高等数学上册知识点

1、高等数学上册第一章函数与极限（一） 函数1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）；2、 反函数、复合函数、函数的运算；3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数；4、 函数的连续性与间断点；函数 f (x) 在 x0 连续lim f ( x) f ( x0 )x x0第一类：左右极限均存在。间断点可去间断点、跳跃间断点第二类：左右极限、至少有一个不存在。无穷间断点、振荡间断点5、 闭区间上连续函数的性质： 有界性与最大值最小值定理、 零点定理、介值定理及其推论。（二） 极限1、定义1）数列极限lim xn a0, N, n N , xn

2、 an2）函数极限lim f ( x) A0,0, x, 当 0 x x0时， f ( x) Ax x0左极限： f ( x0 )limf ( x)右极限： f ( x0 )lim f ( x)x x0x x0limf ( x) A 存在f ( x0 ) f ( x0 )xx02、极限存在准则1）夹逼准则：1） ynxnzn ( n n0 )lim ynlim zna lim xna2） nnn2）单调有界准则：单调有界数列必有极限。3、无穷小（大）量1）定义：若 lim0 则称为无穷小量； 若 lim则称为无穷大量。2）无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小Th1o()

3、 ;Th2, lim存在，则limlim（无穷小代换）4、求极限的方法1）单调有界准则；2）夹逼准则；3）极限运算准则及函数连续性；4）两个重要极限：a)lim sin x1x0x11 ) xb) lim (1x) xlim (1ex0xx5）无穷小代换：（ x0 ）a)x sin x tan x arcsin x arctan xb)1cosx 1 x22c) ex1 x（ ax1 xln a ）d)ln(1x) x（ loga (1x) x）ln ae)(1x)1 x第二章导数与微分（一） 导数1、定义：f ( x0 )limf ( x) f (x0 )x x0x x 0左导数： f(x0

4、 )limf ( x) f ( x0 )xx0x x0右导数： f(x0 )limf ( x) f ( x0 )xx0x x0函数 f ( x) 在 x0 点可导f ( x0 ) f ( x0 )2、几何意义： f( x0 ) 为曲线 yf (x) 在点 x0 , f ( x0 ) 处的切线的斜率。3、可导与连续的关系：4、求导的方法1） 导数定义；2） 基本公式；3） 四则运算；4） 复合函数求导（链式法则） ；5） 隐函数求导数；6） 参数方程求导；7） 对数求导法。5、高阶导数d 2 yd dy1）定义： dx2dxdxuv (n )n2）Leibniz 公式：Ck u(k )v( n

5、k )nk0（二） 微分1） 定义：yf ( x0x)f ( x0 )A xo( x) ，其中 A 与x 无关。2）可微与可导的关系：可微可导，且dyf ( x0 ) xf ( x0 )dx第三章微分中值定理与导数的应用（一） 中值定理1、 Rolle 定理：若函数f (x) 满足：1） f ( x)C a,b ；2） f ( x)D( a, b) ；3） f (a)f (b) ；则(a, b), 使 f ( )0 .2、3、1 ）Lagrange中值定理：若函数f (x) 满足：1） f ( x)C a, b ；2） f ( x)D(a, b) ；则( a, b), 使 f (b)f (a)

6、f ( )(ba) .Cauchy 中值定理：若函数f ( x), F ( x) 满足：f ( x), F ( x) C a,b ； 2 ） f ( x), F (x)D(a,b) ； 3 ）F ( x)0, x (a, b)则(a,b), 使 f (b)f (a)f ()F (b)F (a)F ()（二） 洛必达法则注意 :1、尽量先化简（有理化、无穷小代换、分离非零因子）再用洛必达法则！如： lim 1 x24cos xx 0tanx2、对于某些数列极限问题，可化为连续变量的极限，然后用洛必达法则！如： limnnan bn2（三） Taylor 公式n 阶 Taylor 公式：f ( x

