画法几何5立体表面的交线

1、第五章第五章 立体表面的交线立体表面的交线51 平面与立体相交平面与立体相交52 两立体相交两立体相交53* 曲线与曲面曲线与曲面 平面与立体相交在立体表面产生交线称为截交线，该平平面与立体相交在立体表面产生交线称为截交线，该平面称为截平面。截交线是截平面和立体表面的共有线，面称为截平面。截交线是截平面和立体表面的共有线，截交截交线上的点是截平面与立体表面上的共有点，线上的点是截平面与立体表面上的共有点，它既在截平面上它既在截平面上又在立体表面上。由于任何立体都有一定的空间范围，所以又在立体表面上。由于任何立体都有一定的空间范围，所以截交线一定是封闭的线条，通常是一条平面曲线或者是由曲截交线一

2、定是封闭的线条，通常是一条平面曲线或者是由曲线和直线组成的平面图形或多边形。线和直线组成的平面图形或多边形。截平面截平面截交线截交线截交线的概念截交线的概念5.1.1 平面与平面立体相交平面与平面立体相交 由于平面立体是由平面围成的由于平面立体是由平面围成的,截交线是封闭的平面多边截交线是封闭的平面多边形，多边形的边是截平面与平面立体表面的交线。求截交线的形，多边形的边是截平面与平面立体表面的交线。求截交线的问题可以简化为求平面与平面的交线问题，进而简化为求直线问题可以简化为求平面与平面的交线问题，进而简化为求直线与平面交点的问题。与平面交点的问题。例例1三棱锥被一正垂面所截切，求截交线的投影

3、。三棱锥被一正垂面所截切，求截交线的投影。sabcasbcs a (c )b BA1 2 3 1yy23 1 2 3例例2 2 求带切口三棱锥的投影求带切口三棱锥的投影sssbccbaabca1yyy题步骤解题步骤1 1 分析分析 截交线的正截交线的正面投影已知，水平投面投影已知，水平投影和侧面投影未知；影和侧面投影未知；2 2 求出截交线上的折求出截交线上的折点点、 、 ；3 3 顺次地连接各点，顺次地连接各点，作出截交线，并且判作出截交线，并且判别可见性；别可见性；4 4 整理轮廓线。整理轮廓线。例例3 求立体截切后的投影求立体截切后的投影235411166543

4、264（5）2（3）5.1.2 平面与曲面立体相交平面与曲面立体相交 曲面立体截交线通常是封闭的平面曲线，或是由曲线和曲面立体截交线通常是封闭的平面曲线，或是由曲线和直线所围成的平面图形或多边形。直线所围成的平面图形或多边形。 截交线 点击动画截交线 点击动画1. 平面与圆柱相交平面与圆柱相交 截平面平行于轴线，截平面平行于轴线，交线为平行于轴线的交线为平行于轴线的 两条平行直线两条平行直线截平面倾斜于轴线，截平面倾斜于轴线，交线为交线为 椭圆椭圆截平面垂直于轴线，截平面垂直于轴线，交线为交线为 圆圆平面与圆柱的截交线两条平行直线两条平行直线垂直于轴线的圆垂直于轴线的圆椭椭 圆圆 例例4 4

5、求斜切圆柱的截交线求斜切圆柱的截交线1114322265433(4)5656解题步骤解题步骤1 分析分析 截交线的水平投影为椭截交线的水平投影为椭圆，侧面投影为圆；圆，侧面投影为圆；2 求出截交线上的特殊点求出截交线上的特殊点、 、 ；3 求出若干个一般点求出若干个一般点、 、；4 光滑且顺次地连接各点，作光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；出截交线，并且判别可见性；5 整理轮廓线。整理轮廓线。877878作图步骤：作图步骤： （1 1）根据截平面位置与曲面立体表面的性质、判别）根据截平面位置与曲面立体表面的性质、判别截交线的形状和性质。截交线的形状和性质。 （2 2）求出截交线

