高等数学上册总复习上课讲义

1、此文档收集于网络，如有侵权，请联系网站删除高等数学上册知识点一、函数与极限（一） 函数1 、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）；2 、 反函数、复合函数、函数的运算；3 、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数；4 、 函数的连续性与间断点；函数 f (x) 在x连续lim f ( x) f ( x0 )0x x0第一类：左右极限均存在 .间断点可去间断点、跳跃间断点第二类：左右极限、至少有一个不存在.无穷间断点、振荡间断点5 、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论 .（二） 极限1 、定义1

2、 ）数列极限lim xn a0, N,n N , xnan2 ）函数极限lim f ( x) A0,0,x, 当 0x x0时， f ( x) Axx0精品文档此文档收集于网络，如有侵权，请联系网站删除左极限： f ( x0 )lim f( x)右极限： f ( x0 )lim f ( x)x x0x x 0lim f ( x) A 存在f ( x0 )f ( x0 )xx02 、极限存在准则1 ）夹逼准则：1 ） ynxnzn ( n n0 )lim ynlim znalim xna2 ） nnn2 ）单调有界准则：单调有界数列必有极限 .3 、无穷小（大）量1 ）定义：若 lim0 则称为

3、无穷小量；若 lim则称为无穷大量 .2 ）无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小Th1o() ;Th2, , lim存在，则 limlim（无穷小代换）4 、求极限的方法1 ）单调有界准则；2 ）夹逼准则；3 ）极限运算准则及函数连续性；4 ）两个重要极限：lim sin x1lim (1 1) xa)1b)lim (1 x) xex 0xx 0xx5 ）无穷小代换：（ x0 ）a)x sin x tan x arcsinx arctan x精品文档此文档收集于网络，如有侵权，请联系网站删除b) 1 cos x 1 x22c)ex1 x（ ax1 x ln a ）d)l

4、n(1x) x（ log a (1 x) x）ln ae)(1x) 1 x二、导数与微分（一） 导数1 、2 、定义：f( x) limf ( x)f (x0 )0xx0xx0左导数： f(x0 )f ( x) f ( x0 )limxx0xx0右导数： f(x0 )f ( x) f ( x0 )limxx0xx0函数 f (x) 在 x0点可导f( x0 ) f ( x0 )几何意义： f ( x0 ) 为曲线 yf (x) 在点 x0 , f ( x0 ) 处的切线的斜率 .3 、可导与连续的关系：4 、求导的方法1 ） 导数定义；2 ） 基本公式；3 ） 四则运算；4 ） 复合函数求导（

5、链式法则） ；5 ） 隐函数求导数；6 ） 参数方程求导；精品文档此文档收集于网络，如有侵权，请联系网站删除7 ） 对数求导法 .5 、高阶导数2d yddyn2 ） Leibniz公式： uv (n)Cnku( k) v(n k )k0（二） 微分1）定义：y f ( x0x)f ( x0 ) A xo(x) ，其中 A 与 x 无关 .2 ） 可微与可导的关系：可微可导，且 dyf( x0 ) x f ( x0 )dx三、微分中值定理与导数的应用（一） 中值定理1 、 Rolle 定理：若函数f (x) 满足：1 ） f ( x)C a,b ；2 ） f (x)D(a,b) ；3 ） f

6、(a)f (b) ；则(a, b), 使f ()0 .2、 Lagrange中值定理：若函数f ( x) 满足：1 ） f ( x)C a,b ；2 ） f (x)D(a,b) ；则(a,b), 使 f (b)f (a)f ( )(b a) .3、 Cauchy 中值定理：若函数f ( x), F ( x) 满足：1 ）f ( x), F ( x)C a,b ；2 ）f ( x), F ( x) D (a,b) ；3 ）F ( x)0, x (a, b)则(a,b), 使 f (b)f (a)f ()F (b)F (a)F ()精品文档此文档收集于网络，如有侵权，请联系网站删除（二） 洛必达法

7、则（三） Taylor公式（四） 单调性及极值1、 单调性判别法： f (x)C a, b ， f ( x) D (a,b) ，则若 f (x)0 ，则f ( x) 单调增加；则若 f( x) 0 ，则 f (x) 单调减少 .2、 极值及其判定定理：a)必要条件： f (x) 在 x0可导，若 x0为 f (x) 的极值点，则 f ( x0 )0 .b)第一充分条件： f ( x) 在 x0 的邻域内可导，且 f (x0 ) 0 ，则若当 xx0时， f (x)0 ，当 xx0 时， f (x)0 ，则 x0 为极大值点； 若当 xx0时， f (x)0 ，当 xx0 时， f (x)0 ，

8、则 x0 为极小值点；若在 x0的两侧 f ( x) 不变号，则 x0 不是极值点 .c) 第二充分条件： f (x)在 x0 处二阶可导，且 f (x0 )0 ， f ( x0 ) 0 ，则若 f ( x0 )0 ，则 x0为极大值点；若 f ( x0 )0 ，则 x0 为极小值点 .3、 凹凸性及其判断，拐点1） f ( x) 在区间 I 上连续，若x1 , x2I , f ( x1x2 )f (x1 )f (x2 ) ，则称 f (x) 在22区间 I上的图形是凹的；若 x1 , x2I , f ( x1x2 )f (x1 )f ( x2 ) ，则称 f (x) 在22区间 I上的图形是

9、凸的 .2）判定定理： f ( x) 在 a, b 上连续，在 (a, b)上有一阶、二阶导数，则a) 若x( a,b), f ( x)0 ,则 f (x) 在 a,b 上的图形是凹的；b) 若x( a,b), f ( x)0 ,则 f (x) 在 a,b 上的图形是凸的 .3）拐点：设 yf ( x) 在区间 I 上连续， x0 是 f (x) 的内点，如果曲线 yf (x) 经精品文档此文档收集于网络，如有侵权，请联系网站删除过点 ( x0 , f ( x0 ) 时，曲线的凹凸性改变了，则称点 ( x0 , f ( x0 ) 为曲线的拐点 .（五） 不等式证明1 、利用微分中值定理；2 、