7、) f (x0)f ( x0)( x x0)f ( x0 ) ( xx ) 22!0f( n) ( x0 )x )nf(n 1) ( )x)n 1( x( x0n!0(n 1)!在 x0 与 x 之间 .当 x00 时，成为 n 阶麦克劳林公式：f ( x)f (0)f (0) xf (0) x2f ( n) (0) xnf (n1) ( ) xn 11!2!n!(n1)!在 0 与 x 之间 .常见函数的麦克劳林公式：1） ex1 x1 x21 xnexn 12!n!(n 1)!在 0 与 x 之间，x；2）x3x5x7( 1) m 1x2 m 1sin(2m 1)sin x x2 x2 m

8、 13!5!7!( 2m 1)!(2m 1)!在 0与x 之间，x；3）x2x4x6( 1) m 1x2 m 2cos2mcosx 12 x2m2!4!6!(2m 2)!( 2m)!在 0 与 x 之间，x；4） ln(1x)xx2x3x4(1)n 1 xn( 1) n xn 1n 1234n(n 1)(1)在 0与 x 之间，1x 15）(1 x)1x(1) x2(1)(2) x3(1)( n 1) xn2!3!n!( 1)(n)(1 ) n 1xn 1 ，(n1)!在 0 与 x 之间，1x 1 .（四） 单调性及极值1、单 调 性判 别 法 ： f ( x)Ca, b ， f ( x)D

9、 (a, b) ， 则 若f (x) 0 ，则 f (x) 单调增加；则若 f (x)0 ，则 f (x) 单调减少。2、极值及其判定定理：a)必要条件：f ( x) 在 x0 可导，若 x0 为 f ( x) 的极值点，则f (x0 )0 .b) 第一充分条件： f (x) 在 x0 的邻域内可导，且 f ( x0 )0 ，则若当 x x0 时， f ( x)0 ，当 x x0 时， f (x)0 ，则 x0为极大值点；若当 xx0 时， f ( x) 0 ，当 xx0 时，f (x) 0 ，则 x0 为极小值点；若在 x0 的两侧 f (x) 不变号，则 x0 不是极值点。c) 第二充分条

10、件： f ( x) 在 x0 处二阶可导，且 f ( x0 )0 ，f ( x0 )0，则若 f ( x0 ) 0 ，则 x0 为极大值点；若 f (x0 )0 ，则 x0为极小值点。3、凹凸性及其判断，拐点1） f ( x) 在区间 I 上连续，若x1, x2 I , f ( x1 x2 )f (x1 )f (x2 ) ，22则 称f (x) 在 区 间I上的图形是凹的；若x1 , x2I ,f ( x1x2 )f ( x1 )f (x2 ) ，则称 f ( x) 在区间 I 上的图22形是凸的。2）判定定理： f ( x) 在 a, b 上连续，在 (a, b) 上有一阶、二阶导数，则a)

11、若 x(a,b), f( x)0 ,则 f ( x) 在 a,b 上的图形是凹的；b)若 x(a,b), f( x)0 ,则 f ( x) 在 a,b 上的图形是凸的。3）拐点：设 yf ( x) 在区间 I 上连续， x0 是 f ( x) 的内点，如果曲线 yf ( x) 经过点 ( x0 , f (x0 ) 时，曲线的凹凸性改变了，则称点( x0 , f (x0 ) 为曲线的拐点。（五） 不等式证明1、利用微分中值定理；2、利用函数单调性；3、利用极值（最值）。（六） 方程根的讨论1、连续函数的介值定理；2、 Rolle 定理；3、函数的单调性；4、极值、最值；5、凹凸性。（七） 渐近线

12、1、 铅直渐近线： lim f ( x)xa2、 水平渐近线： limx f ( x)3、 斜 渐 近 线 ： lim f ( x)xxykxb 为一条斜，则 xa 为一条铅直渐近线；b ，则 y b 为一条水平渐近线；k lim f ( x)kxb 存 在 ， 则x渐近线。（八） 图形描绘步骤 :1. 确定函数 yf (x) 的定义域，并考察其对称性及周期性；2. 求 f (x), f ( x) 并求出 f (x) 及 f (x) 为零和不存在的点；3. 列表判别函数的增减及曲线的凹向 , 求出极值和拐点 ;4. 求渐近线 ;5. 确定某些特殊点 , 描绘函数图形 .第四章不定积分（一） 概

