电磁波第一章加答案

1、第第1 1章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波第一章第一章 矢量分析矢量分析第第1 1章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波 本章重点介绍与场分析有关的数学基础内容。本章重点介绍与场分析有关的数学基础内容。1.1 1.1 场的概念场的概念1.2 1.2 标量场标量场1.3 1.3 矢量场的通量和散度矢量场的通量和散度1.4 1.4 矢量场的环量和旋度矢量场的环量和旋度1.5 1.5 几个重要的公式几个重要的公式1.6 1.6 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理1.7 1.7 三种常用坐标系三种常用坐标系本章内容本章内容第第1 1章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波 矢量的几何表示：用一条有方向的线段来表示矢量的几何表

2、示：用一条有方向的线段来表示 A矢量的几何表示矢量的几何表示矢量可表示为：矢量可表示为： 其中其中 为为模值模值，表征矢量的，表征矢量的大小大小； 为为单位矢量单位矢量，表征矢量的，表征矢量的方向方向；1.1 1.1 场的概念场的概念1.1.1 场量：标量和矢量场量：标量和矢量 标量与矢量标量与矢量 标量：标量：只有大小，没有方向只有大小，没有方向的物理量的物理量( (电压电压U U、电荷量、电荷量Q Q、能量、能量W W等）等） 矢量：矢量：既有大小，又有方向既有大小，又有方向的物理量（作用力，电、磁场强度）的物理量（作用力，电、磁场强度） 矢量的代数表示矢量的代数表示FEHBDAAeAAe

3、AAAeA第第1 1章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波xxyyzzAe Ae Ae AcoscoscosxyzAAAAAA(coscoscos )xyzAA eee 矢量用直角坐标分量表示矢量用直角坐标分量表示coscoscosAxyzeeeezAxAAyAzxyO第第1 1章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波1.1.2 矢量的运算矢量的运算xxyyzzxxyyzzAe Ae Ae ABe Be Be B()()ABBAABCABC()()()xxxyyyzzzABeABeABeAB 矢量的加法和减法矢量的加法和减法说明：说明：1 1、矢量的加法符合、矢量的加法符合交换律交换律和和结合律结合律： 2

4、 2、矢量相加和相减可用、矢量相加和相减可用平行四边形法则平行四边形法则求解：求解： BAABBAABB第第1 1章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波cosABxxyyzzA BA BA BA BA B 矢量的乘法矢量的乘法 矢量与标量相乘矢量与标量相乘xxyyzzAkAe kAe kAe kAe k A标量与矢量相乘只改变矢量大小，不改变方向。标量与矢量相乘只改变矢量大小，不改变方向。 矢量的标积（点积）矢量的标积（点积）()A BB AA BCA BA C 说明：说明：1 1、矢量的点积符合交换律和分配律：、矢量的点积符合交换律和分配律： 2 2、两个矢量的点积为标量两个矢量的点积为标量 AB

5、AB第第1 1章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波sin()()()xyznABxyzxyzxyzzyyzxxzzxyyxeeeA Be ABAAABBBeA BA BeA BA BeA BA B 矢量的矢积（叉积）矢量的矢积（叉积）说明：说明：1 1、矢量的叉积矢量的叉积不符合不符合交换律，但交换律，但符合符合分配律：分配律： 2 2、两个矢量的叉积为矢量两个矢量的叉积为矢量 ()A BBAABCA BA C 3 3、矢量运算恒等式、矢量运算恒等式()()()()()()A B CB CACA BAB CB A CC A B sinABBABA第第1 1章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波q 如果物

6、理量是标量，称该场为如果物理量是标量，称该场为标量场标量场。 例如例如：温度场、电位场、高度场等。：温度场、电位场、高度场等。q 如果物理量是矢量，称该场为如果物理量是矢量，称该场为矢量场矢量场。 例如例如：流速场：流速场、重力场重力场、电场、磁场等。、电场、磁场等。q 如果场与时间无关，称为如果场与时间无关，称为静态场静态场，反之为，反之为时变场时变场。时变标量场和矢量场可分别表示为：时变标量场和矢量场可分别表示为： ( , , , )x y z t、( , , , )A x y z t 确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在该区确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在

7、该区域上定义了一个域上定义了一个场场。从数学上看，场是定义在空间区域上的函数：从数学上看，场是定义在空间区域上的函数： 标量场和矢量场标量场和矢量场( , , )x y z、( , , )A x y z 静态标量场和矢量场可分别表示为：静态标量场和矢量场可分别表示为：1.1.3 场的相关概念场的相关概念第第1 1章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波1.2.1 标量场的等值面标量场的等值面 标量场空间中，由所有场值相等的点所构成的面，即为等值面。标量场空间中，由所有场值相等的点所构成的面，即为等值面。即若标量函数为即若标量函数为 ，则等值面方程为：，则等值面方程为：( , , )x y z( , ,

