齐民友高数下册复习考试

1、高等数学复习考试（下册）第 8 章 空间解析几何与向量代数一、 向量及其运算1、空间直角坐标系空间直角坐标系：三条两两垂直相交于原点的坐标轴，x 轴、 y 轴和 z 轴构成右手关系。（ 1） 学会： a）找出空间中给定点的坐标。 b）找出空间中以给定 ( x , y , z ) 为坐标的点。c）空间各部分点坐标的特点。（2）两点 M1( x1 , y1 , z1 ) 、 M2( x 2, y 2 , z2 ) 的距离公式d( M , M )M M( x2x)2( y2y)2( z2z)212121112、向量（ 1）向量的概念数量：只有大小；向量：既有大小又有方向。向量只有大小和方向。在空间中

2、用有向线段表示向量。 其长度表示向量的大小也称为模或范数； 其方向表示向量的方向。一个向量可以放在空间中任意位置。（ 2）特殊向量零向量 0 ：大小为0。任意方向都是 0 的方向。只有一个零向量。单位向量：大小为1。有无穷多个单位向量。如果a0，则ea1 aa是与 a 方向一致的单位向量，称为a 的单位化。（3）两向量的关系向量 a 和 b 有夹角( a, b ), 0。当(ab)ab ；当ab)或a/b,时说时说。2（4）向量的坐标把向量 a 的始点放在原点，得 a(,ay,az)(a)a 的分解式的终点M axOM，则有aax iay jaz k其中 i , j , k 是标准单位向量。a

3、x , ay , az是向量 a 的坐标。 ax , ay , az分别是 a 在 x 、y 、z 轴上的投影；ax i, ay j, az k分别是a 在 x、 y、 z 轴上的投影向量。向量与坐标一一对应。向量的理论分为两部分：向量理论。两部分理论对应地出现，互相翻译。用几何描述的向量理论和用坐标描述的设 M1( x1 , y1 , z1 ) 、 M2( x 2 , y 2 , z 2 )，则M1M2( x2x1 )i( y 2y1 )j( z2z1 )kx 2x1, y 2y1, z2z1（终点坐标减始点坐标。）始点坐标、终点坐标、向量坐标知其二求第三。（5）模和方向余弦设 aax ,

4、ay , az ，则aax2ay2az2cosaxa x2a y2az2cosayax2a y2az2cosaza 2a2a2xyz其 中, , 分 别 是 a 与 x 、 y 、 z 轴 的 夹 角 ， 它 们 支 定 了 a 的 方 向 。c o sc o sc o s1222。一次性求出三个方向余弦：1cos , cos, cosaa3、向量运算（1）加减法a）几何方法两向量用平行四边形法则或三角形法则（接龙法）相加。a 与 a 大小相等方向相反。ab a( b ) 。b）坐标方法设 aax , ay , az , bbx , by , bz，则a baxbx , ayby , azbz

5、（2）数乘向量a）几何方法aa 。 a 的方向：当0 时与 a 同向；当0时与 a 反向。b）坐标方法ax , ay , azax ,ay ,az（3）两向量的数量积a）几何方法a ba b cos(a, b)a prj abb prj b ab）坐标方法设 aax , ay , az , bbx , by , bz ，则a baxbxay byazbzc）物理意义位移 r 外力 F 做的功WF r（4）两向量的向量积a b 是一个新的向量。a）几何方法aba bsin( a , b ) ；( a b )a, ( a b)b, a, b, ab 成右手关系。b）坐标方法设 aax , ay ,

6、 az , bbx , by , bz ，则ijka bay bzazby , azbxax bz , axbyaybxaxayazbxbybzc）几何意义ab以 a, b 为边的平行四边形的面积。（5）三向量的混合积a） a, b, c( ab) c 。 a, b , c b , c , a c , a, b 。b）几何意义 a , b , c 以 a, b, c 为边的平行六面体的体积。（6）熟悉各种运算的运算律。4、平行、垂直、共面条件（1）设 aax , ay , az0, bbx , by , bz 。下列命题等价：a） a/ b ；b）存在实数使得 ba ；c） bx : axby

