北大随机过程课件：第4章第7讲窄带实平稳随机过程

1、窄带实平稳随机过程1概述6 确定性窄带信号 窄带信号的数学表达式 同相分量、正交分量 包络和相位分量6 窄带实平稳信号的 Hilbert 变换Hilbert 变换(冲击响应、频率响应)和等效的线性系统 窄带实平稳信号和它的 Hilbert 变换，它们的自相关函数和功率谱 窄带实平稳信号和它的 Hilbert 变换，它们的互相关函数和互功率谱 2线性调制过程( 1)6由两个均值为零实宽平稳过程a(t)、b(t)，常数，构造线性调制过程6 线性调制过程的广义平稳的条件6 构造线性调制过程的对偶过程6 线性调制过程的复数表示6 线性调制过程相关函数和功率谱6 单边带调制过程 3线性调制过程( 2)6

2、由线性调制过程 E(t)构造对偶过程，解析信号6 等效低通信号 定义、频谱、功率谱，数学表达式 时域表示，等效低通信号，它的同相分量、正交分量 窄带实平稳信号和它的 Hilbert 变换，它们的同相分量、正交分量 4计算调制过程分量的相关函数和功率谱6 自相关函数和功率谱xc(t)、 xs (t )的自相关函数和自功率谱6 互相关函数和功率谱xc(t),xs(t) ； xs (t ), xc (t )的互相关函数和互功率谱6 相关函数和相关矩阵进一步讨论 定理：窄带实平稳的随机过程的功率谱、 时域的同相分量和正交分量表示、 同相分量 和正交分量的自功率谱、同相分量和正交分量的互功率谱、6 相关

3、函数和功率谱密度的小结 5窄带实平稳随机过程的相关函数和相关矩阵：6 相关函数6 相关矩阵1概述1.1确定性窄带信号窄带信号，信号的频谱分量仅仅集中在载波频率附近。窄带信号的数学表达式是：x(t)二 V(t)C0S(2nfct-椒)二 V(t)cos(Xt)cos2 nfct +V(t)sin(Xt)sin 2 nfct=xc (t )cos2 nfct + xs(t)sin 2 n fct同相分量、正交分量分别是：Xc(t)=V(t) ?D0s (Kt)Xs(t) = V(t) ?sin K(t)包洛和相位分量分别是：V(t)= .(Xc(t)2+(Xs(t)2-1 ?xs(t) ? K(t

4、) = tan ?Xc(t)?1.2窄带实平稳信号的Hilbert变换Hilbert变换和等效的线性系统如果把变换看作一个线性系统，Hilbert变换的频率响应和冲击响应分别是H (jf) = - j ?sgn fh(t) =1Tit随机过程E(t)的Hilbert变换记作?(t)?(t)=总如滋九絶回窄带实平稳信号和它的 Hilbert变换的自相关函数、互相关函数、功率谱和互功率谱: 它们的相关函数和功率谱是P?(f) = |H(f)|2P,(f)= P(f)R?(T = R'T它们的互相关函数和互功率谱是P?f)二H(f)Pf)二-j?sg n(f)?P"f)P 無(f)

5、二 H*(f)P(f)二 jsg n(f )?P'f)R?e( T = - R/( T2线性调制过程(1)2.1构造线性调制过程线性调制过程：给定两个均值为零实宽平稳过程a(t)、b(t)，常数5，构造过程x(t),x(t) = a(t)cos gt - b(t)sin gt=r(t)cosgt +?(t)其中振幅过程r(t)、相位过程？(t)r(t)-.a2(t) + b2(t)tg?(t)=b(t)/a(t)该过程是具有振幅调制 r(t)和相位调制的调制过程。2.2线性调制过程的广义平稳的条件线性调制过程是广义平稳充分必要条件定理：当且仅当过程 a(t),b(t)满足下列条件：Ra

6、a ( T = Rbb ( TRab ( TRba ( T时，X(t)才是广义平稳的。证明：Ex(t)二 E a(t)cos gt - b(t)sin gt二 E a(t)cosgt - E b(t)sin gt = 0x(t + Tx(t) = ?a(t + Tcos cto (t + T - b(t + Tsin g (t + r)?a(t)cos gt- b(t)sin gt=a(t + ©a(t)cos g (t + i)cosgt+b(t + T b(t)sin g(t+ r)sin gt-a(t + ©b(t)cos g (t + r)sin gt-b(t +