6、上的特殊点。）求出截交线上的特殊点。 （3 3）根据需要求出若干个一般点。）根据需要求出若干个一般点。 （4 4）光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判）光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性。别可见性。 （5 5）最后，补全可见与不可见部分的轮廓线或转向）最后，补全可见与不可见部分的轮廓线或转向轮廓素线，并擦除被切割掉的轮廓线或转向轮廓素线。轮廓素线，并擦除被切割掉的轮廓线或转向轮廓素线。 特殊点：特殊点：是指绘制曲线时有影响的各种点。是指绘制曲线时有影响的各种点。极限位置点极限位置点 曲线的最高、最低、最前、最后、最左和最右点。曲线的最高、最低、最前、最后、最左和最右点。转向轮

7、廓点转向轮廓点 曲线上处于曲面投影转向轮廓线上的点，它们是区曲线上处于曲面投影转向轮廓线上的点，它们是区分曲线可见与不可见部分的分界点。分曲线可见与不可见部分的分界点。特征点特征点 曲线本身具有特征的点，如椭圆长短轴上四个端点。曲线本身具有特征的点，如椭圆长短轴上四个端点。结合点结合点 截交线由几部分不同线段组成时结合处的点。截交线由几部分不同线段组成时结合处的点。例例5 5 求切口圆柱的水平投影和侧面投影。求切口圆柱的水平投影和侧面投影。解题步骤解题步骤1 分析分析 截交线的水平投影为椭截交线的水平投影为椭圆，侧面投影为圆；圆，侧面投影为圆；2 求出截交线上的特殊点求出截交线上的特殊点、 、

8、 ；3 求出若干个一般点求出若干个一般点、 、；4 光滑且顺次地连接各点，作光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；出截交线，并且判别可见性；5 整理轮廓线。整理轮廓线。动画动画例例6 6 求截切圆柱的水平投影和侧面投影。求截切圆柱的水平投影和侧面投影。解题步骤解题步骤1 分析分析 截交线的水平投影截交线的水平投影为圆的一部分，侧面投影为圆的一部分，侧面投影为矩形；为矩形；2 求出截交线上的特殊点求出截交线上的特殊点、；3顺次地连接各点，作出截顺次地连接各点，作出截交线并判别可见性；交线并判别可见性；4 整理轮廓线。整理轮廓线。点击动画例例7 7 求截切圆柱截交线的投影求截切圆柱截交

9、线的投影。3311224455325142. 平面与圆锥相交平面与圆锥相交圆圆椭圆椭圆两条相交直线两条相交直线双曲线双曲线抛物线抛物线解题步骤解题步骤例例8 8 已知圆锥与正垂面已知圆锥与正垂面P P相交，求截交线的投影。相交，求截交线的投影。1 1 分析分析 截交线的水平投影和截交线的水平投影和侧面投影均为椭圆；侧面投影均为椭圆；2 2 求出截交线上的特殊点求出截交线上的特殊点、 、 ；3 3 求出一般点求出一般点；4 4 光滑且顺次地连接各点，作光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；出截交线，并且判别可见性；5 5 整理轮廓线。整理轮廓线。 点击动画点击动画点击动画点击动画例例

10、9 9 求正平面与圆锥的截交线。求正平面与圆锥的截交线。解题步骤解题步骤1 1 分析分析 截交线的水平投影截交线的水平投影和侧面投影已知，正面投影和侧面投影已知，正面投影为双曲线并反映实形；为双曲线并反映实形；2 2 求出截交线上的特殊点求出截交线上的特殊点、；3 3 求出一般点求出一般点 ；4 4 光滑且顺次地连接各点，光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见作出截交线，并且判别可见性；性；5 5 整理轮廓线。整理轮廓线。111”2”(3”)4”(5”)45232453点击动画点击动画点击动画例例10 10 求带缺口圆锥的水平投影和侧面投影。求带缺口圆锥的水平投影和侧面投影。111”2