7、 : aybz : az ；d） ab0 。（2）下列命题等价：a） ab ；b） axbxaybyaz bz0 ；（3） a, b, c 共面 a, b , c 0 。二、 空间解析几何1、一般概念空间几何对象：曲面和曲线。平面是特殊的曲面，直线是特殊的曲线。空间解析几何就是用代数方程研究几何对象。几何对象和它的代数方程K 的关系如下：（1）上每点的坐标都满足方程K ；（2）坐标满足方程K 的点都在上。空间解析几何的主要任务:（ 1）根据已知条件写出几何对象的方程；（ 2）根据几何对象的方程分析几何对象的形状。2、空间解析几何（1）平面a）点法式方程: (x0 )(y0 )(z0 )0A x

8、B yC z其中nA B C0 是的随便一个固定的法向量，M 0 ( x0 , y0, z0 )是随便固定的, ,一点。利用条件求出n,M 0 即可写出平面的点法式方程。b）一般方程:AxByCzD0其中nA B C, ,0 是的法向量。( 0,0,0)D0/ x( y , z ) 轴A( B, C)0可以用一般式方程写满足条件的平面方程。利用条件求出A, B,C , D 即可写出平面的一般方程。c）三点式方程i ）取 nM1M2M1M3 , M0M1ii ）写出点法式方程。d）截距式方程如果平面与 x , y , z 轴分别交于非原点( a,0,0), ( 0, b,0), ( 0,0, c

9、 ) ，则: xyz1abce）点 M0( x 0 , y 0 , z0 ) 到平面: AxByCzD 0的距离df ）设Ax0By0Cz0DA2B2C2:101Ax B1y C1z D12 :A2 x B2 y C2z D20则cos(1 ,n1n2A1A2B1 B2C1C22 )A12B12C12A22B22C22n1 n212n1n2A1 A2B1B2C1C201 /2n1 / n2A1: A2B1:B2C1:C2（2）直线a）点向式方程l : xx 0y y 0zz 0mnp其中sm n,p0 是 l的随便一个固定的方向向量，M 0 (x0, y0, z0 ) l是随便固定的,一点。利

10、用条件求出s, M 0 即可写出直线的点向式方程。b）参数方程xx0mtl: yy 0ntzz 0pt其中sm n,p0 是 l的随便一个固定的方向向量，( x, y0, z) l是随便固定的,00一点， t 是参数。c）一般方程l:1 : A1x B1y C1z D102 : A2x B2y C2 z D20l 作为平面 1 和2 的交线。d）点向式方程l :xx 0yy 0zz 0mnp化为一般方程xx 0yy 0l:mny 0zz 0ynpe）一般方程化点向式方程：i ）求出 l 方程组的一个解M0( x 0 , y 0 , z0 ) ；ii ）取 s n1 n2A1, B1 ,C1A2

11、,B2,C2；iii ）用 M0( x 0 , y 0 , z0 ) 和 s 写出点向式方程。f ）两直线l 1 : xx1yy 1zz1mnp111l 2 : xx 2yy 2zz2m2n2p2的夹角cos(l1,l 2 )s1 s2m1m2n1n2 p1 p2s1 s2m12n12p12 m22n22p22l 1l 2s1s212n1n2p1 p20mml 1 / l 2s1 / s2m1 : m2n1 : n2p1 : p2直线lx x0y y 0z z 0:npm与平面: AxByCzD0的夹角sin(l ,s nAmBnCp)A2B2C 2m2n2p2s nls /nm : A n

12、:B p : Cl /snmAnBpC0g）过直线l:1 : A1x B1y C1z D102 : A2x B2y C2 z D20的平面束: A1xB1yC1zD1( A2xB2yC2zD2 )0用已知条件确定，从而在平面束中求出满足要求的平面。（ 3）常见的空间曲面（ 1）柱面二 元 方 程 F( x , y )0( 或 F( z , y )0或 F( x , z )0) 在 空 间 中 表 示 母 线 平 行 于z( 或 x或 y )轴的柱面。（2）旋转曲面曲线 f ( y , z)0 绕 y 轴旋转一周得的旋转曲面的方程为x0f ( y , z 2x 2 ) 0其它曲线绕其它轴转的情况

