x22， x1xx1x1 ，所以只需满足11 aa3 .-10分22222x 12ty 1，所以直线 l 的极坐标方程为cossin118.1 ）由得 xy2t即 2cos cossin sin1，即2 cos1444因为sinsin2 cos2sin ,1 sin 2cos2即曲线 C 的直角坐标方程为y x2-6分（2）设 P x0 , y0，则 y0x02 , 所以 P 到直线 l 的距离123xy1x021x00x024d0222所以当 x01时， dmin32，此时 P1,1 ，2824所以当 P 点为1 , 1 时， P 到直线 l 的距离最小，最小值为3 2 -12分24819.

10、 （ 1）由 sin( AB)bc ，得 sin( AB)sin B sin Csin( AB)csin( AB)sin C又 sin( AB)sin(C )sin Csin( AB)sin Bsin C ， sin( AB)sin Bsin( AB)sin A cos Bcos Asin Bsin Bsin A cos B cos A sin Bsin B 2 cos Asin B0 ，又 sin B0，cos A122A(0,) ，A-6分3（2）解法一：由余弦定理a2b2c 22bc cos A 得 36 b 2c 2bcb2c22bc ，36b 2c 2bc3bc ，即 bc12S1

11、bc sin A3 bc 3 324当且仅当 bc2 3 时，“ =”成立 ABC面积的最大值为3 3 ，此时 ABC为等腰三角形 . -12分解法二：S1 bc sin A3 bc243 2R sin B2R sin C3R 2 sin Bsin C3R 2 sin Bsin( 2B)433 R2 sin( 2B)3R2，B(0,)2643由正弦定理2Ra63 ，R 2 3sin A4sin23当 2B62，即 BC时， Smax336 ABC面积的最大值为3 3 ，此时 ABC为等腰三角形 .20. （） f xsin2 x23 sin x cos xsin xsinx44sin 2 x3

12、 sin 2x1sin x cos xsin xcos x1cos2x2113sin 2x2cos2x3 sin 2x cos2 x222sin2x61 ，所以 fx 的最小正周期为，2因为 22x2k,kxk,kZk26236函数 fx的单调递增区间是 k, k, kZ ；-6分63（） fx02sin2x0610sin 2 x061 ，240 x0,2x052x00 ，6666261215 ，cos2x06144cos2 x0cos2 x066cos2x0cossin2 x06sin66615311351-12分42428.21. （ 1）g (x)ln x，故其定义域为0, g (x)1

13、ln x0， 得xx2， 令 g ( x )0 xe ，令 g ( x) 0，得 x eln x的单调递增区间为(0, e) 单调递减区间为 (e,) .-6分故函数 g (x)xln xln xln x1 2ln x（ 2）x 0, kx, k0 解 得xx2令 h x2 又 h xx3 令 h xxxe ，当 x 在 0,内变化时，h x , h x变化如下表由表知，当xe 时函数 h( x) 有最大值，且最大值为1 ，所以 k1 .-122e2e分22. （ 1） fx2xa12 x2ax1xx0 在 1,2 上恒成立，2x2h 10a1,7令 h xax1，有7 ，得 ah 2得a-4分022（2）假设存在实数 a ，使 g xaxlnxx0,e有最小值3， gxa1ax1xx当 a0 时， gx在0,e上单调递减，gx minge ae13, a4（舍去），e当01e 时， gx 在 0, 1 上单调递减，在1 , e 上单调递增aaa gxming11ln a3, ae2 ，满足条件