8、 )x y zcconst1.2.2 方向导数方向导数等值面沿某一给定方向的变化率，称为等值面沿某一给定方向的变化率，称为标量场自该点沿该方向的方向导数。标量场自该点沿该方向的方向导数。 方向导数定义：方向导数定义： 等值面族等值面族 =c2 =c3 =c1 方向导数与选取的方向导数与选取的考察方向考察方向有关。有关。1.2 1.2 标量场标量场第第1 1章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波例例:温度场温度场甲甲: :每米的温度变化每米的温度变化3(030)/100/10CCmC m 乙乙: :每米的温度变化每米的温度变化3(030)/ 200/20CCmC m 丙丙: :每米的温度变化每米的温度

9、变化3(030)/80/8CCmC m 同一温度场中，等温面沿不同方向的变化率不同：同一温度场中，等温面沿不同方向的变化率不同：L1L1的方向性导数为：的方向性导数为：3/10C mL2L2的方向性导数为：的方向性导数为：3/20C mL3L3的方向性导数为：的方向性导数为：3/8C m函数函数 在点在点 沿沿 方向的方向导数方向的方向导数( , , )x y z0Ml函数函数 在点在点 沿沿 方向的方向导数方向的方向导数000()()limlMMMll 第第1 1章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波 方向导数物理意义：方向导数物理意义：00Ml，标量场，标量场 在在 处沿处沿 方向增加率；方向增

10、加率；0M00Ml，标量场，标量场 在在 处沿处沿 方向减小率；方向减小率；0Mll00Ml，标量场，标量场 在在 处沿处沿 方向为等值面方向（无改变）方向为等值面方向（无改变）0Ml 方向导数的计算方向导数的计算coscoscoslxyz 的方向余弦。的方向余弦。 l式中式中： coscoscos、分别为分别为 与与x,y,zx,y,z坐标轴的夹角。坐标轴的夹角。 l第第1 1章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波 梯度的定义梯度的定义max( , , )lgradx y zel式中：式中： 为场量为场量 最大变化率最大变化率的方向上的单位矢量。的方向上的单位矢量。le 梯度的性质梯度的性质 标量

11、场的梯度为标量场的梯度为矢量矢量，且是坐标位置的函数，且是坐标位置的函数 标量场梯度的大小表示过该点的标量场梯度的大小表示过该点的最大方向性导数最大方向性导数 标量场梯度的方向标量场梯度的方向垂直于垂直于等值面，沿等值面增加的法线方向。等值面，沿等值面增加的法线方向。 标量场在给定点沿任意方向的标量场在给定点沿任意方向的方向导数方向导数等于等于梯度在该方向投影梯度在该方向投影1.2.3 标量场的梯度标量场的梯度第第1 1章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波 梯度与方向导数的关系梯度与方向导数的关系0gradll000000coscosM NlM MM Nn lgradlM NN第第1 1章章电磁场

12、与电磁波电磁场与电磁波 梯度的运算梯度的运算 直角坐标系：直角坐标系：()xyxyzzeegradeeexxyezyz哈密顿算符 23xyyz22xyzleee第第1 1章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波0()()()( )( )CCuCuuvuvuvuvvuf ufuu 梯度运算相关公式梯度运算相关公式式中：式中： 为常数；为常数； C,u v为坐标变量函数；为坐标变量函数； 第第1 1章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波1.3 1.3 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度1.3.1 1.3.1 矢量线（力线）矢量线（力线） 矢量线的矢量线的疏密疏密表征矢量场的表征矢量场的大小大小 矢量线上每点的

13、切向代表该处矢量场的方向矢量线上每点的切向代表该处矢量场的方向1.3.2 1.3.2 矢量场的通量矢量场的通量矢量线矢量线OM A drrrdr1) 1) 面元矢量面元矢量 定义：面积很小的定义：面积很小的有向有向曲面。曲面。dS：面元面积，为微分量，：面元面积，为微分量，无限小无限小dSne：面元法线方向，：面元法线方向，垂直于垂直于面元平面。面元平面。 nedS 面元法向面元法向 的确定方法：的确定方法： 对非闭合曲面：由曲面边线绕向按对非闭合曲面：由曲面边线绕向按右手右手螺旋法则螺旋法则确定；确定； 对闭合曲面：闭合面对闭合曲面：闭合面外法线方向外法线方向ne第第1 1章章电磁场与电磁波