13、类似（请你试写出来）。（3）二次曲面a）学会用“截痕法”分析曲面的形状。b）熟悉 P56-P64 列出的各种二次曲面及它们的方程。c）特别常用的曲面：柱面、锥面、（椭）球面、抛物面。（4）空间曲线a）空间曲线的一般方程（曲线作为两曲面的交线）F( x, y , z )0G( x , y , z )0参数方程x x(t )y y(t )zz(t )b ）由一般方程写参数方程的常用方法：先由一般方程变形出( )12( )221 ；令( )1 cos , ( )2sin；再进一步写出参数方程。c）曲线在坐标平面上的投影由方程F( x, y , z )0G( x , y , z ) 0消去 z( 或

14、x或 y ) 得到在 xy ( 或 yz 或 zx ) 面上的投影H( x , y )0 或 H( y , z)0或 H( z, x )0z0x 0y0第 9 章 多元函数微分法及其应用一、 多元函数的极限和连续性1 多元函数的极限（ 1）计算多元函数极限的方法： （ i ）要善于变形； （ ii）把一组东西看出一个整体，转化为一元函数的极限，再用一元函数求极限的方法求极限。（2）证明极限 lim fx, y 不存在：举一些xx0 的方式（比如 yy0 k (x x0 ) ），使xx0yy0yy0极限不存在或与方式（k ）有关。2 多元函数的连续性（ 1）证明f 在 ( x0 , y0 ) 点

15、不连续：（ i ）用前面方法证明lim f x, y 不存在；或（ ii ）求出xx0yy0lim fx, yfx0 , y0。xx0yy0（2）证明 f 在 ( x0 , y0 ) 点连续就是证明 limf x, yfx0 , y0。xx0yy0二、 偏导数和全微分1偏导数（ 1 ） f x, y在 (x0 , y0 )点 的 偏 导 数 分 两 步 ：（ i ） 作 一 元 函 数xf x, y0 ,yf x0 , y；（ ii ） f xx0 , y0x0 , f y x0 , y0y0。因此f x x0, y0limf x0x, y0f x0 , y0, f yx0 , y0limf

16、x0 , y0yf x0 , y0x0xy 0y（2）偏导数的几何意义： （ i） f xx0 , y0=曲线zfx, y0在 x 0 , y 0点切线对 x 轴的yy0斜率；（ ii ）曲线zf x, y0在 x 0 , y0点切线对z 轴的斜率 =1。关于yy0f x x0 , y0f y x0 , y0 完全类似。（3）当相应的高阶导数连续时，高阶偏导数与求导次序无关。2全微分（1）全微分概念如果存在与x 和y 无关的 A x0 , y0和 B x0 , y0使z f x0x, y0yf x0 , y0A x0 , y0x B x0 , y0 yx 2y 2则称 f 在 ( x0 , y

17、0 ) 点可微。f 在 (x0 , y0 ) 点的全微分dz A x0 , y0x B x0 , y0y A x0 , y0 dx B x0 , y0 dy关于任意点(x, y) 的全微分，上面( x0 , y0 ) 改为 (x, y) 。当 ( x, y) 是复合函数的中间变量时，全微分公式也一样。（2）如果f 在 ( x0 , y0 ) 点可微，则f 在 (x0 , y0 ) 点的偏导数都存在，并且dzf x x0 , y0xf y x0 , y0yf x x0 , y0 dxf y x0 , y0 dy（3）（ i） f 在 (x0 , y0 ) 点可微f x0x , y 0yf x 0

18、 , y 0f x x 0 , y 0 xf y x0 , y 0ylim0x0x 2y 2y0(ii) 证明 f 在 ( x0 , y0 ) 点不可微就是证明极限limfx0x, y0yf x0 , y0f x x0 , y0xf y x0 , y0yx0y0不存在或不为0。3 导数的计算（ 1）一般函数求导方法：此一元函数求导。x2y 2（ i）保留求导变元，固定其他变元为常数，得一元函数；（ii ）对（2）复合函数求导方法：（ i）画复合函数图； （ ii ）根据复合函数图写求导公式（设对x 求导）：每个 x 所在的路径都对应一项：此路径中的每个相邻函数关系都求导，这些导数相乘作公式的一