11、(3)2”3”234(5)4”5”54666”例例11 11 已知正垂面所截切球的正面投影已知正垂面所截切球的正面投影, ,求其余两面投影。求其余两面投影。例例12 12 求带凹槽半球的水平投影和侧面投影。求带凹槽半球的水平投影和侧面投影。例例13 13 分析并想象出圆球穿孔后的投影分析并想象出圆球穿孔后的投影5-2 5-2 两立体相交两立体相交5.2.1 概概 述述5.2.2 求作两曲面立体的相贯线求作两曲面立体的相贯线5.2.3 相贯线的特殊情况相贯线的特殊情况5.2.4 组合相贯线组合相贯线5.2.1 5.2.1 概概 述述 立体与立体相交在两个立体表面产生的交线称为相贯线。立体与立体相

12、交在两个立体表面产生的交线称为相贯线。 相贯线是两曲面立体表面的共有线，相贯线上的点是两曲相贯线是两曲面立体表面的共有线，相贯线上的点是两曲面立体表面的共有点。面立体表面的共有点。 不同的立体以及不同的相贯位置、相贯线的形状不同。两不同的立体以及不同的相贯位置、相贯线的形状不同。两回转体相贯，相贯线一般是封闭的空间曲线回转体相贯，相贯线一般是封闭的空间曲线, , 特殊情况下为平特殊情况下为平面曲线或直线。面曲线或直线。相贯线性质图例5.2.2 求两曲面立体的相贯线求两曲面立体的相贯线1. 表面取点法表面取点法表面取点法求作相贯线的一般步骤表面取点法求作相贯线的一般步骤（1）分析）分析 首先分析

13、两曲面立体的几何形状、相对大小和首先分析两曲面立体的几何形状、相对大小和相对位置，进一步分析相贯线是空间曲线，还是处于特殊情况相对位置，进一步分析相贯线是空间曲线，还是处于特殊情况（平面曲线或直线）。分析两曲面立体对投影面的相对位置，（平面曲线或直线）。分析两曲面立体对投影面的相对位置，两曲面立体的投影是否有积聚性，哪个投影有积聚性。分析相两曲面立体的投影是否有积聚性，哪个投影有积聚性。分析相贯线哪个投影是已知的，哪个投影是要求作的。贯线哪个投影是已知的，哪个投影是要求作的。（2）求特殊点）求特殊点。相贯线上的特殊点包括极限位置点、轮廓。相贯线上的特殊点包括极限位置点、轮廓转向点、曲线特征点和

14、结合点四种。转向点、曲线特征点和结合点四种。（）（） 根据需要求出若干个一般点。根据需要求出若干个一般点。（）（）判别可见性，顺次光滑连接各点，作出相贯线。判别可见性，顺次光滑连接各点，作出相贯线。 （）（）补全可见与不可见部分的轮廓线或转向轮廓线，并补全可见与不可见部分的轮廓线或转向轮廓线，并擦除被切割掉的轮廓线或转向轮廓线。擦除被切割掉的轮廓线或转向轮廓线。例例1 已知两圆柱的三面投影已知两圆柱的三面投影,求作其相贯线的投影。求作其相贯线的投影。yyyydedeacbabcdebac圆柱表面交线的三种情况 两外表面相交两外表面相交外表面与内表面相交外表面与内表面相交两内表面相交两内表面相交

15、两正交圆柱两正交圆柱相贯线相贯线的的变化趋势变化趋势相贯线的变化趋势动画相贯线的变化趋势动画相贯线的变化趋势例例2 2 求轴线交叉垂直圆柱相贯线的投影。求轴线交叉垂直圆柱相贯线的投影。 a“(b“)abc“abcddde“(f “)efefghyyg“(h“)ghc2. 辅助平面法辅助平面法 常用的辅助平面为投影面的平行面或垂直面常用的辅助平面为投影面的平行面或垂直面, ,要使辅助平面要使辅助平面与两立体表面交线的投影为直线或圆。与两立体表面交线的投影为直线或圆。yyPW2PV24yy4 PV1PW13PV3PW351112 22453 35 例例3 3 求圆柱与圆锥正交时相贯线的投影。求圆柱