14、电磁场与电磁波cos ( )nsssA dSA e dSAr dS 若若S 为闭合曲面为闭合曲面 ( )srd AS物理意义：表示穿入和穿出闭合面物理意义：表示穿入和穿出闭合面S S的通量的的通量的代数和代数和。 矢量场的通量矢量场的通量 ( )SA rd S 2)若若矢量场矢量场 分布于空间中，在分布于空间中，在空间中存在任意曲面空间中存在任意曲面S S，则定义：，则定义：( )A r 为为矢量矢量 沿沿有向曲面有向曲面 S S 的通量的通量。( )A r 问题问题：如何定量描述矢量场的大小？如何定量描述矢量场的大小？ 引入引入通量通量的概念。的概念。 第第1 1章章电磁场与电磁波电磁场与电

15、磁波 若若 ，通过闭合曲面有净的矢量线穿出，闭合面内有发，通过闭合曲面有净的矢量线穿出，闭合面内有发出矢量线的出矢量线的正源正源；0 若若 ，有净的矢量线进入，闭合面内有汇集矢量线的，有净的矢量线进入，闭合面内有汇集矢量线的负负源源；0 若若 ，进入与穿出闭合曲面的矢量线相等，闭合面内，进入与穿出闭合曲面的矢量线相等，闭合面内无无源源，或或正源负源代数和为正源负源代数和为0 0。0 通过通过闭合面闭合面S S的通量的通量的物理意义：的物理意义：000第第1 1章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波1.3.31.3.3、矢量场的散度、矢量场的散度 散度的定义散度的定义 在场空间在场空间 中任意点中任意

16、点M M 处作一个闭合曲面，所围的体积处作一个闭合曲面，所围的体积为为 ，则定义场矢量，则定义场矢量 在在M M 点处的散度为：点处的散度为： ( )A r V0( )div( )limsVA rdA rVS( )A r 即即流出单位体积元封闭面的通量。流出单位体积元封闭面的通量。第第1 1章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波 散度的物理意义散度的物理意义 矢量场的散度表征了矢量场的矢量场的散度表征了矢量场的通量源的分布特性通量源的分布特性( (体密度体密度) )； 矢量场的矢量场的散度是标量散度是标量； 矢量场的散度是空间坐标的函数；矢量场的散度是空间坐标的函数； 矢量场的散度值表征空间中某点处

17、矢量场的散度值表征空间中某点处通量源的密度通量源的密度。( ( 正源正源) )( )0divA r 负负源源) )( )0divA r ( ( 无源无源）( )0divA r 若若 处处成立，则该矢量场称为处处成立，则该矢量场称为无散场无散场 若若 ，则该矢量场称为，则该矢量场称为有散场有散场， 为源密度为源密度( )0divA r ( )0divA r 讨论：在矢量场中，讨论：在矢量场中，第第1 1章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波1.3.4 散度定理（矢量场的高斯定理）散度定理（矢量场的高斯定理）( )( )VsA r dVA rdS 该公式表明了矢量场该公式表明了矢量场 的散度在体积的散度

18、在体积V内的积分等于矢量场穿内的积分等于矢量场穿过包围该体积的过包围该体积的边界面边界面S S的通量。的通量。( )A r第第1 1章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波 在直角坐标系下：在直角坐标系下：( )yxzAAAdivA rxyz () ()xyzxxyyzzeeeA eA eA exyz( )A r 1.3.5 散度的计算散度的计算u例例2：已知点电荷：已知点电荷q所产生的电场强度所产生的电场强度304q rEr第第1 1章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波1.4 1.4 矢量场的矢量场的环流环流 旋度旋度磁感应线要磁感应线要么穿过曲面么穿过曲面磁感应线要么同时磁感应线要么同时穿入和穿出曲面

19、穿入和穿出曲面磁感应线磁感应线磁场的环流：磁场的环流：第第1 1章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波1.4.1 1.4.1 矢量的环流矢量的环流在场矢量在场矢量 空间中，取一有向闭合空间中，取一有向闭合路径路径 ，则称，则称 沿沿 积分的结果称积分的结果称为矢量为矢量 沿沿 的环流。即：的环流。即：( )A r ( )A r ( )A r ( )lA rdl 线元线元矢量矢量 ：长度趋近于：长度趋近于0 0，方向沿路径切线方向。，方向沿路径切线方向。dl 环流意义：若矢量场环流不为零，则矢量场中存在产环流意义：若矢量场环流不为零，则矢量场中存在产生矢量场的漩涡源。生矢量场的漩涡源。反映矢量场漩涡源

