《一元二次方程的解法》经典例题精讲

1、一元二次方程的解法经典例题精讲例 1 解方程 x 2250 分析：解一元二次方程的方法有四种，而此题用直接开平方法较好解： x 2250 ，x 225 ，x 25 ，x± 5 x 15，x 25 例 2 解方程 (x3) 22 分析：如果把 x3 看作一个字母 y，就变成解方程 y 22 了解： (x3) 22 ，x32 ，x32，或 x32 ， x 132， x 232 例 3 解方程 4( x2) 2810 分析：解此题虽然可用因式分解法、公式法来解，但还是用直接开平方法较好解： 4( x2) 2810整理， 4( x2) 281，( x2) 281x24 ，92 ，x113，

2、x 2522 注意：对可用直接开平方法来解的一元二次方程，一定注意方程有两个解；若 x 2a ，则 xa ；若 ( xa) 2b ，则 xb a 例 4 解方程 x 23x20 分析：此题不能用直接开平方法来解，可用因式分解法或用公式法来解解法一：x 23x20 ，(x 2)(x 1) 0，x20，x1 0， x 11， x 22 解法二：a1，b 3，c2， b 24ac( 3)2412 10 ，x312 x 12， x 21 注意：用公式法解方程时，要正确地确定方程各项的系数a、b、c 的值，先计算“”的值，若 <0，则方程无解，就不必解了例 5 解关于 x 的方程 x 2m( 3x

3、2m n)n 20 分析：先将原方程加以整理，化成一元二次方程的一般形式，注意此方程为关于 x 的方程，即 x 为未知数， m，n 为已知数在确定 b24ac 0 的情况下，利用公式法求解解：把原方程左边展开，整理，得x 23mx(2m 2mnn2 ) 0 a1，b 3m， c 2m 2mnn 2 ， b 24ac( 3m) 241 (2m 2mn n 2 )m 24mn4n 2( m2n) 20 3m(m2n) 2x23m(m2n)2 x 12mn， x 2mn 注意：解字母系数的一元二次方程与解数字系数的一元二次方程一样，都要先把方程化为一般形式，确定 a、b、c 和 b 2 4ac 的值

4、，然后求解但解字母系数方程时要注意： (1) 哪个字母代表未知数，也就是关于哪个未知数的方程；(2) 不要把一元二次方程一般形式中的 a、b、c 与方程中字母系数的 a、b、c 相混淆； (3) 在 b24ac 开平方时，可能会出现两种情况，但根号前有正负号，已包括了这两种可能，因此，(m2n) 2(m 2n) 例 6 用配方法解方程 2x 23 7x 分析：解一元二次方程虽然一般不采用配方法来解，但配方法的方法本身重要，要记住解： 2x 237x ，x 27x3022，x7x7272302442，7225x416 ，x7544 x13， x 212 注意：用配方法解一元二次方程，要把二次项系

5、数化为 1，方程左边只有二次项，一次项， 右边为常数项，然后方程两边都加上一次项系数一半的平方，左边就配成了一个二项式的完全平方例 7 不解方程，判别下列方程的根的情况：(1) 2x 23x 4 0 ； (2) 16y 29 24y ；(3) 5( x 21)7x 0 分析：要判定上述方程的根的情况，只要看根的判别式b24ac 的值的符号就可以了解：(1) a2，b3，c 4， b 2 4ac 32 4 2 ( 4) 41 0 方程有两个不相等的实数根(2) a16，b 24， c 9， b 24ac ( 24) 241690方程有两个相等的实数解(3) 将方程化为一般形式 5x 2 5 7x

6、 0 ，5x 27x50 a4，b 7，c5， b 24ac ( 7) 24 5 549100 51<0方程无实数解注意：对有些方程要先将其整理成一般形式，再正确确定a、b、c 的符号例 8 已知方程 5x 2kx6 0 的一个根是2，求另一根及 k 的值x 1x 2b， x1 x 2c分析：根据韦达定理aa 易得另一根和 k 的值再是根据方程解的意义可知 x2 时方程成立， 即把 x2 代入原方程， 先求出 k 值，再求出方程的另一根但方法不如第一种解：设另一根为 x 2，则2 x 2k ，2 x 2655 ， x 235 ，k 73即方程的另一根为5 ，k 的值为 7bc注意：一元二

7、次方程的两根之和为a ，两根之积为 a 例 9 利用根与系数的关系，求一元二次方程2x 23x 1 0 两根的(1) 平方和； (2) 倒数和分析：已知 x13111x 22， x 1x 22 要求 (1) x 12x 22，(2) x 1x 2 ，11关键是把 x 12x 22、 x 1x 2 转化为含有 x 1x 2、x 1 x 2 的式子因为两数和的平方，等于两数的平方和加上这两数积的2 倍，即(a b) 2a2b 22ab，所以 a 2b 2(ab) 22ab，由此可求出 (1) 同样，可用两数和与积表示两数的倒数和解：x 1x23， x 1x 21(1) 22 ， x 12x 22(

8、 x 1x 2 ) 22x1 x 2213222914134 ；11x 2 x 1(2) x 1x 2x 1x 232123注意：利用两根的和与积可求两根的平方和、倒数和，其关键是把平方和、倒数和变成两根的和与积，其变形的方法主要运用乘法公式例 10 已知方程 2x 24xm0 的两根平方和是34，求 m的值x1x 22，x 1 x 2m ， x12x 2234，求 m就要在上面三个式子分析：已知2中设法用 x 1x 2 和 x12x 22来表示 x1 x 2 ，m便可求出解：设方程的两根为 x 1、x 2 ，则x 1x 22，x 1x 2m2 x 12x 22( x1x 2 ) 22x1x 2 ， 2x 1x 2( x 1x 2 ) 2( x12x 22 )(2) 234 30 x 1 x 2m2 ，m 30注意：解此题的关键是把式子 x 12x 22变成含 x 1x 2、 x 1x 2 的式子，从而求得m的值例 11 求一个一元二次方程，使它的两个根是2、10分析：因为任何一元二次方程都可化为( 二次项系数为 1) x 2pxq 0 的形式如设其根为 x1、x 2 ，根据根与系数的关系，得 x1x 2p，x 1x 2q 将 p、q 的值代入方程 x 2pxq 0 中，即得所求方程 x 2( x1x 2