19、个求导项； （ iii ）根据求导公式求得偏导数。（iv ）利用低阶偏导数求高阶偏导数，遇到求偏导函数的导数时，各阶偏导函数与原函数有相同的函数图。（复合函数求导一定要求到底！）（3）隐函数求导方法： （i ）把隐函数变量看作其它变量的函数得恒等式（组）；（ ii）对恒等式（组）两边求导得含所求导数的方程（组）；（ iii ）解方程（组）得所求导数；（ iv ）求隐函数的高阶偏导数有两种方法：(a) 利用低阶偏导数求高阶偏导数；(b)继续对求低阶导数时得的方程（组）求导，得含高阶导数的方程（组），解此方程（组）得高阶导数。不管用哪种方法，都要代入低阶导数的结果，都要清清楚楚地知道哪里含有要求导

20、的变量。隐函数求导也可解出隐函数再求导。反函数看作隐函数处理。4 连续、可导、可微、偏导数连续的关系偏可导th× C3导可数C2× × C3微连续th连续反例：x 2y 2 sin 212 , x2y 20；x2xyy2 ,x2y20C1：xy：都；C2 x C30,xy00,xy0在(0,0) 点。要熟悉一些典型例题。三、 多元函数微分法的应用1曲线x x t L： y y t z z t在x t0, y t0, z t 0的切向量x t 0 , y t0 , z t0切线： xx t0yy t 0zz t0x t 0yt 0zt 0法平面： x t 0 xx

21、t 0y t0yy t0z t0 zz t00如果 L： yy xxx则用 x 作参数 L： yy x 。（用 y 或 z 作参数的情况类似）zz xzz x2曲面：F x, y, z0 在 x0 , y0 , z0 点的法向量nFx x0 , y0 , z0 , Fy x0 , y0 , z0 , Fz x0 , y0 , z0切平面：Fx x0 , y0 , z0x x0F y x0 , y0 , z0y y0Fz x0 , y0 , z0 z z0 0法线：x x0yy0zz0Fx x0 , y0 , z0Fy x0 , y0 , z0Fz x0 , y0 , z0当曲面以参数方程给出时

22、，消去参数变成一般方程再做。3 方向导数与梯度（1） f x, y, z 在点x0 , y0 , z0 沿方向l 的方向导数ff x0 t cos, y0t cos , z0t cosf x0 , y0 , z0limtlx0 , y0 , z0t0f x x0 , y0 , z0 cosf y x0 , y0 , z0cosf zx0 , y0 , z0 cos其中 cos,cos, cos是 l 的方向余弦。求 f x, y, z在 点 x0 , y0 , z0 沿 方 向 l 的 方 向 导 数 的 方 法 ：（ i ） 求 导f x x0 , y0 , z0 , f y x0 , y0

23、 , z0 , f z x0 , y0 , z0； （ ii） 求l的方向余弦1 lcos, cos,cos；（ iii ）代入上面公式。有时要用上面极限求方向导数。l（ 2） f x, y, z 在点 x0 , y0 , z0 的梯度grad ffx x0 , y0 , z0 , f y x0 , y0 , z0 , f z x0 , y0 , z0x0 , y0 , z0梯度是方向导数最大的方向，梯度的反方向是方向导数最小的方向，与梯度垂直方向的方向导数为0：grad f,l 与梯度同向x0 , y0 , z0f- grad f,l 与梯度反向 。l x0 , y0 , z0x0 , y0

24、 , z00，l 梯度梯度是等值面的法向量。4 极值与最值（1）无条件极值如果存在去心邻域UUx0 , y0 ,使f x , y f x0 , y0 , x , yU则称x0 , y0为 fx, y 的极大值点，称为的极大值。可见，极值是小范围的小小最值。如果 fx, y在 x0 , y0点有二阶偏导数，必要条件：f xx0 , y00；f yx0 , y00ACB20A0x0 , y0 是f的极大值点；充分条件：A0x0 , y0 是f的极小值点；其中B 2AC0x0 , y0不是 f的极值点。A f xx x0 , y0 , Cf yy x0 , y0 , Bf xy x0 , y0 。解

25、无条件极值问题的方法：求出 f xx（ i ）f x求出f y, ；x, y 或f yy x, y 或f xy x, y 不存在的全部点： x1, y1, xn , ynx, y0的全部解：x1 , y1 , , xm , ym(ii) 用定x, y0 逐点判定；用充分条件对x1 , y1 , xm , ym 逐点判定。是否极值义对 x1, y1 , xn , yn点，是极大值点还是极小值点，一定要有明确的结论；(iii)必要时求出相应的极值。（2）最值fx, y在 (闭) 区域D 上的最大（小）值点有两种可能在 D的边界 D 上；因此在 D 的内部。求最大（小）值的方法：（ i ）求 fx,