20、分布情况反映矢量场漩涡源分布情况讨论：讨论：SSn 环量的定义APllll1.4 1.4 矢量场的矢量场的环流环流 旋度旋度第第1 1章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波1.4.2 1.4.2 矢量的旋度矢量的旋度 环流面密度环流面密度0limcnsA dlrot AS 称为矢量场称为矢量场 在在M M点处沿点处沿 方向的漩涡源密度方向的漩涡源密度。( )A r n定义：定义：空间某点空间某点M M处单位面元边界闭合曲线的环流：处单位面元边界闭合曲线的环流：SCMAn1)1)环流面密度大小与所选取的单位面元方向环流面密度大小与所选取的单位面元方向 有关。有关。nrotnne rAAot （投影关系

21、）2) 任意取向面元的环流面密度与最大环流面密度的关系：任意取向面元的环流面密度与最大环流面密度的关系：第第1 1章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波 矢量场的矢量场的旋度旋度 矢量场在矢量场在M M点的旋度为该点处点的旋度为该点处环流面密度最大时环流面密度最大时对应的矢量，对应的矢量，模值等于模值等于M M点处最大环流面密度点处最大环流面密度，方向为，方向为环流密度最大的方向环流密度最大的方向，表，表示为示为 ，即：，即：rot A 式中：式中： 表示矢量场旋度的方向；表示矢量场旋度的方向； nmax0rotlimcSA dlAnS 旋度的物理意义旋度的物理意义 矢量的旋度为矢量的旋度为矢量矢量

22、，是空间坐标的函数，是空间坐标的函数 矢量在空间某点处的旋度表征矢量场在该点处的矢量在空间某点处的旋度表征矢量场在该点处的漩涡源密度漩涡源密度第第1 1章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波 旋度的计算旋度的计算 直角坐标系：直角坐标系：xxyyzzrotAe rot Ae rot Ae rot A ()()()yyxxzzxyzAAAAAAeeeyzzxxy()xyzxxyyzzeeee Ae Ae AxyzA xyzxyzeeexyzAAA第第1 1章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波u例例3：求矢量场：求矢量场u在点在点M(1,2,1)处的旋度与在该点沿矢径方向的处的旋度与在该点沿矢径方向的环流密

23、度。环流密度。2()xyzAe xye yze xz 第第1 1章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波矢量场的旋度矢量场的旋度的散度恒为零的散度恒为零标量场的梯度标量场的梯度的旋度恒为零的旋度恒为零()AAA ()CC 0C ()ABAB ()ABBAAB ()0A ()0 旋度计算相关公式：旋度计算相关公式：证明证明证明证明第第1 1章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波讨论：散度和旋度比较讨论：散度和旋度比较 0,0AA 0.0AA 0,0AA 0,0AA 第第1 1章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波1.4.3 1.4.3 斯托克斯定理斯托克斯定理()cdd lAAS0limro tcnSdSlAe由旋

24、度的定义 对于有限大面积s，可将其按如图方式进行分割，对每一小面积元有)11()clA dAdS 22()clA dAdS ()sAdS clA d()SlA dSA dl斯托克斯定理的证明：得证！ 意义：矢量场的旋度在曲面上的积分等于意义：矢量场的旋度在曲面上的积分等于该矢量场在限定该曲面的闭合曲线上的环流。该矢量场在限定该曲面的闭合曲线上的环流。曲面的曲面的剖分剖分方向相反大方向相反大小相等抵消小相等抵消第第1 1章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波1.5 1.5 几个重要公式几个重要公式1.5.1 1.5.1 两个恒等式两个恒等式0 xyzxyzeeeeyeexyzxzz证明：左边=(+)2

25、22222()()()0 xyzeeey zz yz xx zx yy x 结论：结论：任何标量场的梯度的旋度恒等于零任何标量场的梯度的旋度恒等于零。 推导：如果一个矢量场的旋度恒等于零。推导：如果一个矢量场的旋度恒等于零。 则该矢量场可由一个标量的梯度来表示。则该矢量场可由一个标量的梯度来表示。 第第1 1章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波结论：结论：任何标量场的梯度的旋度恒等于零任何标量场的梯度的旋度恒等于零。 推导：如果一个矢量场的旋度恒等于零。推导：如果一个矢量场的旋度恒等于零。 则该矢量场可由一个标量的梯度来表示。则该矢量场可由一个标量的梯度来表示。 ()()()xyzyyxxzzxy