13、念和性质1、原函数：在区间I 上，若函数 F (x) 可导，且 F ( x)f ( x) ，则 F (x) 称为 f (x) 的一个原函数。2、不定积分：在区间 I 上，函数 f (x) 的带有任意常数的原函数称为 f (x) 在区间 I 上的不定积分。3、 基本积分表（ P188 ，13 个公式）；4、 性质（线性性）。（二） 换元积分法1、第一类换元法（凑微分）：f ( x)( x)dxf (u)du u( x )2、第二类换元法（变量代换）：f ( x) dxf (t ) (t )dt1( x)t（三） 分部积分法：udvuvvdu（四） 有理函数积分1、“拆；”2、变量代换（三角代换、

14、倒代换等） 。第五章定积分（一） 概念与性质：bn1f (x)dxlimf ( i ) xi、 定义： a0i 12、 性质：（7 条）性质7 （积分中值定理）函数 f (x) 在区间 a, b 上连续，则bf ( )( b a) a, b ， 使f ( x) dx（平均值：abf ( x) dxaf ()）ba（二） 微积分基本公式（ NL 公式）1、变上限积分：设(x)xaf (t)dt ，则( x)f ( x)d( x )推广：dxf (t) dt f ( x) ( x) f ( x) ( x)( x)2、 NL公 式 ： 若 F (x) 为 f ( x) 的 一 个 原 函 数 ， 则

15、bf ( x) dxF ( b)F ( a)a（三） 换元法和分部积分1bf ( x)dxf (t)(t)dt、 换元法： abuv bab2、 分部积分法：udvvduaa（四） 反常积分1、 无穷积分：tf ( x)dxlimf ( x)dxatabbf ( x)dxlimf (x)dxttf ( x ) dx0f ( x)dxf ( x) dx02、 瑕积分：blimbf ( x)dxf ( x)dx （a 为瑕点）atatblimtf ( x)dxf ( x)dx （b 为瑕点）atba两个重要的反常积分：dx,p1a1p1)axp,p1p1(ba)1 q1bdxbdx, q1q2)a

16、 (xa)qa (bx)q,q1第六章定积分的应用（一） 平面图形的面积b2 ( x) f1 ( x) dx1、 直角坐标： A fa2、 极坐标： A122()12 ( ) d2（二） 体积1、 旋转体体积：a) 曲边梯形 yf ( x ), xa, xb, x 轴，绕 x转体的体积： Vxbf 2 ( x)dxab)曲边梯形 yf ( x), xa, xb, x 轴，绕 y转体的体积： Vybxf ( x) dx2a、 平行截面面积已知的立体： Vb2A( x) dxa（三） 弧长、 直角坐标： sbf( x ) 2 dx11a2、 参数方程： s( t )2( t )2 dt3、 极坐标

17、： s() 2( )2 d轴旋转而成的旋轴旋转而成的旋（柱壳法）第七章微分方程（一） 概念1、 微分方程：表示未知函数、未知函数的导数及自变量之间关系的方程。阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数。2、 解：使微分方程成为恒等式的函数。通解：方程的解中含有任意的常数，且常数的个数与微分方程的阶数相同。特解：确定了通解中的任意常数后得到的解。（二） 变量可分离的方程g( y)dyf (x)dx ，两边积分g( y)dyf ( x) dx（三） 齐次型方程dy( y ) ，设 uydxxx或dx( x ) ，设 vxdyyy，则，则dyux dudxdx ；dxvy dvdydy（四）

18、一阶线性微分方程dyP(x) yQ( x)dx用常数变易法或用公式：P( x) dxQ( x)eP( x) dxy edx C（五） 可降阶的高阶微分方程1、 y(n)2、 y3、 yf (x) ，两边积分 n 次；f ( x, y ) （不显含有 y ），令 yp ，则 yp ；f ( y, y ) （不显含有 x ），令 yp ，则 ydppdy（六） 线性微分方程解的结构1、 y1, y2 是齐次线性方程的解，则 C1 y1C2 y2也是；2、 y1, y2 是齐次线性方程的线性无关的特解，则C1 y1C2 y2 是方程的通解；3、 y C yC y2y* 为非齐次方程的通解，其中y , y为对应11212齐次方程的线性无关的解，y* 非齐次方程的特解。（七） 常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性方程：ypyqy0特征方程： r 2pr q0 ，特征根：r , r21