7、Ta(t)sin g (t + "cosgt1=2 a(t + T a(t) (cos g (2t + r) + cos g T) 1sin g (2tsin gi+sin g(2tcos g (2t + T + coscos g T- cos g (2t + Tsinsincos g t1+ 2【Raa(T- &b( Tcosg (2t + T1-Rab() + 氐(力卜巾 g (2t + T+ b(t + Tb(t) (COSgT- COSg(2t+ r)1：如果 a(t),b(t)满足 Raa(T = Rb(T，Rab(T=-Rba(T，则有Rxx(T = Ex(t+

8、Tx(t)= Raa(Tcos gr+Rab(Tsin grx(t)是广义平稳的。2:如果x(t)是广义平稳的，上式后边两项必须与t无关，则条件 RjTrRbbT，Rab(T = -Rba(T 满足。2.3 构造线性调制过程的对偶过程线性调制过程 x(t) 的对偶过程y(t) = b(t) cos gt + a(t)sin gt它也是广义平稳的，且有，Ryy ( T = Rxx ( T)Rxy ( T = - Ryx ( T)Rxy(T 二 Rab(TCOS gT- Raa ( T)S in g T其中 x(t) = a(t)cos g0t - b(t)sing0tx(t+T)y(t) = ?

9、a(t + T)cos g0 (t +T)- b(t +T)sin g0(t +T)?b(t)cos g0t +a(t)sin g0t= a(t +T)b(t)cosg0(t + T)cos g0t- b(t + T)a(t)sin g0(t+T)sing0t+a(t +T)a(t)cosg0(t +T)sing0t- b( t +T)b( t)sin g0 (t + T)cos g0tRxy(T) = Rab( T)cos g0 (t + T)cos g0t- Rba(T)sin g0 (t +T)sing0t+ Raa ( T)cos g0 (t + T)sin g0t- Rbb( T)s

10、in g0 (t + T)cos g0t= Rab( T)cos g0T- Raa (T)sin g0T2.4 线性调制过程的复数表示线性调制过程的复数表示w(t) = a(t) + jb(t)z(t) = x(t) + jy(t) = w(t)ejg0tx(t) = Rez(t) = Re?w(t)ejg0t ?从而求得a(t) = x(t)cosg0t + y(t)sin g0tb(t) = y(t)cosg0t - x(t)sin g0t2.5线性调制过程相关函数和功率谱线性调制过程相关函数和功率谱线性调制过程和它的对偶过程的相关函数和功率谱Rxx(T = Ryy(T=Raa (Tcos

11、 g t+ Rb( Tsin g tRxy ( T = - Ryx ( T= Rab(TcosgT- Raa(Tsin gTSxx( g = Syy( g=Saa(g- g) + Saa( W+ 0)2-j Sab( g- g)- Sab( g + g) 2Sxy( g =- Syx( g=S3b( g- g) + Sab(g+ g)/2+ jSaa(g- g)-Saa(g+ g)/2复过程w(t)的自相关函数为Rww ( T = Ea(t+ T+jb(t + Ta(t)- jb(t)Rww( T = 2Raa ( T - 2 jRab ( T同样可以得到Rzz(T = 2Rxx( T - 2

12、 jRxy(r)进而注意到Rzz(T = ej gRw(T由此可以得到Sww(g) =2Saa(g)- 2jSab(g)Szz ( g = 2Sxx ( g) - 2 jSxy ( g)SZZ ( g = sww ( g- g )2.6单边带信号的线性调制如果b(t)=欲t)是a(t)的希尔伯特变换，注意到x(t) = a(t) cosgt - b(t)sin gt则有,w(t) = a(t) + jb(t)Sww(3 =4Saa(3)U(3)这是因为Sa?(3)= j4Saa(3)Sg n(3)3线性调制过程(2)3.1线性调制过程构造对偶信号和解析信号对于窄带实平稳信号，构造它的对偶信号、

13、以及解析信号窄带实平稳信号：E(t)窄带实平稳信号的对偶信号：?(t)窄带实平稳信号的解析信号、频谱、功率谱：解析信号的定义，它的时域表示nt)=迪 + j ?(t)解析信号的频谱和功率谱Sn(f) = S“)+jS?(f)=&(f)1+sg n(f)Pn(f) = P (f)1 + sg n(f)2=4p (f)?J(f)在正频率部分，解析信号等于窄带实平稳信号的两倍，在负频率部分，解析信号等于零。窄带实平稳信号的解析信号的数学表示：注意到，E(t) = xc (t )cos 2 n fct + xs (t)sin 2 n fct= xc(t)ej2nfct 2 + xJt)e j2