26、zeeexyzAAAAAAeeeyzzxxy证明：左边=(+)222222()()()0yyxxzzAAAAAAx yx zy zx yx zy z ()0A 第第1 1章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波1.5.2 1.5.2 拉普拉斯运算拉普拉斯运算1 1 标量场的拉氏运算标量场的拉氏运算对标量场的梯度求散度的运算称为拉普拉斯运算。记作：对标量场的梯度求散度的运算称为拉普拉斯运算。记作：2 2“”式中：式中：称为拉普拉斯算符。称为拉普拉斯算符。 在直角坐标系中：在直角坐标系中：2222222xyz矢量场的拉氏运算矢量场的拉氏运算2()()AAA 在直角坐标系中：在直角坐标系中：2222xxyy

27、zzAeAeAeA 第第1 1章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波1.6 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理 在有限区域内，任意矢量场由矢量场的在有限区域内，任意矢量场由矢量场的散度散度、旋度旋度和和边界条件边界条件（即矢量场在有限区域边界上的分布）（即矢量场在有限区域边界上的分布）唯一确定唯一确定，且任意矢量场可，且任意矢量场可表示为：表示为：( )( )( )F rrA r ( )( )0llF rF r( )0( )ccF rF rJ( )( )lF rF r ( )( )cF rF rJ 说明：说明： 矢量场可分解一个矢量场可分解一个有源无旋场有源无旋场和和无源有旋场无源有旋

28、场之和，即：之和，即：( )( )( )isF rF rF r第第1 1章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波已知已知矢量矢量F的通量源密度的通量源密度矢量矢量F的旋度源密度的旋度源密度场域边界条件场域边界条件在电磁场中在电磁场中电、磁场散度电、磁场散度电、磁场旋度电、磁场旋度场域边界条件场域边界条件亥姆霍兹定理在电磁理论中的意义：亥姆霍兹定理在电磁理论中的意义：研究电磁场的一条主线研究电磁场的一条主线。 若矢量场若矢量场 在某区域在某区域V V内，处处有：内，处处有： 和和 则则 由其在边界面上的场分布确定。由其在边界面上的场分布确定。 0F0F( )F r( )F r注意：注意：不存在在整个空间

29、内散度和旋度处处均为零的矢量场。不存在在整个空间内散度和旋度处处均为零的矢量场。第第1 1章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波 三维空间任意一点的位置可通过三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交线的交点三条相互正交线的交点来确定。来确定。 在电磁场与波理论中，三种常用的正交坐标系为：在电磁场与波理论中，三种常用的正交坐标系为：直角坐直角坐标系标系、圆柱坐标系圆柱坐标系和和球坐标系球坐标系。 三条正交线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为三条正交线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为正交坐标系正交坐标系；三条正交线称为；三条正交线称为坐标轴坐标轴；描述坐标轴的量称为；描述坐标轴的量称为坐坐

30、标变量标变量。1.7 1.7 三种常用的正交坐标系三种常用的正交坐标系第第1 1章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波1.7.1 直角坐标系直角坐标系xyzre xe ye z位置矢量位置矢量面元矢量面元矢量线元矢量线元矢量ddddxyzlexeye zdd dd dxxyzxSe lle y zdd dd dzzxyzSe lle x y体积元体积元dd d dVx y zdd dd dyyxzySellex z坐标变量坐标变量, ,x y z坐标单位矢量坐标单位矢量,xyze e e 点点P(x0,y0,z0)0yy（平面）（平面） o x y z0 xx（平面）（平面）0zz（平面（平面）P

31、直角坐标系直角坐标系 xezeyex yz直角坐标系的长度元、面积元、体积元直角坐标系的长度元、面积元、体积元 odzd ydxzyeSxxdddyxeSzzdddzxeSyyddd第第1 1章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波1.7.2 圆柱坐标系圆柱坐标系dd dd ddd dd ddd dd dzzzzzSellezSellezSe lle , z 坐标变量坐标变量,zee e 坐标单位矢量坐标单位矢量zree z位置矢量位置矢量ddddzreee z 线元矢量线元矢量dd d dVz 体积元体积元面元矢量面元矢量圆柱坐标系中的线元、面元和体积元圆柱坐标系中的线元、面元和体积元圆柱坐标系圆柱坐标系第第1 1章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波说明：说明：圆柱坐标系下矢量运算方法：圆柱坐标系下矢量运算方法：zzzzAe Ae Ae ABe Be Be B()()()zzzABeABeABeAB() ()zzzzzzA Be Ae Ae Ae Be Be BA BA BA B ()()zzzzzzzeeeA BAAAeA BA BeA BA BBBB()ze A BA B加减：加减：标积：标积：矢积：矢积：第第1 1章章电磁场与电磁波