10、利用函数单调性；3 、利用极值（最值） .（六） 方程根的讨论1 、连续函数的介值定理；2 、Rolle 定理；3 、函数的单调性；4 、极值、最值；5 、凹凸性 .（七） 渐近线1、 铅直渐近线： lim f ( x)，则 xa 为一条铅直渐近线；xa2、 水平渐近线： lim f ( x)b ，则 yb 为一条水平渐近线；x3、 斜渐近线： limf ( x)k lim f ( x)kx b 存在，则 ykx b 为一条斜xxx渐近线 .（八） 图形描绘四、不定积分（一） 概念和性质1 、原函数：在区间I 上，若函数 F (x) 可导，且 F ( x)f ( x) ，则 F (x) 称为f

11、 (x) 的一个原函数 .精品文档此文档收集于网络，如有侵权，请联系网站删除2 、不定积分：在区间 I 上，函数 f (x) 的带有任意常数的原函数称为f (x) 在区间 I 上的不定积分 .3 、基本积分表（ P188 ，13 个公式）；4 、性质（线性性） .（二） 换元积分法1 、 第一类换元法（凑微分） ：f ( x)( x)dxf (u)du2 、 第二类换元法（变量代换） ：f ( x) dxf (t )(t )dtu( x)t1( x)（三） 分部积分法：udv uv vdu（四） 有理函数积分1 、“拆”；2 、变量代换（三角代换、倒代换、根式代换等） .五、定积分（一） 概念

12、与性质：bn1 、 定义： af ( x)dxlimf ( i )xi0 i 12、 性质：（7条）性质 7 （积分中值定理）函数 f (x) 在区间 a,b 上连续，则 a,b ，使bbf ( )f ( x) dxf ( x) dx f ( )( ba)（平均值：a）baa精品文档此文档收集于网络，如有侵权，请联系网站删除（二） 微积分基本公式（ N L 公式）x(x)f (x)1、 变上限积分：设( x)af (t) dt ，则推广：d ( x)f (t) dtf ( x) ( x)f ( x)( x)dx( x)bf ( x) dx F (b) F ( a)2、 N L 公式：若 F (

13、x) 为 f ( x) 的一个原函数，则 a（三） 换元法和分部积分1bf ( x)dxf (t)(t)dt、 换元法： abuv bab2、 分部积分法：udvvduaa（四） 反常积分1 、无穷积分：tf ( x) dxlimf ( x) dxatabbf ( x) dxlimf ( x) dxtt0f ( x) dxf ( x) dxf ( x) dx02 、瑕积分：bbf ( x ) dxlimat atbtf ( x ) dx （a 为瑕点）f ( x) dxlimf ( x ) dx （b 为瑕点）at ba两个重要的反常积分：精品文档此文档收集于网络，如有侵权，请联系网站删除dx

14、,p1a1p1)axp, p1p1(ba)1 q1bdxbdx, q1q2)a (xa)qa (bx)q,q1六、定积分的应用（一） 平面图形的面积b2 ( x ) f1 ( x ) dx1 、 直角坐标： A fa2、 极坐标： A122( )12 ( ) d2精品文档此文档收集于网络，如有侵权，请联系网站删除（二） 体积1、 旋转体体积：a) 曲边梯形 yf ( x ), xa, xb, x 轴，绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积：Vxbf2 ( x ) dxab) 曲边梯形 yf ( x ), xa, xb, x 轴，绕 y 轴旋转而成的旋转体的体积：Vyb2xf ( x)dxa（柱壳法）

15、b2、 平行截面面积已知的立体： VaA( x) dx（三） 弧长、 直角坐标： sb1f( x )2 dx1a2、 参数方程： s( t )2( t )2 dt3、 极坐标： s() 2()2 d七、微分方程（一） 概念1、 微分方程：表示未知函数、未知函数的导数及自变量之间关系的方程.阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数 .2、 解：使微分方程成为恒等式的函数 .通解：方程的解中含有任意的常数，且常数的个数与微分方程的阶数相同.特解：确定了通解中的任意常数后得到的解.精品文档此文档收集于网络，如有侵权，请联系网站删除（二） 变量可分离的方程g( y)dyf (x)dx ，两边积

16、分g( y)dyf ( x)dx（三） 齐次型方程dy( y) ，设 uy，则dyux du ；dxxxdxdx或 dx( x )，设 vx ，则 dxvy dvdyyydydy（四） 一阶线性微分方程dyP(x) y Q( x)dxP( x) dxP( x) dx用常数变易法或用公式： y eQ( x)edx C（五） 可降阶的高阶微分方程1 、 y ( n)f (x) ，两边积分 n 次；2 、3 、y f (x, y ) （不显含有 y ），令yf ( y, y ) （不显含有 x ），令yp ，则 yp ；yp ，则 yp dpdy（六） 线性微分方程解的结构1、 y1, y2是齐次线性方程的解，则 C1 y1 C2 y2也是；2、 y1, y2是齐次线性方程的线性无关的特解，则C1 y1C2 y2 是方程的通解；3、 yC1 y1 C 2 y2y* 为非齐次方程的通解，其中y1 , y2 为对应齐次方程的线性无关的解，y*非齐次方程的特解 .（七） 常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性方程：ypyqy0精品文档此文档收集于网络，如有侵权，请联系网站删除特征方程： r 2pr q0 ，特征根： r1 , r2特征根通解实根 r1r 2y C1er 1 xC2 er