26、 y在 D 的最大值M （最小值 m ）；（ ii ）求出f xx x, y 或 f yy x, y 或f xy,；x, y 不存在的全部点： x1, y1xn , ynf xx, y0的全部解：x1 , y1, xm , ym（ iii ）结果f yx, y0最大值max M , f, fx1 , y1, fxm , ymx1 , y1, f xn , yn最小值min m, f,x1, y1, f xm , ymx1, y1, f xn, yn , f如果根据问题的实际知：最大（小）值在D 内部取得，并且，在D 内部到处可导且只有唯一个驻点或导数不存在的点，则这点就是最大（小）值点。5 条

27、件极值zfx1 , , xn条件极值问题1x1 , xn0的解法：mx1 , xn0（i ）写拉格朗日函数Lf x, xn11 x, xnmm x, , xn ；（ii ）求函数 L 非条件极值的驻点（1 , m 不用解出）；（iii ）根据问题的实际判断每个驻点是否极值点，是极大值点还是极小值点。6 泰勒公式设函数 f x , y 充分可导，则f x 0 h, y 0kn 1 hif ( x 0 , y 0 )xkf ( x0, y0 )i 1 i !y( n其中 01 。有时可以把一组东西看作一个 t ，利用一元函数写出关于到原函数的泰勒公式。四、 相关题目1求多元函数的极限；2证明多元函

28、数在某点的极限不存在；3证明多元函数在某点不连续（连续）；4求给定多元函数（在某点）的偏导数；5求多元函数（在某点）的全微分；6求多元复合函数、隐函数的一阶或高阶偏导数，或全微分；1n1hkf ( x 0h, y 0k )1)!xyt 的泰勒公式，再把t 代回得7求曲线在某点的切线方程、法面方程；求曲面在某点的切面方程、法线方程；（可能要先根据已知写出方程）8求给定函数在某点的梯度，在某点沿某方向的方向导数；9求函数的极值、最大（小）值、条件极值；10证明多元函数在某点不可导（不可微或导函数不连续）。第 10章重积分一、 二重积分1二重积分的概念设 D 是平面上的有界闭区域，fx, y 是 D

29、 上有界函数。分割：把 D 分割为 n 个小区域：1 ,n“近似”：i , ii ，作fi , iinfi ,求和：iii 1取极限：记maxi ，in不存在，称 fx, y 在 D 上不可积；limfi ,iiA存在，称 A为 f x, y 在 D上的二重积分，记为0i 1nfx, y dfx, y dxdylimf i , ii0DDi1当 f x, y有了实际意义，f x, y dD也相应地有实际意义。例如，如果fx, y是质量面密度，则二重积分就是D 的总质量；当f x, y 是以 D 为底的曲顶柱体的高度函数时，二重积分是此曲顶柱体的体积。0d0,f x, y d0 D的面积0 ，

30、dD的面积DDD2二重积分的性质（1）线性性f x, yg x, y df x, y dg x, y dDDD（2）可加性如果 D 分割成两个区域D1 和 D2 ，则f x, y df x, y df x, y dDD1D2（3）单调性如果f x, yg x, y ,x, yD则f x, y dg x, y dDD特别，如果fx, y()0,x, yD则fx, y d()0D如果mf x, yM ,x, yD则mf x, y dMD其中是 D 的面积。（4）中值定理如果f x, y 在 D 上连续，则存在,D 使f x, y df,D其中是 D 的面积。3二重积分的计算（1）直角坐标X- 型区域Y-型区域Dx, yy1xyy2x , axbDx, y x1yxx2y ,cyd其中，小y边界：yy1x；大y边界：其中，小x边界：xx1y ；大x边界：yy2x。 axbxx2y。yydDDxcOabOx如果D 是X- 型区域，则（后x 积分）fx, y dby2xx, y dyby2xfx, y dy dxdxfy1Day1xax如果 D 是 Y-型区域，则（后y 积分）fx, y ddx2yx, y dxdx2yf