14、nfct 2+Xs(t)ej2nfct. 2 j - Xs(t)e j2nfct. 2 j?(t) = - jxc(t)ej2nfct 2+jxc(t)e-j2nfct.2- jxs(t)ej2叭七 2j- jXs(t)e-j2nfct 2j j ?(t) = xc(t)ej2nfct 2- jxc(t)e- j2nfct 2+xs(t)ej2nfc 2 j + xs(t) e- j2nfc 2 jn(t)= E(t)+j ?(t) = xc(t)ej2nfctjXs(t)ej2n fct3.2 等效低通信号窄带实平稳信号的等效低通信号、同相分量、正交分量对解析信号进行频率搬移， 将它的正频率

15、载波分量搬移到直流附近的低通分量。 相 应的时域表示：讯t)e-j2叫=?血住)叫-jxs(t)ej2nfct?5-j2nfct= xc(t)- jxs(t)讯 t)e-j2n口二? E(t) +j ?(t)?qcos2 nfct- j si n2nfct = ?E(t)cos2 nfct+ ?(t)si n2n fct?+ j ? E(t)sin 2 nfct + ?(t) cos2 n fct?相应的实部和虚部对应相等，可以得到等效低通信号的同相分量、正交分量表示：xc(t) = E(t)cos2n fct + ?(t)sin2n fctxs (t) = E(t)sin2nfct - ?(

16、t)cos2n fct同样可以得到实平稳窄带随机信号的同相分量、正交分量表示：E (t) = xc(t) cos2 n fct + xs(t) sin 2 n fct?(t) = xc(t) sin 2 n fct - xs(t) cos 2 n fct4 计算调制过程分量的相关函数和功率谱4.1 xc (t), Xs(t)的自相关函数和它们的自功率谱(1) xc (t) 的自相关函数Rxcxc(t1,t2) = Exc (t1) xc (t2 )= E“ti)cos2 n fcti + ?(ti)sin2n fcti?E(t2)cos2nfct? + ?(t2)sin2n fct?=R e

17、e (t1,t2) ?cos2 n fct1 ?cos2 n fct2+ R ? ?(t1,t2) ?sin 2 冗 fct1 ?sin 2 冗 fct2+ R E ?(t1,t2)?cos2n fct1 朗n 2n fct：+ R ? E (t1,t2)?sin2n fct1 ?cos2n fct2=R眼(ti,t2)?cos2n fc(ti - t2)-R?(ti,t2) ?sin2n fc(ti - t2)= Ree(T?cos2 n fc(T- R?(t) ?si n2n fc(T)Xs(t)的自相关函数Rxsxs (tl,t2)= EXs(ti)Xs(t2)= E?E(tJsi n2

18、nfcti- ?E(t2)sin 2 nfct2 -致t2)cos2 nfct2?=(t1,t2)?sin2 nfct1 ?sin2 nfct2 + R垐(t1,t2) ?cos2 nfct| ?sos2 n fct2-R三?(t|,t2)?sin2 nfct| ?sos2 nfct2-R? (t1,t2)?cos2nfct1 ?sin2nfct2§ti)cos2nfcti?=R眼(tj2)?cos2n fc(ti - t2)-R ?(ti,t2) ?sin 2 n fc(ti - t2)=R 眼(T?cos2 n fc(T- R?(r) ?si n2n fc(TRXcXc ( T

19、= RXsXs ( T= Ree(T?30s2n fc(T- Rw?(T?sin2n fc(TXc(t),Xs(t)的自功率谱Pxc(f) = P>.(f)E(T?cos2n fc( r) - Re?(TQ n2n fc( r)?e-j2n f Td T=舟戶 E (Te j2"fc)T + ej2n(f+fc)予T -才菲 E ?(rei2n(fT-ej2n(f+fc)申工=步 E ( f - fc) + P E (f + = 3【P E E ( f - fc) + Pe E (f +1-石jsgn(f - fc)P E E (ffc)-才 P E?fc)(f - fc)-巳