16、与圆锥正交时相贯线的投影。例例4 4 求水平圆柱与半球的相贯线的投影。求水平圆柱与半球的相贯线的投影。aa”abbb”QVQWcdPVPWefe(f)RVRWghg(h)例例5 5 求铅垂圆台与半球的相贯线的投影。求铅垂圆台与半球的相贯线的投影。PV2yy55343543112122yy4 PH1PV3PV43. 3. 辅助球面法辅助球面法 常用的辅助球面法为同心球面法常用的辅助球面法为同心球面法, ,要使辅助球面与两立体要使辅助球面与两立体表面交线的投影为直线或圆。表面交线的投影为直线或圆。例例6 6 求圆柱与圆锥斜交的相贯线求圆柱与圆锥斜交的相贯线解题步骤1 分析 圆柱与圆锥轴线斜交，相贯

17、线的三个投影均未知，可利用辅助球面法求共有点；步骤1121321233作图步骤2 求特殊点、，其中点也是最大辅助球面上的点3 求小辅助球面上的点步骤24 求一般点、；6 整理轮廓线。5 顺次连接各点，并判别可见性；1213212334554455.2.3 5.2.3 相贯线的特殊情况相贯线的特殊情况 两曲面立体相交，一般情况下相贯线为空间曲线，两曲面立体相交，一般情况下相贯线为空间曲线，但特殊情况下可能是平面曲线或直线。但特殊情况下可能是平面曲线或直线。两个回转体具有公共轴线时，其表面的相贯线为垂直轴线的圆两个回转体具有公共轴线时，其表面的相贯线为垂直轴线的圆外切于同一球面的圆锥、圆柱相交时，

18、其相贯线为两条平面曲线外切于同一球面的圆锥、圆柱相交时，其相贯线为两条平面曲线椭圆椭圆两圆锥共锥顶相贯线为相交两直线两圆柱轴线平行相贯线为平行两直线5.2.4 5.2.4 组合相贯线组合相贯线 三个或三个以上的立体相交在一起，称为组合相贯。这时三个或三个以上的立体相交在一起，称为组合相贯。这时相贯线由若干条相贯线组合而成，结合处的点称为结合点。相贯线由若干条相贯线组合而成，结合处的点称为结合点。 处理组合相贯线，关键在于分析，找出有几个两两曲面立处理组合相贯线，关键在于分析，找出有几个两两曲面立体相交在一起，从而确定其有几段相贯线结合在一起。体相交在一起，从而确定其有几段相贯线结合在一起。例例

19、7 7 求作物体相贯线的投影求作物体相贯线的投影5-3* 曲线与曲面曲线与曲面 5.3.1 曲曲 线线 5.3.2 曲曲 面面5.3.1.1 螺旋线1 圆柱螺旋线的形成 当一个动点沿着一直线等速移动，而该直线同时绕与它平行的一轴线等速旋转时，动点的轨迹就是一根圆柱螺旋线。2 圆柱螺旋线的画法螺旋线的画法5.3.1.2 正螺旋柱状面1 正螺旋柱状面的形成 正螺旋柱状面的两条曲导线皆为圆柱螺旋线，连续运动的直母线始终垂直于圆柱轴线。2 正螺旋柱状面的画法（1） 画出两条曲导线（圆柱螺旋线）；（2） 作出直母线的两面投影；（3） 作出该曲面上各素线的投影。3 正螺旋柱状面的应用的例子2 正螺旋柱状面的画法3 正螺旋柱状面应用的例子螺旋扶手螺旋楼梯 5.3.2.1. 单叶双曲回转面1 单叶双曲回转面的形成 单叶双曲回转面是由直母线绕与它交叉