第七节闭区间上连续函数的性质PPT课件

1、1第七节第七节 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质一、有界性定理一、有界性定理高等数学（一）高等数学（一）第一章第一章二、零点定理与介值定理二、零点定理与介值定理2高等数学（一）高等数学（一）第一章第一章一、有界性定理一、有界性定理 闭闭区区间间上上的的连连续续函函数数( (有有界界在在该该区区性性定定理理间间上上是是定定1 1 ) )理理有有界界的的. . , , C a ba b我们用表示由定义在闭区间上的连续函数所构成的集合. , ,0, , ,1( ).fC a bMxa bf xM 可表述为：若则都有定理1注：定理 中的条件不能变，否则定理闭区间不成立.3高等数学（一）高等

2、数学（一）第一章第一章 闭闭区区间间上上的的连连续续函函数数存存( (最最在在最最定定大大值值定定理理值值和和) )理理2 2 最最小小值值. . , , , , , ,( )( )( ).2fC a ba bxa bff xf 若则都有表为：定又可述理( ) , mfaMbx一般常用和分别表示在上的最小值注：和最大值. , , ,maxn)i(m( )xaxba bf xmMf x即.4高等数学（一）高等数学（一）第一章第一章在在闭闭区区间间上上定定义义且且在在两两个个端端点点异异号号的的连连续续函函数数定定至至( (零零点点定定少少存存在在一一理理) )理理3 3 个个零零点点. . ,

3、,( )( )0,( )03.fC a bf af ba bf可表述为：使得定若且则理00,()0.f xf xx若则称为函数的一个零点二、零点定理与介值定理二、零点定理与介值定理( )0( , )f xa b注：方程在上至少存定理3的结论也即在一个实根是.5高等数学（一）高等数学（一）第一章第一章几何解释几何解释: :)(xfy 连连续续曲曲线线弧弧,轴轴的的不不同同侧侧的的两两个个端端点点位位于于 x.轴轴至至少少有有一一个个交交点点则则曲曲线线弧弧与与 x6高等数学（一）高等数学（一）第一章第一章. ,( )( )( )( ), , 设设函函数数在在上上连连续续，且且的的最最大大值值和和

4、最最小小值值分分别别( (介介值值定定理理) )为为和和，则则的的值值域域为为闭闭区区间间即即对对任任意意满满足足的的常常数数 ，都都存存在在 ，使使得得定定理理4 4f xf xf xa bMmmcfMmcMa bc 证证12 , , ( ),fC a bxa bxx，由最值定理，使得12.xx故不妨设12().), ffxmMx12( )0( ),( ).Cg xxcxxxfg构造函数则12()0,()0.g xmcg xMc因此，12( ,) ,( )0,0( ).gxg xx 由零点定理，有与矛盾 , ( )xa bf xc 假若,有，,.mccMMm 已知则必有12.xx7高等数学（

5、一）高等数学（一）第一章第一章证证sinln(1e )(0,1ar t).c anxxxx证明方程在区间内必有实根例例1 1 1, ln2si 0,( )arctannln(1e ), (0,1.xxxxf xxx构造函数0.() ,1Cf x 则ln2(0),10f且有以及(1)sin1ln(1e)4fln(e)10.44 ( , )0 1 ,( )0.f 由零点定理，使得证毕8高等数学（一）高等数学（一）第一章第一章证证( )(,),(.),.,C a bbf xaa bf xf 设且证明：使得例例2 2 ( )( ) ,. ,g xf xxa bx构造函数.(),Cgaxb则( ),baf x因故有( ).( ) ( ) ( )0g bf aaf bg ab,( )0(, )a bg 由零点定理，使得即( ).f9高等数学（一）高等数学（一）第一章第一章证证112,0,.,niniA 记证明：L例例3 3 1 ,( ). nC xf xx显然.mM与有值最大值最小)1,(.if xiMnm 则1,( )1( , )().niiifa bfxA 由介值定理，使得12 , (,),nC a baxxbxxf设L11,)1,( )(.nniiix xff xA