20、?(f + fc)-fc) - jsgn( f + fc)P( f + fc)Pxc(f)二 Pxs(f)二P狙 f- fc)+P 箕(f + fc)|f|< fdPxc(f) = Pxs(f)4.2 xc(t),xs(t)的互相关函数和它们的互功率谱(1) Xc (t),Xs (t)的互相关函数RxcXs (tl,t2) = EXc(tJXs(t2)= E“ti)cos2 nfct| + ?(tjsin2 n fct订 ?E(t2)sin2n fct? - ?(t2) cos2 n 粗？=R(t1,t2) ?cos2n fct1 ?sin 2n fct2-R ? ?(t1,t2)?si

21、n2n fct1 ?cos2n fct2-R 三?(t1,t2) ?cos2 n fct1 ?cos2 n ft+ R ?匕(t1,t2)?sin2nfch ?sin2n fct2=-R ee (h,t2)?sin 2 冗 fc (t1 - t2)-R e ?(t1,t2) ?cos2 n fc (t1 - t2)=-R e e (T?sin2n fc(T - Re ?(r)?cos2n fc(T=RXcXs (T(2) Xs(t),Xc(t)的互相关函数RxsXc (卯2)= EXs(tXc(t2)=Egt1)sin 2 n fch - ?(tjcos2 n fctj?E(t2)cos2 n

22、fct2 + ?(t2)sin2n Q? =R e e (t1,t2)?sin2 n fct1 ?cos2n fct2-R e e (t1,t2)?cos2n fct1 ?sin2n fct2+ R e ?(t1,t2)?sin 2n fct1 ?sin2n fct2+ R e ?(t1,t2)?cos2n fct1 ?cos2nfct2=R応(h,t2)?sin2n 仁魚-t?)+ R?(ti,t2)?cos2n fc (ti - t?)=R蛙(T ?sin2 n fc (t) + R?(t)?cos2n fc(T=RXsXc(T=-RXcXs( T因此有，RXcXs ( T = - RXs

23、 兀(TXc(t),Xs (t)的互功率谱P"f) = PxsXc(f)=届Xs(©?ej2n fTdT=-JR蛙(©?sin2n fc(© + Re?(T?cos2n fc()J" jd t-1 尺(T|e-j2n(f-fc)T - e"j2n(f+fc)T Jt-2 "©Ej2n(f-fc) t +ej2n(f+fc予=-fc)- PMf + fc)-2|P?(f- fc)+P,?(f + fc)1=-亓比(仁)-比(f+仁)1-j sgn(f - fc)P応(f - fc)- j sgn(f + fc)P応(

24、f + fc)?j?P(f- fc)- P(f+ fc)?， |f|< fd 二？.?0|f|> fd4.3 相关函数和功率谱密度进一步讨论RxcXc (T = RxsXs ( Too=启4)ej2 nf Tdf-ofd=Jp(f - fc) + PEE(f + fc)ej2nf Tdf- f dfd - fc=JP忍f- fc)ej2n(f-fc)Td(f - fc)?ej2- fd - fcj2nfcTfd+ fc+JP款(f+ fc)ej2n(f+fc) Td(f+ fJQ- f + fdcfd+fc巳打-f )e j2nf Td(- f )空j2"fcTfd+fc

25、+JPy(f )ej2nf Tdf)?e-j2nfcT- fd + fcfd+fc=JR”f)e j2nf-fc)Tdf- fd + fcfd+fc+JP(f)ej2%(f'fc)Tdf- fd + fcfd+f=2JPe 心)？cos2冗(f - fc)r?df- fd + fc=2 Jy(f)cos2 n (f - fc)T df0RxcXs ( T = - RxsXs ( Too=启 xs(f)ej2 nf Tdf-oofd=j JP淞(f- fc) - P阮(f+ fc)F2nf Tdf -fdfd - fc=j J(f - fc)ej2n(f-fc)Td(f - fc)?ej-fd- fcfd+fc-j P箕(f + fc)ej2nf+fc)T-fd + fc-fd+fcc=j尸期-f')e j2nf Tfd+ fcfd+fc-j P襄(f )ej2八df '?e-j2nfc T-fd + fcj2 nfc td(f + fc)?e"j2n fc Td(- f)右2叭Tfd +f=j-fd+fd + f=2fd+oo=2 户")sin2n(f- fJTdfP(f )e-j2n(f- fc)rdf - jfd + fcP鼻 f)ej2”(f-fc)d-fd+fcCcE(f)?sin2(f- fC)Tdf总结以上的结